11.2.1.2 直角三角形的性质和判定 课件（22张PPT）

(共22张PPT)
第11章
三角形
八年级数学上册同步精品课堂（人教版）
人教版 数学
八年级 上册
11.2.1.2
直角三角形的
性质和判定
复习回顾
三角形定义
三
角
形
三角形性质
按边分类
按角分类
三角形分类
任意两边之和大于第三边
内角和定理及其推论
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三边都不相等的三角形
等腰三角形
定义：有一个角是直角的三角形.
情景导入
思考：如下图所示是我们常用的三角板，它们两锐角的度数之和分别为多少度
三角板的两锐角之和
30°
45°
45°
60°
30° + 60° = 90°
45° + 45° = 90°
新知探究
直角三角形的两锐角之和
思考：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
A
B
C
解：在Rt△ABC中，∵∠C=90°，
由三角形内角和定理，
可得：∠A+∠B=90°.
由此可得：直角三角形的两个锐角互余.
新知探究
直角三角形的两锐角互余
应用格式：
A
B
C
在 Rt△ABC 中，
∵∠C = 90°，
∴∠A +∠B = 90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC．
典例精析
例1
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，
则∠BCD =______.
40°
A
C
D
B
解：
在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
∴∠B=50°,
在Rt△BDC中，∠B+∠BCD+∠BDC=180°
∴∠BCD=40°.
新知探究
双垂直模型
思考：从以上例题中我们能得到什么启发？
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，若∠A=40°，
则∠BCD =______.
40°
A
C
D
B
事实上，
在Rt△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，
在Rt△ADC中，∠A+∠ACD+∠ADC=180°
因此，∠B=∠ACD，
同理可得，∠A=∠BCD.
典例精析
例2
A
C
B
D
H
E
如图,在△ABC中，∠B=50°，高AD、CE交于H，则∠AHC=______.
130°
在 Rt△EBC 中，
∠B+ ∠BCH= 90°.
∴∠CHD= ∠B=50°，
解：∵AD、CE是△ABC 的高，
∴∠CEB=∠CDA=90°，
在 Rt△HDC 中，
∠CHD+ ∠BCH= 90°.
∴∠AHC=180°-∠CHD= 130°.
新知探究
双垂直模型
思考：从以上例题中我们能得到什么启发？
证明：∵ CD⊥AB 于点 D，BE⊥AC 于点 E，
∴∠BEA =∠BDF = 90°.
∴∠ABE +∠A = 90°，
∠ABE +∠DFB = 90°.
∴∠A =∠DFB.
∵∠DFB +∠BFC = 180°，
∴∠A +∠BFC = 180°.
如图，△ABC 中，CD⊥AB 于 D，BE⊥AC于 E，CD，BE 相交于点 F，∠A 与∠BFC 有如下关系：∠A +∠BFC = 180°.
典例精析
例3
如图，∠C =∠D = 90°，AD，BC 相交于点 E. ∠CAE 与 ∠DBE 有什么关系？为什么？
A
B
C
D
E
在 Rt△ACE 中，∠CAE = 90° - ∠AEC.
在 Rt△BDE 中，∠DBE = 90° -∠BED.
∵∠AEC = ∠BED，
∴∠CAE = ∠DBE.
解：∠CAE = ∠DBE. 理由如下：
新知探究
思考：从以上例题中我们能得到什么启发？
新知探究
双垂八字型
事实上，这是一个条件更多的“八字型”.
证明：
∵∠B = ∠D = 90°，
∴∠A +∠AOB = 90°，∠C +∠COD = 90°.
∵∠AOB = ∠COD，
∴∠A = ∠C.
如图，∠B =∠D = 90°，AD 交 BC 于点 O，则∠A =∠C .
O
归纳总结
常见的模型
∠A =∠C
∠A =∠D
O
O
典例精析
例4
如图，在 △ABC 中， ∠A +∠B = 90°， 那么△ABC直角三角形吗？
解：△ABC 是直角三角形，理由如下：
在△ABC 中，因为∠A +∠B +∠C = 180°， 而∠A +∠B = 90°，
所以∠C = 90°，
即△ABC 是直角三角形.
归纳总结
直角三角形的判定
A
B
C
应用格式：
在△ABC 中，
∵∠A +∠B = 90°，
∴△ABC 是直角三角形．
有两个角互余的三角形是直角三角形.　　
典例精析
例5
如图，AB∥CD，∠CAB和∠ACD的平分线相交于H点，那么△AHC是直角三角形吗？为什么？
解：△AHC是直角三角形，理由：
∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°.
∵AH，CH分别为∠CAB，∠ACD的平分线，
∴∠CAH+∠ACH=90°.
∴∠AHC=90°，即△AHC是直角三角形.
典例精析
例6
如图，∠C = 90°，∠1 = ∠2，△ADE 是直角三角形吗？为什么？
A
C
B
D
E
(
(
1
2
在 Rt△ABC 中，∠2 + ∠A = 90°.
∵∠1 = ∠2，
∴∠1 + ∠A = 90°，
即 △ADE 是直角三角形.
解：△ADE 是直角三角形. 理由如下：
归纳总结
性质
判定
直角三角形两锐角互余.
有一个角为90°的三角形，叫做直角三角形.
有一个角是直角的三角形是直角三角形.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
直角三角形
当堂检测
1. 在一个直角三角形中，有一个锐角等于 40°，则另 一个锐角的度数是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
B
2. 具备下列条件的△ABC 中，不是直角三角形的是 （ 　　）
A．∠A + ∠B = ∠C
B．∠A - ∠B = ∠C
C．∠A∶∠B∶∠C = 1∶2∶3
D．∠A = 2∠B = 3∠C
D
3. 如图所示，△ABC 为直角三角形，∠ACB = 90°，
CD⊥AB，则与∠1 互余的角有（　　）
A．∠B B．∠A
C．∠BCD 和 ∠A D．∠BCD
C
当堂检测
6. 在△ABC 中，若∠A = 43°，∠B = 47°，则这个三角形是____________.
4. 如图，一张长方形纸片，剪去一角后得到一个三角形，则图中∠1 + ∠2 的度数是______.
90°
5. 如图，AB、CD 相交于点 O，AC⊥CD 于点 C，若∠BOD = 38°，则∠A = _____°.
52
第4题图
第5题图
直角三角形
当堂检测
7.如图，在△ABC中，已知∠B= ∠A= ∠C.求证:△ABC为直角三角形.
证明：∵∠B= ∠A= ∠C，
∴∠A=2∠B，∠C=3∠B.
∵∠A+∠B+∠C=2∠B+∠B+3∠B
=6∠B=180°，
∴∠B=30°，∠A=60°，∠C=90°
∴△ABC为直角三角形.