湘教版数学九年级上册第2章 一元二次方程： 2.4一元二次方程根与系数的关系课件 19张PPT

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1.一元二次方程的解法
2.求根公式
复习提问
我们已经知道，一元二次方程：
ax2+bx+c=0（a≠0）的根的值由方程的
系数a、b、c来决定，除此之外，根与
系数之间还有什么关系呢？
完成下面做一做。
一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2
x2-2x=0 0 2
x2+3x-4=0
x2-5x+6=0
1.先解方程，再填表。
2
0
-4
1
-3
-4
2
3
5
6
由上表可得，方程x2-bx+c=0的两根为x1、x2，则
x1+x2=_____,x1·x2= ____.
b
c
2.方程x2-5x+6=0的两个根为:
x1=____,x2=_____.
得x2-5x+6=（x-___)(x-___).
2
3
2
3
动脑筋：
对于方程ax2+bx+c=0（a≠0），当△≥0时，
该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？
当△≥0时，设ax2+bx+c=0（a≠）的两个根为x1、x2，
则 ax2+bx+c=a（x2+ x+ ）
=a〔（x-x1）（x-x2）〕
=a〔x2-（x1+x2）+x1x2 〕
于是，x2+ x+ =x2-（x1+x2）+x1x2
由此可得， =-（x1+x2）， =x1x2.
即 x1+x2=- ，x1x2=
韦达定理
这表明，当△≥0时，一元二次方程的根与
系数之间有如下的关系：
两根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数；
两根的积等于常数项与二次项系数的比。
此定理是法国数学家韦达
首先发现的，也称为韦达定理
对任意的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），
它的两根之和与两根之积与方程的系数都有
这样的关系存在，就是　
例1 根据一元二次方程根与系数的关系，求下列
方程两根x1、x2的和与积。
（1）2x2-3x+1=0，
（2）x2-3x+2=10，
（3）7x2-5=x+8.
例2 已知关于x的方程x2+3x+q=0的一个跟为-3,
求它的另一个根及q的值。
解：设x2+3x+q=0的另一个根为x2，则
-3+x2=-3
解得x2=0
有根与系数之间的关系得 q=（-3）×0=0
因此，方程的另一个根为0，q的值为0.
你还能用其它的方法解答此题吗？试试看。
1. 利用根与系数的关系，求作一个一元二次方程，使它的两根为2和3.
（此题答案唯一吗？）
2.不解方程，求下列方程两根的和与两根的积各是多少？
（1）x2 -3x+1=0 ( 2)3x2-2x+2=0
（3）2x2+3x=0 （4）3x2=1
3.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求方程的另一个根及K的值.
变式练习：
已知方程5x2-7x+k=0的一个根是2，
求它的另一个根及K的值；
（2）
（1）
（３） （x1- x2）2
4.设x1，x2是方程2x2+4x-3=0的两个根，
利用根与系数的关系，求下列各式的值。
5.已知关于x的一元二次方程
x2 = 2（1－m）x－m2 的两实数根为x1、x2．
（1）求m的取值范围；
（2）设y = x1 + x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出y的最小值．
一元二次方程根与系数的关系
　　两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数,两根之积等于常数项与二次项系数的比.
即 若ax2+bx+c=0（a ≠ 0）的两根
为x1、x2则有
学习和研究好比爬梯子，要一步一步地往上爬，企图一脚跨上四五步，平地登天，那就必须会摔跤了。
——— 华罗庚
结束语