23.2 解直角三角形 课件（27张PPT）

(共27张PPT)
解直角三角形
首先了解什么是解直角三角形
一、解直角三角形的定义
认识：
一般地，直角三角形中，除直角外，共有五个元素，如图Rt△ABC中，a、b、c、∠A、∠B，即三条边和两个锐角，由直角三角形中已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形.
接下来！我们来借助直角三角形分析一下五个元素之间的关系
A
B
C
a
c
b
二、解直角三角形的元素
1、如图所示；五个元素分别为：a、b、c、∠A、∠B
2、通常五个元素至少已知两个元素（至少有一个是边）
4、边角关系式；sin A= cos A= tan A=
3、结合锐角三角函数的边角关系式解直角三角形
A
B
C
a
c
b
sin B= cos B= tan B=
作垂线
构造直角三角形
三、构造直角三角形
1、含特殊角的一般三角形通过添加辅助线构造直角三角形．
特殊角指的是30°、45°、60°
如图所示：△ABC中，∠B和∠C都可以是特殊角，再已知一个边长，让我们求其他边长或者角度,类似这种题目，我们都可以做垂线，来构造直角三角形，构造的直角三角形一般要包含特殊角，从而解三角形.
技巧总结：
A
B
C
分析：
解直角三角形
D
作垂线
2、含特殊角的四边形通过添加辅助线构造直角三角形
关于这类题目的解题思路，其实跟上一类很像，虽然是四边形，但是也会有特殊角，
所以我们可以作垂线或者延长线，构造直角三角形.如图；
分析：
如图；类似四边形ABCD，会告诉我们一些特殊角，如∠A、∠C是已知的特殊角，∠B为直角，如图，延长AD和BC交于点E,构造直角三角形,把特殊角包含在直角三角形内,再根据已知边长和边角关系式，解直角三角形.
（1）四边形本身含有特殊角
A
B
C
D
E
同学们！你还可以作垂线构造直角三角形吗？
作垂线或延长线
2
1
A
B
C
D
直角三角形一般包含特殊角
同样也是四边形，但是四边形本身不含有特殊角，在四边形内部的图形含有特殊角，关
于这类题目的解题思路，我们通常采用做垂线的方法，一般把特殊角构造在直角三角形
内，然后解直角三角形.如图；
分析：
构造直角三角形
技巧总结：
解直角三角形
如图；类似四边形ABCD，会告诉我们一些特殊角，如∠1、∠2是已知的特殊角，我们通过做垂线构造直角三角形，如图，作DE⊥AC,把特殊角包含在直角三角形内,再根据已知边长和边角关系式，解直角三角形
E
（2）四边形内部含有特殊角
3、没有特殊角的斜三角形求解问题
这里的斜三角形指的是
锐角三角形和钝角三角形
关于这类题目，给我们的图形都是斜三角形，而且没有特殊角，但都会告诉我们某些
角度的三角函数值，所以也可以构造直角三角形，借助边角关系式，解直角三角形.
分析：
直角三角形要包含 已知三角函数值的角
作垂线
构造直角三角形
技巧总结：
解直角三角形
如图；斜三角形ABC没有特殊角,但是会告诉我们某些角的三角函数值，比如
cos A =0.25,再结合已知边解直角三角形
C
A
B
四、解直角三角形的常见类型
1、背靠背型
这类题目，是解直角三角形的常见类型，通常指两个三角形并列背靠背关系，
有着公共边，且这条公共边是解直角三角形的关键.如图；
分析：
A
B
C
D
公共边
如图；△ABD和△ADC就是背靠背，公共边AD是解题的关键，同时也连接着两个三角形的边角关系式，通常要从公共边AD入手，利用方程思想，选择一条边，设其长度为x，再用含有x的代数式表示其他边，从而列方程，解方程，最后求出边或角
2、母子型
这类题目，也是解直角三角形的常见类型，通常指一个直角三角形含着另外一个直角
三角形，而且有一个公共边，因为这两个三角形的边角关系式都包含着这个公共边，
所以这个公共边也是解直角三角形的关键.如图；
分析：
如图；△ACB和△ACD就是母子型，AC是公共边，这个边在两个三角形内都有边角关系式，也是解题的关键，只要求出这个公共边，再根据边角关系式，依次可以求出其他边和角，通常也会用到方程思想
B
A
C
D
公共边
根据tanB=
例. 如图△ABC中，tan B＝ ，cos C ＝ ，AC＝ .求BC的长.
