(共36张PPT)
4.2 指数函数
4.2.1 指数函数的概念
1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性.
2.了解指数增长型和指数衰减型在实际问题中的应用.
学习目标
1
自主学习
ZI XUE TAN JIU
比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？
为了利于观察，可以对表格数据进行怎样的处理？
为了利于观察，可以根据表格中数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来
分别画出A,B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图象，如下图所示
我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的。
能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？
请你试一试。
思考
怎样找出B景区的游客人次的变化规律呢？
从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到
指数增长：
增长率为常数的变化方式
因此，B地景区的游客人次近似于指数增长。
这也是一个函数，指数x是自变量。死亡生物体内碳14含量每年都以 的衰减率衰减
指数衰减：
衰减率为常数的变化方式
1. 指数函数的定义
一般地，函数 (a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
y＝ax
思考 为什么底数应满足a>0且a≠1
答案 ①当a≤0时，ax可能无意义；
②当a>0时，x可以取任何实数；
③当a＝1时，ax＝1 (x∈R)，无研究价值.
因此规定y＝ax中a>0，且a≠1.
2.两类指数模型
1.y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数增长型函数模型.
2.y＝kax(k>0，a>0且a≠1)，当 时为指数衰减型函数模型.
a>1
0
1.y＝xx(x>0)是指数函数.( )
2.y＝ax＋2(a>0且a≠1)是指数函数.( )
3.y＝ 是指数衰减型函数模型.( )
4.若f(x)＝ax为指数函数，则a>1.( )
×
√
×
×
小试牛刀
2
经典例题
例1 (1)给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；
⑤y＝(－2)x.其中，指数函数的个数是
A.0 B.1 C.2 D.4
题型一 指数函数的概念
√
解析 ①中，3x的系数是2，故①不是指数函数；
②中，y＝3x＋1的指数是x＋1，不是自变量x，故②不是指数函数；
③中，3x的系数是1，幂的指数是自变量x，且只有3x一项，故③是指数函数；
④中，y＝x3的底数为自变量，指数为常数，故④不是指数函数.
⑤中，底数－2<0，不是指数函数.
(2)若函数y＝(2a－1)x(x是自变量)是指数函数，则a的取值范围是
√
解析 依题意得2a－1>0，且2a－1≠1，
总结： 判断一个函数是否为指数函数的方法
(1)底数的值是否符合要求.
(2)ax前的系数是否为1.
(3)指数是否符合要求.
跟踪训练1 (1)下列是指数函数的是
A.y＝－3x B.y＝ C.y＝ax D.y＝πx
√
解析 根据指数函数的特征知，A，B，C不满足.
(2)若函数y＝(a2－3a＋3)·ax是指数函数，则a的值为____.
2
由①得a＝1或2，结合②得a＝2.
题型二 求指数函数的解析式或函数值
总结：
(1)求指数函数的解析式时，一般采用待定系数法，即先设出函数的解析式，然后利用已知条件，求出解析式中的参数，从而得到函数的解析式，其中掌握指数函数的概念是解决这类问题的关键.
(2)求指数函数的函数值的关键是掌握指数函数的解析式.
跟踪训练2 指数函数y＝f(x)的图象经过点 ，那么f(4)f(2)等于
A.8 B.16 C.32 D.64
√
函数的解析式为y＝2x，f(4)f(2)＝24·22＝64.
题型三 指数增长型和指数衰减型函数的实际应用
总结：解决有关增长率问题的关键和措施
(1)解决这类问题的关键是理解增长(衰减)率的意义：增长(衰减)率是所研究的对象在“单位时间”内比它在“前单位时间”内的增长(衰减)率，切记并不总是只和开始单位时间内的比较.
(2)分析具体问题时，应严格计算并写出前3～4个单位时间的具体值，通过观察、归纳出规律后，再概括为数学问题，最后求解数学问题即可.
(3)在实际问题中，有关人口增长、银行复利、细胞分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表示，通常可以表示为y＝N(1＋p)x(其中N为基础数，p为增长率，x为时间)的形式.
跟踪训练3 春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了_____天.
解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，
则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，
当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半.
19
3
当堂达标
1.下列各函数中，是指数函数的是
A.y＝(－4)x B.y＝－4x C.y＝3x－1 D.y＝
√
解析 A中函数的底数不满足大于零且不等于1，故不是指数函数；
B中函数式中幂值的系数不是1，故不是指数函数；
C中的指数是x－1，不是指数函数.
2.若函数y＝(m2－m－1)·mx是指数函数，则m等于
A.－1或2 B.－1 C.2 D.
√
解得m＝2(舍m＝－1).
3.若函数f(x)＝(4－3a)x是指数函数，则实数的取值范围是__________________.
