(共36张PPT)
4.5 函数应用(二)
4.5.1 函数的零点与方程的解
1．结合二次函数的图象，了解二次函数与一元二次方程间的关系，能判断一元二次方程根的存在性及根的个数；
2．了解函数的零点与方程根的联系，能利用函数零点与方程根的关系确定方程根的个数；
3．能够利用零点的存在解决含参问题．
学习目标
1
自主学习
1.函数的零点
(1)函数f(x)的零点是使f(x)＝0的_________.
(2)函数的零点、函数的图象、方程的根的关系．
实数x
思考1：(1)函数的零点是点吗？
(2)函数的零点个数、函数的图象与x轴的交点个数、方程f(x)＝0根的个数有什么关系？
提示：(1)不是，是使f(x)＝0的实数x，是方程f(x)＝0的根．
(2)相等．
2. 函数的零点存在定理
(1)条件：函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是__________________，f(a)f(b)<0；
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，即存在c∈(a，b)使f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．
连续不断的曲线
思考2：(1)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f(a)f(b)<0时，能否判断函数在区间(a，b)上的零点个数？
(2)函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，是不是一定有f(a)f(b)<0
提示：(1)只能判断有无零点，不能判断零点的个数．
(2)不一定，如f(x)＝x2在区间(－1,1)上有零点0，但是f(－1)f(1)＝1×1＝1>0.
(1)函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,f(a)f(b)>0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上没有零点.( )
(2)若函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点,则f(a)f(b)<0.( )
(3)函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线.若f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上只有一个零点. ( )
×
×
×
小试牛刀
2
经典例题
题型一 求函数的零点(方程的根)
[分析] 求函数的零点，就是求相应方程的实数根．
(3)令4x＋5＝0，显然方程4x＋5＝0无实数根，所以函数f(x)不存在零点．
(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数f(x)存在零点，且零点为x＝0.
1.正确理解函数的零点：
(1)函数的零点是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零．
(2)根据函数零点定义可知，函数f(x)的零点就是f(x)＝0的根，因此判断一个函数是否有零点，有几个零点，就是判断方程f(x)＝0是否有实根，有几个实根．即函数y＝f(x)的零点 方程f(x)＝0的实根 函数y＝f(x)的图象与x轴交点的横坐标．
2．函数零点的求法：
(1)代数法：求方程f(x)＝0的实数根．
(2)几何法：与函数y＝f(x)的图象联系起来，图象与x轴的交点的横坐标即为函数的零点．
跟踪训练1 （1）求下列函数的零点：
①f(x)＝x2－2x－3零点为__________；
②g(x)＝lgx＋2零点为______.
（2）已知－1和4是函数f(x)＝ax2＋bx－4的零点，则f(1)＝_______.
[解析] （1）①f(x)＝(x－3)·(x＋1)，令f(x)＝0，得x1＝－1，x2＝3，∴f(x)的零点为3和－1，
3，－1
－6
例2 函数f(x)＝lnx＋x3－9的零点所在的区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[分析] 根据函数零点的存在性原理判断函数零点所在的区间．
[解析] f(1)＝1－9＝－8<0，f(2)＝ln2＋8－9＝ln2－1<0，
f(3)＝ln3＋27－9＝ln3＋18>0，
∴f(2)·f(3)<0，∴函数f(x)的零点所在的区间为(2,3)．
C
题型二 判断零点所在的区间
总结：判断函数零点所在区间的方法
一般而言判断函数零点所在区间的方法是将区间端点代入函数求出函数的值，进行符号判断即可得出结论．此类问题的难点往往是函数值符号的判断，可运用函数的有关性质进行判断．
C
例3 函数f(x)＝(x－2)(x－5)－1有两个零点x1，x2，且x1
A．x1<2,22且x2>5
C．x1<2，x2>5 D．25
[分析] f(x)的图象是由g(x)＝(x－2)(x－5)的图象向下平移1个单位得到的，由g(x)的零点可判断x1，x2的取值范围．
C
题型三 函数零点个数的判断
[解析] 作出函数g(x)＝(x－2)(x－5)的图象如图，将y＝g(x)的图象向下平移1个单位即得y＝f(x)的图象，由图象易知x1<2，x2>5，故选C．
判断函数y＝f(x)的零点的个数的方法
(1)解方程法，方程f(x)＝0的实数根的个数就是函数f(x)的零点的个数．
(2)借助函数的单调性及函数零点存在定理进行判断．
(3)如果函数图象易画出，则可依据图象与x轴的交点的个数来判断．特别地，对于形如y＝h(x)－g(x)的函数，可依据函数h(x)与g(x)的图象的交点的个数来判断函数y＝h(x)－g(x)的零点的个数．
C
例4 已知函数f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4.
