沪科版数学九年级上册 21.2.1 二次函数y=ax2的图象和性质 课件(共20张PPT)

(共20张PPT)
21.2 二次函数的图象和性质
21.2.1 二次函数y=ax 的图象和性质
问题1 我们学过哪些函数？研究这些函数是从哪几个方面入手的？我们要研究二次函数应该从哪几个方面入手呢？
问题2 函数图象的画法是什么？一般步骤有哪些？
知识回顾
o
9
解：（1）列表：
x ··· －3 －2 －1 0 1 2 3 ···
y = x2 ··· ···
（2）根据表中x,y的数值在坐标平面中描点（x,y）;
－3
3
3
6
9
0
1
4
9
1
4
9
（3） 如图，再用平滑曲线顺次连接各点， 就得到y = x2 的图象．
画二次函数 y=x2的图象.
3
3
6
x
y
讲授新课
一、二次函数 y=ax 的图象
－3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数y=x2的图象如下：
x
y
二次函数 的图象形如物体抛射时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.
这条抛物线关于y轴对称,
y轴就是它的对称轴.
对称轴与抛物线的交
点叫做抛物线的顶点.
例：画二次函数 的图象.
x 0 1 2 3 4
0 －1
－4
描点和连线：画出图象在y轴右边的部分，再利用对称性画出y轴左边的部分.
解：列表
－2
－4
2
4
－2
－4
这样我们得到了
的图象，如图
x
y
o
观察图 的图象跟实际生活中的什么相像？
的图象很像掷铅球时，铅球在空中经过的路线.
－2
－4
2
4
－2
－4
x
y
o
以铅球在空中经过的路线的最高点为原点建立直角坐标系，x轴的正向水平向右，y轴的正向竖直向上，则可以求出铅球在空中经过的路线是形式为 的图象的一段.
－2
－4
2
4
－2
－4
x
y
o
1.y＝x2是一条抛物线;
2.图象开口向上;
3.当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小;
4．图象关于y轴对称;
5．顶点（ 0 ，0 ）;
6．图象有最低点．
观察图象y=x2,说说它有哪些特点.
二、二次函数 y=ax 的性质
－2
2
2
4
6
4
－4
8
相同点：开口都向上，顶点是原点而且是抛物线的最低点，对称轴是 y 轴
不同点：a 越大，抛物线的开口越小．
归纳：
x
y
o
1. 画出函数 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
相同点：开口都向下，顶点是原点而且是抛物线的最高点，对称轴是 y 轴.
不同点：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小．
归纳：
2.在同一坐标系中，画出函数y=-x2,y=-2x2, y= x2 的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点．
x
y
o
例：一个二次函数，它的图象的顶点是原点，对称轴是y轴，且经过点（-1， ）
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）根据图象指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当
x＜0时，若x增大，y怎样变化？
（4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？
典例精讲
（1）求这个二次函数的解析式；
解：设这个二次函数解析式为
y =ax2，将（-1， ）代入得
y= x2.
（2）画出这个二次函数的图象；
（3）根据图象指出，当x＞0时，若x增大，y怎样变化？当
x＜0时，若x增大，y怎样变化？
（4）当x取何值时，y有最大（或最小）值，其值为多少？
解：当x=0时，y有最小值为0.
当x＞0时，y随x增大而增大；当x＜0时, y随x增大而减小；
二次函数y= -3x2
(1)图象的开口向 ___，对称轴是 ____，
顶点是______ ，顶点坐标是______.图象有最____点.
(2)当x______时，y随x的增大而增大.
(3)当x______时，y随x的增大而减小.
(4)当x______时，函数y有最_____值________.
下
y轴
原点
（0,0）
＞0
＜0
高
=0
大
0
练一练
1.画出下列函数图象：
（1）y=2x2 ; （2）y= x2
2. 2.下列函数中，当x＞0时，y值随x值增大而减小的是（ ）
A. y= B.y=x-1 C. D.y=-3x2
解：画图略.
D
课堂练习
3.
解：（1）由题意知m≠0，m2+1=2,得m= -1或1；
（2）当m=1时，图象有最低点，最低点的坐标为
（0,0）.此时，当x＞0时，y随x的增大而增大；
（3）当m= -1时，函数有最大值，最大值是0.此时，x
的值为0.当 x＞0时，y随x的增大而减小；当x＜0
时，y随x的增大而增大.
1.一般地，抛物线 y = ax 2 的对称轴是 y 轴，顶点是原点；
2.当a＞0时，抛物线开口向上，顶点是抛物线的最低点；
当a＜0时，抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点；
3.对于抛物线 y = ax 2 （a＞0）
当x＞0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小；
4.对于抛物线 y = ax 2 ，｜a｜越大，抛物线的开口越小．
课堂小结
抛物线 y=ax2（a＞0） y=ax2（a＜0）
图象（草图）
顶点坐标
开口 方向
大小
最值
增减性
（0, 0）
向上
向下
|a|越大，开口越小；|a|越小，开口越大
有最小值0
有最大值0
当x＜0时，y随x的增大而增大；当x＞0时，y随x的增大而减小
当x＞0时，y随x的增大而增大；当x＜0时，y随x的增大而减小