解析 设每年的衰减率为q%，
则(1－q%)50＝0.9，所以1－q%＝ ，
所以y＝m·(1－q%)x＝ .
A.y＝ B.y＝ C.y＝ D.y＝(1－0.150x)m
√
4.据报道，某淡水湖的湖水在50年内减少了10%，若每年以相同的衰减率呈指数衰减，按此规律，设2020年的湖水量为m，从2020年起，经过x年后湖水量y与x的函数关系为
1.(1)指数函数的定义.
(2)指数增长型和指数衰减型函数模型.
2.方法归纳：待定系数法.
3.常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1.
课堂小结
课堂作业
作业：完成对应练习(共37张PPT)
4.2.2 指数函数的图象和性质
1.学会画具体指数函数的图象，能根据指数函数的图象说明指数函数的性质.
2.学会利用指数函数的图象和性质比较函数的大小，解指数型不等式等.
学习目标
1
自主学习
请完成课本P116函数y=2x中x,y的对应值表，并用描点法画出函数图象。
比较两个函数图像，它们有什么关系？
选取底数a(a>0,且a≠1)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象。观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的值域和性质吗？
思考
a>1 0图象
性质 定义域 R 值域 __________ 过定点 过定点 ，即x＝ 时，y＝___ 1.指数函数的图象和性质
(0，＋∞)
(0,1)
0
1
性质 函数值的变化 当x<0时， ； 当x>0时，______ 当x>0时， ；
当x<0时， ______
单调性 在R上是 _______ 在R上是 _______
对称性 y＝ax与y＝ 的图象关于y轴对称 0y>1
0y>1
增函数
减函数
思考1 在平面直角坐标系中指数函数图象不可能出现在第几象限？
答案 指数函数的图象只能出现在第一、二象限，不可能出现在第三、四象限.
思考2 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于什么？
答案 指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象“升”“降”主要取决于底数a.当a>1时，图象具有上升趋势；当02
经典例题
例1(课本P117例3)
题型一 利用指数函数性质比较大小
比较幂值大小的3种类型及处理方法
跟踪训练1 比较下列各题中两个值的大小：
(2)0.20.3,0.30.2.
解 因为0<0.2<0.3<1，
所以指数函数y＝0.2x与y＝0.3x在定义域R上均是减函数，
且在区间(0，＋∞)上函数y＝0.2x的图象在函数y＝0.3x的图象的下方，
所以0.20.2<0.30.2.
又根据指数函数y＝0.2x在R上是减函数，
可得0.20.3<0.20.2，所以0.20.3<0.30.2.
题型二 简单的指数不等式的解法
∴3x－1≥－1，∴x≥0，
故原不等式的解集是{x|x≥0}.
总结：
(1)利用指数型函数的单调性解不等式，需将不等式两边都凑成底数相同的指数式.
(2)解不等式af(x)>ag(x)(a>0，a≠1)的依据是指数型函数的单调性，要养成判断底数取值范围的习惯，若底数不确定，就需进行分类讨论，即af(x)>ag(x) f(x)>g(x)(a>1)或f(x)跟踪训练2 求不等式a4x+5>a2x-1(a>0，且a≠1)中x的取值范围.
【解析】对于a4x+5>a2x-1(a>0，且a≠1)，
当a>1时，有4x+5>2x-1，解得x>-3；
当0故当a>1时，x的取值范围为{x|x>-3}；
当0题型三 指数函数的图象及应用
例4 (1)函数f(x)＝2ax＋1－3(a>0，且a≠1)的图象恒过的定点是______________.
解析 因为y＝ax的图象过定点(0,1)，
所以令x＋1＝0，即x＝－1，
则f(－1)＝－1，
故f(x)＝2ax＋1－3的图象过定点(－1，－1).
(－1，－1)
总结：处理函数图象问题的策略
(1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的x，y的值，即可得函数图象所过的定点.
(2)根据图象“上升”或“下降”确定底数a>1或0(3)在y轴右侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由小到大；在y轴左侧，指数函数的图象从下到上相应的底数由大到小；
跟踪训练
3
当堂达标
1、设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是
A.a√
解析 ∵1.50.6>1.50＝1,0.60.6<0.60＝1，
故1.50.6>0.60.6，
又函数y＝0.6x在R上是减函数，且1.5>0.6，
所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.
2、函数y= (a>1)的图象的大致形状是( )
【解析】选C.y=f(x)=
所以x>0时，图象与y=ax在第一象限的图象一样，x<0时，
图象与y=ax的图象关于x轴对称.
3.(多选)若a>1，－1A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
√
解析 ∵a>1，且－1√
√
4、已知实数a，b满足等式 ，给出下列五个关系式：①02
故①②⑤都可能成立，不可能成立的关系式是③④.
课堂作业
作业：完成对应练习