22.相似的综合应用 课件（34张PPT）

(共34张PPT)
沪科版九年级上册数学
相似的综合应用
相似的综合应用
相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
相似三角形的性质
如图，△ABC∽△FED
∠ABC=∠FED
∠ACB=∠FDE
∠BAC=∠EFD
相似三角形的性质
如图，若△ABC∽△FED，相似比为k.
AG，FH分别是两个三角形的高线；
AK，FJ分别是两个三角形的中线；
BM，EN分别是两个三角形对应角的角平分线.
相似三角形对应线段的比等于相似比.
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
相似三角形的判定
若DE//BC，
则△ADE∽△ABC.
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
“A”型
“X”型
若AB//CD，
则△ABO∽△DCO.
相似三角形的判定
三边成比例的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
则△ABC∽△FED
则△ABC∽△FED
相似与函数
相似
函数
边的比例关系
两个变量之间的关系
明确变量表示的边
用两个未知数表示所有边
列出与变量有关的比例关系
整理成函数关系式明确自变量取值范围
画图象
求最值
当k>0时，y随x的增大而增大；
当k<0时，y随x的增大而减小
当a>0时，x的值离对称轴x=h越近，y的值越小；
当a<0时，x的值离对称轴x=h越近，y的值越大
利用函数求最值
一次函数最值
二次函数最值
三角形相似
例题 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，过点E作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F．设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数解析式．
分析：
线段比例关系
△EBF∽△DCE
8
6
列出含有x,y的关系式
整理成函数解析式
x
y
8-x
CE=x，BF=y，CD=AB=6，BC=8，EB=BC-CE=8-x
在矩形ABCD中， ∠B=∠C=90 ，
例题 如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，E为线段BC上的动点（不与B，C重合）．连接DE，过点E作EF⊥DE，EF与线段BA交于点F．设CE=x，BF=y，写出y关于x的函数解析式．
解：
6
8
小结：相似三角形有关知识与函数相结合时，一般通过相似三角形对应边成比例得到比例式，从而建立两个变量之间的关系．
∴∠BEF+∠DEC=90°
∵CE=x，BF=y，CD=AB=6，BC=8，
x
y
8-x
∴EB=BC-CE=8-x
例 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是线段BC边上的一个动点（不与B，C重合）．在AC上取一点E，使∠ADE=45°．
（1）求证：△ABD∽△DCE ；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时，AE取得最小值．
分析：（1）
1
1
∠BAC=90°，AB=AC
∠BAD= ∠CDE
△ABD∽△DCE
∠B= ∠C=45°
∠ADE=45°
例 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是线段BC边上的一个动点（不与B，C重合）．在AC上取一点E，使∠ADE=45°．
（1）求证：△ABC∽△DCE ；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时，AE取得最小值．
证明：（1）
∵△ABC是等腰三角形， ∠BAC=90°
∴∠B= ∠C =45°
在△ABD中，∠ADB+∠BAD+∠B=180°
∴∠ADB+ ∠BAD=135°
又∵∠ADB+∠EDC +∠ADE=180°且∠ADE=45°
∴∠ADB+ ∠EDC=135°
∴ ∠BAD= ∠CDE
∴ △ABD∽△DCE
例 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是线段BC边上的一个动点（不与B，C重合）．在AC上取一点E，使∠ADE=45°．
（1）求证：△ABC∽△DCE ；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时，AE取得最小值．
分析：（2）
1
1-y
BC=
△ABD∽△DCE
x
y
∠BAC=90°，AB=AC=1
DC= -x
CE=1-y
化为二次函数求最值
例 如图，在等腰△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，点D是线段BC边上的一个动点（不与B，C重合）．在AC上取一点E，使∠ADE=45°．
（1）求证：△ABC∽△DCE ；
（2）设BD=x，AE=y，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围，并求出当BD为何值时，AE取得最小值．
解：（2）
小结：将几何问题中两条线段关系表达成了一个二次函数的关系，研究线段的最小值问题，就转化到了研究二次函数的最值问题.