(1)若f(x)有且只有一个零点，求实数m的值；
(2)若f(x)有两个零点，且均比－1大，求m的取值范围．
[分析] (1)f(x)有且只有一个零点，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0有两个相等实数根；
(2)f(x)有两个零点，且均比－1大，即方程x2＋2mx＋3m＋4＝0在(－1，＋∞)上有两个实数根．
题型四 一元二次方程根的分布问题
跟踪训练4 函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，求实数a的取值范围．
解 由f(x)＝0得a－1＝2|x|－x2，
因为函数f(x)＝x2－2|x|＋a－1有四个不同的零点，
所以函数y＝a－1与y＝2|x|－x2的图象有四个交点，
画出函数y＝2|x|－x2的图象，如图所示，
观察图象可知，03
当堂达标
C
2．函数f(x)＝x－2＋log2x，则f(x)的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[解析] f(1)＝－1＋log21＝－1，f(2)＝log22＝1，∴f(1)·f(2)<0，故选B．
B
3．若函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，则实数a的取值范围是( )
A．a＜1 B．a＞1
C．a≤1 D．a≥1
[解析] 函数f(x)＝x2＋2x＋a没有零点，即方程x2＋2x＋a＝0没有实数根，所以Δ＝4－4a＜0，得a＞1.
B
2
课堂作业
作业：完成对应练习(共23张PPT)
第四章 函数的应用（二）
4.5.2 用二分法求解方程的近似解
1.通过具体实例理解二分法的概念及其使用条件；
2.了解二分法求解方程近似解的步骤；
3.进一步加深对函数零点存在定理的理解。
学习目标
1.二分法的概念
对于在区间[a，b]上连续不断且________＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_________，使区间的两个端点逐步逼近_____，进而得到零点_______的方法叫做二分法．
[知识点拨] 二分法就是通过不断地将所选区间(a，b)一分为二，逐步地逼近零点的方法，即找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间内的某个数值近似地表示真正的零点．
f(a)·f(b)
一分为二
零点
近似值
自学探究
2．用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤
(1)确定区间[a，b]，验证___________，给定精确度ε；
(2)求区间(a，b)的中点c；
(3)计算f(c)：
若f(c)＝__，则c就是函数的零点；
若f(a)·f(c)__0，则令b＝c[此时零点x0∈(a，c)]；
若f(c)·f(b)__0，则令a＝c[此时零点x0∈(c，b)]．
f(a)·f(b)＜0
0
＜
＜
(4)判断是否达到精确度ε：
即若|a－b|__ε，则得到零点的近似值为a(或b)；否则重复(2)～(4)．
3．二分法的应用
由函数的零点与相应方程根的关系，可以用二分法来求方程的_______．
＜
近似解
1. 下面关于二分法的叙述，正确的是( )
A．用二分法可求所有函数零点的近似值
B．用二分法求方程的近似解时，可以精确到小数点后的任一位
C．二分法无规律可循
D．只有在求函数的零点时才用二分法
[解析] (1)只有函数的图象在零点附近是连续不断且在该零点左右的函数值异号，才可以用二分法求函数的零点的近似值，故A错；二分法有规律可循，可以通过计算机或计算器来进行，故C错；求方程的近似解也可以用二分法，故D错．
小试牛刀
[答案] C
[解析] A、B、D三个函数中，都存在x0∈[a，b]使f(a)·f(b)<0，只有C中函数值不变号，因此函数f(x)＝x2－2x＋1不能用二分法求零点．
[答案] C
[解析] 用二分法只能求变号零点，而C只有不变号零点，所以不能用二分法求得该函数零点．
[解析]由图象可得，A中零点左侧与右侧的函数值符号不同，故可用二分法求零点．
[答案] A
[规律总结] 运用二分法求函数的零点需具备的两个条件：(1)函数图象在零点附近连续不断；(2)在该零点左右函数值异号．
经典例题
[解析] 令f(x)＝x2－5，
因为f(2.2)＝2.22－5＝－0.16<0，
f(2.4)＝2.42－5＝0.76>0，
所以f(2.2)·f(2.4)<0.
说明函数f(x)在区间(2.2,2.4)内有零点x0.
取区间(2.2,2.4)的中点x1＝2.3，
f(2.3)＝0.29>0.
因为f(2.2)·f(2.3)<0，
所以x0∈(2.2,2.3)．再取区间(2.2,2.3)的中点x2＝2.25，
f(2.25)＝0.0625>0，
因为f(2.2)·f(2.25)<0，
所以x0∈(2.2,2.25)．
由于|2.25－2.2|＝0.05<0.1，
所以原方程的近似解可取为2.25.
[规律总结] 1.用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则
(1)需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n](一般采用估计值的方法完成)．
(2)取区间端点的平均数c，计算f(c)，确定有解区间是[m，c]还是[c，n]，逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值．
[答案] A
[解析] 利用二分法求函数的零点，必须满足函数图象连续不断且在零点两侧函数值符号相反．
当堂达标
[答案] C
[解析] 因为f(x)＝(2x－3)2≥0，即含有零点的区间[a，b]不满足f(a)·f(b)<0.
[答案] (2,3)
[解析] ∵f(2)·f(4)<0，f(2)·f(3)<0，
∴f(3)·f(4)>0，∴x0∈(2,3)．
课堂小结
课堂作业
作业：完成对应练习