22.4 位似变换 课件 （33张PPT）

(共33张PPT)
沪科版九年级上册数学
位似变换
位似变化与坐标
位似图形
如果两个图形不仅是相似图形，而且对应顶点的连线相交于一点，像这样的两个图形叫做位似图形，这点叫做位似中心，这时我们说这两个图形关于这点位似，它们的相似比又称为位似比．
分析：
判断是否为位似图形：
① 是否为相似图形；
② 对应顶点的连线是否相交于一点．
下列图形中△ABC∽△DEF，则这两个三角形不是位似图形的是（ ）．
A B C D
A
2.位似图形对应点的连线或延长线相交于一点；
3.位似图形对应边平行（或在同一条直线上）；
4.位似图形对应角相等.
1.位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比；
位似的性质
位似中心
， ，
如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的k倍得到△ ．
△ ∽△ABC
新图形
原图形
在△A′B′C′与△ABC中
A′B ′ ∥ AB ， A′C ′ ∥ AC ， B′C ′ ∥ BC
位似中心
如图，以点O为位似中心，把△ABC放大为原来的k倍得到△ ．
△OAB∽△
△OAC∽△
△OBC∽△
位似的性质
求出AC
求出A′C′
分析：
在Rt△ACD 中，
法一
例 如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且 ，若点
A（-1，0） ， 点C（ ，1） ，则A′C′ = ．
过点C作CD⊥x轴于点D
O
D
解：
∵△ABC 与△A′B′C′是两位似图形，
在Rt△ACD中，
法一 过点C作CD垂直于x轴，垂足为D，CD⊥AD，则D（ ，0）
∴ ．
∴ ．
∵点A(-1 ，0 ) ，点C( ，1) ，
∴ ．
O
D
例 如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且 ，若点
A（-1，0） ， 点C（ ，1） ，则A′C′ = ．
△ABC 与△A′B′C′是位似图形
分析：
法二
作CD⊥x轴，C′ D′ ⊥x轴
位似的性质
△OCD ∽△OC′D′且D（ ，0）
O
D′
D
例 如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且 ，若点
A（-1，0） ， 点C（ ，1），则A′C′ = ．
在Rt△ C′D′A′中，
解：
∵△ABC 与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，
法二：连接OC ′ ，过点C作CD垂直于x轴，过点C′作C′D′垂直于x轴．
∴ ．
∴ OA′＝2．
在Rt△ C′D′A′中，
O
D′
例 如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且 ，若点
A（-1，0） ， 点C（ ，1），则A′C′ = ．
又∵A（-1，0），
∵CD⊥x轴，C′ D′ ⊥x轴， C（ ，1），
∴ △OCD ∽△OC′D′ 且D（ ，0）．
∴
∴ C′D′ ＝2, OD ′=1 ．
D
小结：已知两图形位似，可由位似图形的性质列出比例式，求出相关的边长．
∴ A′D′= OA′+ OD ′=3
例 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为 ．
分析：
正方形ABCD与正方形BEFG是
以原点O为位似中心的位似图形
相似比＝边长比
位似的性质
小正方形
边长为4
C（6,4）
12
4
2
△OAD∽△OBG
例 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为 ．
解：
∵正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为
位似中心的位似图形，且相似比为 ，
∴ 　　　．
∴ BG=12．
∴ AD=BC=4．
∵AD∥BG ，
∴ 　　　．
∴ 　　　　 ．
∴ OA=2 ．
∴ OB=6 ．
∴ C点坐标为（6，4）．
（6，4）
12
4
∴△OAD∽△OBG.
位似
相似
连接对应点和位似中心
找相似
列比例式
（6，4）
12
4
小结：
相似图形与位似图形的关系：
解题方法
例 如图，在平面直角坐标中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，
且相似比为 ，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为12，则C点坐标为 ．
分析：
以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍.
位似中心O在
△ABO与△ 同侧
位似中心O在
△ABO与△ 异侧
例 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，5），B（6，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△ ．写出△ 三个顶点的坐标．
例 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，5），B（6，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△ ．写出△ 三个顶点的坐标．
解：
当位似中心O在△ABO与△ 同侧
∵以原点O为位似中心， △ 放大为△ABO的2倍.
∴
∴
又 A（4， 5），B（6，0），O（0，0）．
8， 10 120
例 如图，△ABO三个顶点的坐标分别为A（4，5），B（6，0），O（0，0）．以原点O为位似中心，把这个三角形放大为原来的2倍，得到△ ．写出△ 三个顶点的坐标．
小结：当位似中心在原点时，若位似图形与原来图形的相似比为k,则原图形上的点（x,y),位似变换后变为了点（kx，ky）或（kx，ky）
∴
∴
又∵ A（4，5），B（6，0），O（0，0）．
8，10 120
解：
当位似中心O在△ABO与△ 异侧
∵以原点O为位似中心， △ 放大为△ABO的2倍.