分析：
含特殊角的一般三角形
求出AE=CE=1
根据cosC=
作AE⊥BC
求出∠C=45°
求出BE
A
B
C
E
例. 如图△ABC中，tan B＝ ，cos C＝ ，AC＝ .求BC的长.
解：
总结：
构造直角三角形
解直角三角形
如图，过点A作AE⊥BC于点E，
在Rt△ACE中，CE＝AC·cos C＝1，
∵cos C＝ ，∴∠C＝45°.
∴AE＝CE＝1.
含特殊角的一般三角形
在Rt△ABE中，tan B＝ ，即 ＝ ，
∴BE＝3AE＝3.
∴BC＝BE＋CE＝4
A
B
C
1
1
3
4
E
60°
例 . 如图所示四边形ABCD，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200，CD=100，求AD、BC的长．
分析：
求出DE和CE
延长AD、BC交于点E
求出AE和BE
Rt△ABE中
Rt△CDE中
可得AD与BC的长
B
A
C
D
E
200
100
∵AB=200，∠A=60°，
BC=BE-CE=200 -200
例. 如图所示四边形ABCD，其中AB⊥BC，CD⊥AD，∠A=60°，AB=200，CD=100，求AD、BC的长．
解：
如图，延长AD和BC交于点E，
∴BE=AB tanA=200 ，AE=2AB=400，
∴∠CED=90°-∠A=30°，
在Rt△CDE中，
总结：
构造直角三角形
含30°角的直角三角形
在Rt△ABE中，
∵CD=100，
含特殊角的四边形
E
60°
B
A
C
D
200
100
∴CE=2CD=200，DE=100 ，
∴AD=AE-DE=400-100
30°
例 . 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，
∠DCE＝30°，DE＝ ，BE＝ .求CD的长和四边形ABCD的面积.
分析：
得出CD的长
作DH⊥AC
EH=DH=1
Rt△DEH中
Rt△DCH中
求出AC，AB的长
四边形ABCD的面积
A
B
C
D
H
E
1
1
45°
30°
30°
例. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点E，∠BAC＝90°，∠CED＝45°，
∠DCE＝30°，DE＝ ，BE＝ .求CD的长和四边形ABCD的面积.
解：
如图，过点D作DH⊥AC于点H.
又∵∠DCE＝30°，
∴HC＝ ＝ ，CD＝ ＝2 .
∵∠AEB＝∠CED＝45°，∠BAC＝90°，BE＝ ，
总结：
构造直角三角形
含30度角的直角三角形
∵∠CED＝45°，DH⊥EC，DE＝ ，
∴EH＝DH＝DE·cos 45°＝ × ＝1.
∴AB=AE=2，
∴AC＝AE＋EH＋HC＝2＋1＋ ＝3＋
＝ .
＝ ×2×(3＋ )＋ ×1×(3＋ )
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ADC
等腰直角三角形
A
D
B
C
H
E
1
1
2
2
2
例 . 如图，在△ABC中，点P在AB的延长线上，tanA= ，AB=60，tan∠CBP=2．求点C到直线AB的距离为多少？
分析：
借助已知角的三角函数值
过C作AB的垂线
方程思想
得到Rt△ACD和Rt△BCD
设CD=x
列方程求解
A
B
C
60
x
D
P
即 - =60，
∵AD-BD=AB，
例. 如图，在△ABC中，点P在AB的延长线上，tanA= ，AB=60，tan∠CBP=2．求点C到直线AB的距离为多少？
解：
过C作AB的垂线，交直线AB于点D，
在Rt△BCD中，tan∠CBD= ，
∴BD= ，
总结：
构造直角三角形
解直角三角形的应用
得到Rt△ACD与Rt△BCD．
设CD=x，
在Rt△ACD中，tanA= ，
∴AD= ，
解得，x=30．
方程思想
∴CD=30
即点C到直线AB的距离为30
A
B
C
60
x
15
D
P
例. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且tanB=cos∠DAC.求证：AC=BD.