∵∠BAC=90°， AB=AC=1
∴BC =
∵ BD=x，AE=y
∴CD= ， CE=
当 即BD= 时，
y有最小值.
∴
∴
∴
∴
∴
又∵ △ABD∽△DCE
(01
1-y
x
y
1
图②
例题 如图①，有一块三角形余料ABC.它的边BC=120mm，高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.
问题：（1）加工成的正方形零件的边长为多少？
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件两条相邻的边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求面积达到这个最大值时矩形零件相邻的两条边长.
图①
图①
分析：
△APN∽△ABC
PN
例题 如图①，有一块三角形余料ABC.它的边BC=120 mm，高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.
问题：（1）加工成的正方形零件的边长为多少？
解：设正方形的边长为xmm，则PN=PQ=ED=x.
∵BC=120 ，AD=80，
∴AE=AD-ED=80-x.
∵ PN∥BC，
∴△APN∽△ABC.
∴ ，
∴ ，即 .
得x=48.
所以，正方形零件的边长为48 mm.
图①
例题 如图①，有一块三角形余料ABC.它的边BC=120 mm，高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.
问题：（1）加工成的正方形零件的边长为多少？
图②
例题 如图①，有一块三角形余料ABC.它的边BC=120 mm，高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件两条相邻的边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求面积达到这个最大值时矩形零件相邻的两条边长.
分析：
△APN∽△ABC不变
矩形面积与PQ长度有关
建立“面积”与“PQ长度”的联系
例题 如图①，有一块三角形余料ABC.它的边BC=120 mm，高AD=80mm.要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上.
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图②，这样，此矩形零件两条相邻的边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求面积达到这个最大值时矩形零件相邻的两条边长.
解：
∵四边形PQMN是矩形，
∴ PN//QM，△APN∽△ABC.
设PQ=x mm，则AE=(80-x) mm ，
∵0∴ 当x=40时，矩形PQMN面积取得最大值
此时PN=60mm.
图②
x
x
80-x
120
80
小结：两三角形相似的关系不变，矩形的面积与PQ的长度有关，建立“面积”与“PQ的长度”之间的联系，运用函数关系，确定面积的最大值．
例题 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F.
（1）求证：△PFA∽△ABE.
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，
是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似？
若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
分析：
（1）
1
2
3
AD//BC
∠2 =∠3
△PFA∽△ABE
例题 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F.
（1）求证:△PFA∽△ABE.
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，
是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似？
若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
证明：
（1）
1
2
3
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=90°，AD∥BC.
∴∠2 =∠3.
∵ PF⊥AE，
∴∠AFP=90°= ∠B.
∴ △PFA∽△ABE.
例题 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F.
（1）求证:△PFA∽△ABE.
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，
是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似？
若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
△PEF∽△EAB
分析：
（2）
相似三角形的判定
△ABE的两个锐角是： ∠EAB和∠AEB
△PFE的两个锐角是： ∠FPE和∠PEF
∠PEF=∠EAB
∠PEF=∠AEB
△PEF∽△AEB
两种情况：
x
4
例题 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F.
（1）求证△PFA∽△ABE.
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，
是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似？
若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
x
4
△PEF∽△EAB
解：
（2）
若△PEF∽△EAB，则∠PEF=∠EAB，
情况一：
∴ PE//AB，
此时四边形ABEP是矩形，
∴ BE=PA=x，
∵ E是BC的中点
∴
即 x=2.
x
4
例题 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F.
（1）求证：△PFA∽△ABE.
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，
是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似？
若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
A
B
C
D
E
P
△PEF∽△AEB
解：
（2）
x
4
若△PEF∽△AEB，则∠PEF=∠AEB，
情况二：
∵ ∠PAE=∠AEB
∴ ∠PAE = ∠PEF ，
∴ PE=PA，
在Rt△ABE中，AB=4，BE=2，由勾股定理可得AE=2
∴ AF= AE=
∵ △PEF∽△AEB ，
∴ 即
解得 x=5.