分析：
P（a，b）
例 平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为
P′ （　　　，　　）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，
得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，
则用等式表示S1与S2的关系为 ．
P′（ 　　　， 　　）
（ 　　，　）
P（a，b）
位似变换
（缩小）
平移
面积发生改变
面积不变
（　　，　 ）
P′（　　　，　　）
例 平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为
P′ （　　　，　　）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，
得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，
则用等式表示S1与S2的关系为 ．
分析：
点P（a，b）
位似变换
观察坐标的变化
确定：相似比.
面积比等于相似比的平方.
（　　，　）
分析：
S1=4S2
小结：抓住位似变换图形的面积变化，平移图形的面积不变是解题的关键．
例 平面直角坐标系xOy中，点P（a，b）经过某种变换后得到的对应点为
P′ （　　　，　　）．已知A，B，C是不共线的三个点，它们经过这种变换后，
得到的对应点分别为A′，B′，C′．若△ABC的面积为S1，△A′B′C′的面积为S2，
则用等式表示S1与S2的关系为 ．
分析：
例 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴上方，点C的坐标是(1 ，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，得到△ ，设点B的对应点 的横坐标为2，则点B的横坐标为 .
过点B作BD⊥x轴，过点 作 ⊥x轴.
分析：
过点B作BD⊥x轴，过点 作 ⊥x轴.
例 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴上方，点C的坐标是(1 ，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，得到△ ，设点B的对应点 的横坐标为2，则点B的横坐标为 .
解：
过点B， 分别作BD⊥x轴于点D，BD⊥x轴于点 .
点 的横坐标是2，点C的坐标是(1 ，0) ，
点B，C， 在一条直线上.
点B的横坐标为 .
△ABC的位似图形是△ .
例 如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴上方，点C的坐标是(1 ，0)，以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形，并把△ABC的边长放大到原来的2倍，得到△ ，设点B的对应点 的横坐标为2，则点B的横坐标为 .
.
∴
.
.
.
.
小结：过所求点向坐标轴作垂线是求点坐标的基本方法，适当的添加辅助线构造相似三角形有助于解决问题．
画位似图形
位似图形作图步骤
（1）确定位似中心
（2）确定原图形中各顶点关于位似中心的对应的点；
（3）描出新图形.
位似中心在图形外部
位似中心在图形内部
位似图形与原图形在位似中心同侧
位似图形与原图形在位似中心异侧
例 如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（3，3），B（ 1 ，0 ），C（4，0），以点A为位似中心放大△ABC，得到△AB′C′，使 ，请在图中画出△AB′C′.
相似比为 1:2
小结：关键是找出位似图形与原图形的相似比，再根据画位似图的步骤画图即可.
C′
作法一：
O
D
A
B
C
A＇
B＇
C＇
D＇
1．在四边形外任选一点 O ．
例 请画出四边形 ABCD 缩小到原来 的图形. 　
3．顺次连接点 A ′ ，B ′ ，C ′ ，D ′ ，
所得四边形A ′ B ′ C ′ D ′就是所要求的图形．
2．分别在线段 OA，OB，OC，OD上取点 ，
A ′ ，B ′ ，C ′ ，D ′ ，使得 　　 　．
作法二：
1．在四边形外任选一点 O ．
O
D
A
B
C
A＇
B＇
C＇
D＇
例 请画出四边形 ABCD 缩小到原来 的图形.
3．顺次连接点 A ′ ，B ′ ，C ′ ，D ′ ，
所得四边形A ′ B ′ C ′ D ′就是所要求的图形．
2．分别在线段 OA，OB，OC，OD 的反向延长线上取点 ，
A ′ ，B ′ ，C ′ ，D ′ ，使得 　　 　．
作法三：
1．在四边形内任选一点 O ．
3．顺次连接点 A ′ ，B ′ ，C ′ ，D ′ ，
所得四边形A ′ B ′ C ′ D ′就是所要求的图形．
2．分别在线段 OA，OB，OC，OD 的上取点 ，
A ′ ，B ′ ，C ′ ，D ′ ，使得 　　 ．
O
D
A
B
C
A＇
B＇
C＇
D＇
例 请画出四边形 ABCD 缩小到原来 的图形.
还有其他的作法吗？
例 请画出四边形 ABCD 缩小到原来 的图形.
作图时要注意
① 确定位似中心（位似中心的位置可随意选择）；
② 确定原图形的关键点（如四边形有四个关键点，即它的四个顶点）；
③ 确定位似比，根据位似比的取值，可以判断是将一个图形放大还是缩小；
符合要求的图形不唯一（所作的图形与所确定的位似中心的位置有关，
并且同一个位似中心的两侧各有一个符合要求的图形）．
图形的位似
位似的定义
相似图形
对应顶点的连线相交于一点
位似的性质
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比
位似图形对应点的连线或延长线相交于一点
位似图形对应边平行（或在同一条直线上）
位似图形对应角相等
位似的作图
确定位似中心
确定原图形中各顶点关于位似中心的对应的点
描出新图形
位似变换
再 见