分析：
可证出AC=BD
由于tanB=cos∠DAC
∠B的正切
在Rt△ABD和Rt△ADC中
∠DAC的余弦
A
B
C
D
例. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，且tanB=cos∠DAC.求证：AC=BD.
∴AC=BD.
∴ = ，
证明：
∵AD是BC上的高，
在Rt△ABD和Rt△ADC中，
总结：
锐角三角函数的定义
解直角三角形
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°.
∵tanB= ，cos∠DAC= ，
又∵ tanB=cos∠DAC，
A
B
C
D
例. 如图所示，AB＝120海里，在B处测得∠MBC=45°，A处测得∠NAC=30°，在海岸线AB上有一灯塔D，AB为东西方向，MB、NA为南北方向， 分别求出AC、BC的距离；(结果保留根号)
分析：
结合已知条件
要求AC、BC的长
作CE⊥AB
考虑构造直角三角形
得Rt△CBE和Rt△CAE
即可得解
N
A
B
C
D
E
M
45°
30°
120
例. 如图所示，AB＝120海里，在B处测得∠MBC=45°，A处测得∠NAC=30°，在海岸线AB上有一灯塔D， AB为东西方向，MB、NA为南北方向，分别求出AC、BC的距离；(结果保留根号)
BC＝ x＝ 180 －60
∴AC＝ x＝120 －120，
解：
如解图所示，过点C作CE⊥AB于点E，
在Rt△CBE中，BE＝CE＝x，
在Rt△CAE中，AE＝ x，
总结：
构造直角三角形
解直角三角形
根据题意得：∠CBD＝45°，∠CAD＝60°，
设CE＝x，
∵AB＝120，
∴x＋ x＝120，解得x＝180－60 ，
方程思想
答：AC距离(120 －120)海里，BC距离(180 －60 )海里；
N
A
B
C
D
M
45°
30°
120
x
x
x
E
例. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知sin∠A= ，BD=2，求BC的长．
分析：
30°角的直角三角形
根据特殊角的正弦值
再根据同角的余角相等
求出∠A=30°
求出∠BCD=∠A=30°
可得BC=2BD
A
B
C
D
2
30°
30°
30°
例. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，已知sin∠A= ，BD=2，求BC的长．
解：
∵sinA= ，
∴∠A+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°，
∴∠BCD=∠A=30°，
∴∠A=30°，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴BC=2BD=2×2=4．
总结：
含30°角的直角三角形
解直角三角形
特殊角的三角函数值
A
B
C
D
2
30°
4
例. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠BAC的平分线AD= ，求∠B的度数及边BC、
AB的长．
分析：
可得∠CAD以及∠B
在Rt△ACD中
根据锐角三角函数的概念
已知斜边、直角边
解直角三角形
从而解直角三角形求出其余结果
B
A
C
D
8
例. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，∠BAC的平分线 AD= ，求∠B的度数及边BC、
AB的长．
∴AB= = =16．
解：
在Rt△ACD中
∴∠BAD=∠CAD=30°，
即∠CAB=60°．
总结：
解直角三角形
∵cos∠CAD= = 8 = ，
∴∠CAD=30°，
∴∠B=90°-∠CAB=30°．
∵sinB= ，
又∵cosB= ，
特殊角的三角函数值
∴BC=AB cosB= 16× = ．
B
A
C
D
8
30°
30°
30°
16
解直角三角形
构造直角三角形
解直角三角形的常见类型
解直角三角形的背靠背型
解直角三角形的母子型
含特殊角的一般三角形
含特殊角的四边形
不含特殊角的斜三角形
再 见