综上所述，x=2 或 x=5
x
F
例题 如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，点P在射线AD上，过点P作PF⊥AE，垂足为F.
（1）求证△PFA∽△ABE.
（2）当点P在射线AD上运动时，设PA=x，
是否存在实数x，使以P，F，E为顶点的三角形与△ABE相似？
若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.
△PEF∽△EAB
分析：
（2）
相似三角形的判定
x
∠PEF=∠EAB
∠PEF=∠AEB
△PEF∽△AEB
两种情况：
小结：解决动点问题时，可视动点不动，用时间表示线段长度；
利用几何条件找到线段之间的数量关系，适当利用相似建立比例关系，列方程并求解
例 在△ ABC中，AB=8cm，高BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟△ PBQ与△ ABC相似？
分析：
例 在△ ABC中，AB=8cm，高BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟△ PBQ与△ ABC相似？
分析：
△ PBQ与△ ABC的公共角：∠ B
△PBQ∽△ABC
△PBQ∽△CBA
两种情况
点P，点Q的位置与时间 t 有关
用时间 t 表示距离
解：
设经过 t s，△PBQ与△ABC相似.
情况一：①
∵ △PBQ与△ABC有公共角∠ B，
∴当PQ//AC时，△PBQ∽△ABC，
此时
∵AP=2t cm， AB=8 cm，
∴ PB=（8-2t） cm .
又∵ BQ=4t cm， BC=16 cm，
解得 t=2.
2t
8-2t
4t
16
例 在△ ABC中，AB=8cm，高BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟△ PBQ与△ ABC相似？
解：
设经过 t s，△PBQ与△ABC相似.
情况二：②
∵ ∠B 为△PBQ与△ABC的公共角，
∴当 时，△PBQ∽△CBA，
由①知， PB=（8-2t） cm，BQ=4t cm，
解得 t=0.8.
2t
8-2t
4t
16
例 在△ ABC中，AB=8cm，高BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟△ PBQ与△ ABC相似？
综上，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经过0.8 s 或 2 s，△PBQ与△ABC相似.
方法总结：
如果两个三角形有一个角相等，
当没有确定两个三角形相似的对应关系时，两个三角形的相似存在两种情况，
此时要注意分类讨论．
解决动点问题时：
可视动点不动，用时间表示线段长度；
利用几何条件找到线段之间的数量关系，
适当利用相似建立比例关系，列方程并求解
例 在△ ABC中，AB=8cm，高BC=16cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果点P，Q分别从点A，B同时出发，经几秒钟△ PBQ与△ ABC相似？
例 某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园，小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量．方法如下：
　　如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C．镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动．走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED=1.5米，CD=2米．然后，在阳光下，他们用测量影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH=2.5米，FG=1.65米.
　　如图，已知AB⊥ BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，
请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
根据镜面反射原理证明△ABC∽△EDC
分析：
根据相似三角形的性质计算AB
A
B
C
D
E
G
F
H
M
2.5
2
1.5
16
1.65
根据物体与影子的关系证明△ABF∽△GFH
解：
由题意可得：∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°,
∠ACB=∠ECD, ∠AFB=∠GHF,
∴△ABC∽△EDC， △ABF∽△GFH ，
则
即
解得AB=99米．
答：“望月阁”的高AB的长度为99米．
小结：测量高大物体的实际问题，考查了相似三角形的判定和性质，能够找到相似三角形是解题的关键．
A
B
C
D
E
G
F
H
M
2.5
2
1.5
16
1.65
总结
相似的综合应用
相似与函数的综合应用
实际问题中的相似
列函数关系式
线段长的最值
面积的最值
与相似有关的最值问题
动点问题中的相似
一个动点引发的相似
两个动点引发的相似
测量高大建筑物
再 见