(共31张PPT)
4.4 对数函数
4.4.1 对数函数的概念
1.理解对数函数的概念.
2.会求与对数函数有关的定义域问题.
3.了解对数函数在生产实际中的简单应用.
学习目标
1
自主学党的十九届五中全会召开，审议通过了关于“十四五”规划目标和2035年远景目标的建议。建议中未设定GDP翻番之类的定量目标，而是采取了以定性表述为主、蕴含定量的方式。这为推动我国经济高质量发展提供了更大空间。
已知某地2000-2019年20年内经济总量的年均增长率为8%，在学习了十九届五中全会精神后，该地结合实际情况组织专家综合研判，预测未来30年内，该地经济总量的年均增长率不低于5%，若按最低增速算，设经过x年后该地经济总量为现在的y倍，你能写出x与y的函数解析式吗？
若已知经济总量的倍数y，我们能否求出相应时间x呢？
探究1 很多同学给出的答案是
这里，y是x的指数函数，它刻画了经济总量的倍数y随时间x年呈指数增长的规律，我们能否用不同的角度去刻画这一规律呢？
比如我们能否求出经济总量翻一番所需要的时间x呢？
即已知 能否求x的值？
（参考数据：lg2=0.30103，lg1.05=0.021189）
若已知任意的经济总量倍数y，能否求得相应的时间x？
能否确定这个x是唯一的？
故x是y的函数
可知x是y的函数。
根据指数与对数的关系
一般的指数函数 也能表示成x是y的函数吗？
并结合指数单调性知，上式中x与y是一一对应的，故由
我们一般用x表示自变量，y表示函数值。将
中的x与y对调，写成 的形式，我们称为对数函数。
1.对数函数的概念
一般地，函数 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 .
y＝logax(a>0，且a≠1)
(0，＋∞)
1.由y＝logax，得x＝ay，所以x>0.( )
2.y＝log2x2是对数函数.( )
3.若对数函数y＝logax，则a>0且a≠1.( )
4.函数y＝loga(x－1)的定义域为(0，＋∞).( )
×
√
×
√
小试牛刀
2
经典例题
题型一 对数函数的概念及应用
例1 (1)指出下列函数哪些是对数函数？
①y＝3log2x；②y＝log6x；③y＝logx5；④y＝log2x＋1.
解 ①log2x的系数是3，不是1，不是对数函数.
②符合对数函数的结构形式，是对数函数.
③自变量在底数位置上，不是对数函数.
④对数式log2x后又加上1，不是对数函数.
解析 设对数函数f(x)＝logax(a>0，且a≠1)，
∵f(x)的图象过点P(8,3)，
∴3＝loga8，∴a3＝8，a＝2.
∴f(x)＝log2x，
－5
总结：判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1 若函数f(x)＝(a2＋a－5)logax是对数函数，则a＝________.
2
解析 由a2＋a－5＝1得a＝－3或a＝2.
又a>0且a≠1，所以a＝2.
题型二与对数函数有关的定义域
例2 求下列函数的定义域：
(1) (2)
∴函数的定义域是
∴函数的定义域是
总结：求与对数函数有关的函数的定义域时应遵循的原则
(1)分母不能为0.
(2)根指数为偶数时，被开方数非负.
(3)对数的真数大于0，底数大于0且不为1.
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
(1)y＝loga(3－x)＋loga(3＋x)；
∴函数的定义域是(－3,3).
∴1
(3)y＝log(1－x)5.
∴定义域为(－∞，0)∪(0,1).
题型三 对数函数模型的应用
例3
总结：对数函数应用题的解题思路
(1)依题意，找出或建立数学模型.
(2)依实际情况确定解析式中的参数.
(3)依题设数据解决数学问题.
(4)得出结论.
跟踪训练3 某公司制定了一个激励销售人员的奖励方案：当销售利润不超过10万元时，按销售利润的15%进行奖励；当销售利润超过10万元时，若超出A万元，则超出部分按2log5(A＋1)进行奖励.记奖金为y(单位：万元)，销售利润为x(单位：万元).
(1)写出奖金y关于销售利润x的解析式；
(2)如果业务员老江获得5.5万元的奖金，那么他的销售利润是多少万元？
解 由题意知1.5＋2log5(x－9)＝5.5，
即log5(x－9)＝2，
∴x－9＝52，解得x＝34.
∴老江的销售利润是34万元.
3
当堂达标
1.下列函数是对数函数的是
A.y＝log2x B.y＝ln(x＋1) C.y＝logxe D.y＝logxx
√
2.函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.(－∞，1) D.(－∞，1]
√
3.对数函数的图象过点M(125,3)，则此对数函数的解析式为
A.y＝log5x B.y＝ C.y＝ D.y＝log3x
√
解析 设函数解析式为y＝logax(a>0，且a≠1).由于对数函数的图象过点M(125,3)，
所以3＝loga125，得a＝5.
所以对数函数的解析式为y＝log5x.
－1
解析 设f(x)＝logax(a>0且a≠1)，loga9＝2，
∴a2＝9，∴a＝3(舍a＝－3)，
[1,3)
则函数的定义域为[1,3).
1.(1)对数函数的概念和定义域.
(2)对数函数模型的简单应用.
2.方法归纳：待定系数法.
3.常见误区：易忽视对数函数底数有限制条件.
课堂作业
课堂作业
作业：完成对应练习(共36张PPT)
4.4.2 对数函数的图象和性质
学习目标
1
自主学习
x轴
(0,+∞)
(1,0)
1
0
减函数
增函数
提示:底数越大,图象越靠右边.
提示:根据loga1=0,知无论a(a>0,且a≠1)取何值,对数函数y=logax的图象恒过定点(1,0).令x-1=1,则x=2,所以函数y=loga(x-1)的图象恒过定点(2,0).
提示:根据反函数的定义,知对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过点(3,1).
解析:题中两个对数函数的底数互为倒数,因此它们的图象关于x轴对称.
x轴
小试牛刀
解析:根据对数函数的性质,知0(0,1)
解析:令x+1=1,得x=0,
则函数y=loga(x+1)(a>0,且a≠1)的图象恒过定点(0,0).
(0,0)
解析:根据反函数的定义,知y=ln x的反函数是y=ex.
y=ex
解析:根据反函数的定义,知y=10x的反函数是y=lg x.
y=lg x
2
经典例题
题型一 比较两个数值的大小
例1（课本例3）
答案:C
答案:D
(-2,1)
题型二 解对数不等式
答案:C
题型三 对数函数图象和性质
解析:由对数函数底数大小与图象位置的关系,知b>a>1>d>c.
b>a>1>d>c
解析:令2x+1=1,得x=0,
此时f(0)=2,
即原函数的图象过定点(0,2).
(0,2)
±1
题型四 对数函数性质的综合应用
[-2,+∞)
(4,+∞)
答案:A
3
当堂达标
解析:选项A中,由y=x+a的图象,知a>1,
由y=logax的图象知0选项B中,由y=x+a的图象,知0由y=logax的图象知a>1,选项B不符合题意;
选项C中,由y=x+a的图象,知0由y=logax的图象知0选项D中,由y=x+a的图象,知a<0,
由y=logax的图象知a>1,选项D不符合题意.
答案:C
解析:因为函数y=log4x是增函数,
所以log23=log49>log46>1.
又因为log32<1,所以b答案:D
答案:(1,1.7)
(-∞,-1]
(2,+∞)
课堂小结
课堂作业
作业：完成对应练习