2022-2023学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年甘肃省金昌市永昌第一高级中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 复数，是虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2. 某工厂生产的，，三种不同型号的产品数量之比为：：，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的，，三种产品中抽出件进行测试，则应该抽取的型号产品的件数为( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，，且，则的值为( )
A. B. C. 或 D.
4. 如图，平行四边形中，是的中点，若，，则( )
A. B. C. D.
5. 河北省正定县的须弥塔是中国建筑宝库的珍贵遗产，是我国古建筑之精品，是中国古代高超的建筑工程技术和建筑艺术成就的例证一名身高的同学假期到河北省正定县旅游，他在处仰望须弥塔尖，仰角为，他沿直线向塔行走了后仰望须弥塔尖，仰角为，据此估计该须弥塔的高度约为参考数据：( )
A. B. C. D.
6. 满足条件的的个数为( )
A. 一个 B. 两个 C. 不存在 D. 无法判断
7. 下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
8. 已知向量，为单位向量，且，向量与共线，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 若，则复数在复平面内对应的点可能在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
10. 某校名学生参加数学竞赛，随机抽取了名学生的考试成绩单位：分，成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 的值为
B. 估计这名学生数学考试成绩的众数为
C. 估计总体中成绩落在内的学生人数为
D. 估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为
11. 在中，内角，，所对的边分别为，，，则下列结论正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则是锐角三角形
C. 若，则是等腰三角形
D. 若为锐角三角形，则
12. 窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图是一个正八边形窗花，图是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图已知正八边形的边长为，是正八边形边上任意一点，则下列结论正确的是( )
A.
B. 在向量上的投影向量为
C. 若，则为的中点
D. 若在线段上，且，则的取值范围为
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 我国古代数学著作九章算术中用“圭田”一词代指等腰三角形田地．若一“圭田”的腰长为，顶角的余弦值为，则该“圭田”的底边长为______．
14. 已知数据、、、的方差为，则数据、、、的标准差为______ ．
15. 已知，都是锐角，且，，则的值是______ ．
16. 如图，在菱形中，，，分别是边，上的点，且，，连接，，交点为设，
则 ______ ；
______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某小区为了提高小区内人员的读书兴趣，准备举办读书活动，并购买一定数量的书籍丰富小区图书站由于不同年龄段的人看不同类型的书籍，为了合理配备资源，现对小区内看书人员进行年龄调查，随机抽取了名读书者进行调查，将他们的年龄单位：岁分成段：，，，，，后得到如图所示的频率分布直方图．
求在这名读书者中年龄分布在的人数；
求这名读书者的年龄的平均数和中位数同一组中的数据用该组区间中点值为代表．
18. 本小题分
已知向量，．
若，求的值；
若，求与的夹角的余弦值．
19. 本小题分
已知为虚数单位，复数为纯虚数，且为实数．
求复数；
若复数是关于的方程在复数集内的一个根，求实数和实数的值．
20. 本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求角；
若为边的中点，且，，求的周长．
21. 本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求的大小；
已知，求的面积的最大值．
22. 本小题分
如图，在平面四边形中，．
当时，求的面积．
当时，求．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：复数，
．
故选：．
根据虚数单位的性质得，再结合复数的乘法运算及复数模的概念即可得到答案．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数模公式，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：某工厂生产的，，三种不同型号产品的数量之比为：：，则被抽的抽样比为，所以抽出件产品中型号产品的件数为．
故选：．
根据分层抽样的性质求出抽样比，然后求解即可．
本题主要考查分层抽样的定义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：由条件可知，，
即，解得或．
故选：．
根据数量积的坐标表示，即可求解．
本题主要考查向量垂直的性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查向量的加法运算，考查学生的计算能力，属于基础题．
利用向量的加法运算，即可得到结论．
【解答】
解：平行四边形中，是的中点，
，，
故选：．

5.【答案】
【解析】解：作出图形，如图所示：
由题意得，，，，则，
，
在中，由正弦定理得，即，
又，
塔高；
故选：．
作出图形，由题意得，，，，则，可得，利用正弦定理求出，可得，即可得出答案．
本题考查解三角形，考查转化思想和数形结合思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：因为，即，
解得或，
所以满足条件的有两个．
故选：．
利用余弦定理运算求解即可判断．
本题主要考查了余弦定理在求解三角形中的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：对于，，故A不正确；
对于，，故B不正确；
对于，，故C正确；
对于，根据同角平方关系可得，，故D不正确．
故选：．
由已知结合和差角公式，二倍角公式分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了和差角公式，二倍角公式在三角化简求值中的应用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：，，
与的夹角为．
，，
不妨设，，
，
，
，当且仅当时取等号．
故选：．
利用向量的数量积求出向量的夹角，设，，推出向量，然后利用向量的模的运算法则化简，结合二次函数的性质求解最值即可．
本题考查向量的数量积的应用，向量的模的运算法则的应用，是中档题．
9.【答案】
【解析】解：当时，，，故复数在复平面内对应的点在第三象限，
当时，，，故复数在复平面内对应的点在第四象限．
故选：．
分与两种情况下得到余弦和正弦值的正负，得到答案．
本题主要考查复数的几何意义，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：根据频率和等于得：，，A正确；
由频率分布直方图可知，众数为，B正确；
总体中成绩落在内的学生人数为：，C错误；
上面各组对应的频率分别为：，，，，，
故第百分位数在内，设第百分位数约为，则：，，D正确．
故选：．
对于，根据频率之和为计算即可；对于，根据众数的定义判断即可；对于，根据频数和频率的关系计算即可；对于，根据百位分数的计算公式求解即可．
本题考查频率分布直方图等统计相关知识，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：对于项，在中，由正弦定理得：，，为外接圆的半径，
因为，所以，所以，故A项正确；
所以项，因为，所以，所以为锐角，但无法确定、是否为锐角，故B项不成立；
对于项，因为，
所以由正弦定理得：，即：，
所以或，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故C项不成立；
对于项，因为为锐角三角形，
所以，
又因为在上单调递增，
所以，即：，故D项正确．
故选：．
运用正弦定理边化角即可判断项，运用平面向量数量积运算可推出为锐角，但无法确定、是否为锐角即可判断项，运用正弦定理边化角及二倍角公式可求得或可判断项，由锐角三角形可得，再运用在上单调递增及诱导公式运算即可判断项．
本题主要考查解三角形，正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：如图所示：以所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，
设，
则，整理得到，，，，设，
对选项A：，，，错误；
对选项B：，，，即投影向量为，正确；
对选项C：，，，整理得到，即，与正八边形有两个交点，错误；
对选项D：，，，，，
整理得到，，故，正确．
故选：．
以所在直线为轴，所在直线为轴建立直角坐标系，计算各点坐标，计算，A错误，投影向量为，B正确，直线与正八边形有两个交点，C错误，，D正确，得到答案．
本题主要考查平面向量的数量积运算，考查转化能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：设该“圭田”的底边长为，
则由题意，利用余弦定理可得：，
解得，故该“圭田”的底边长为．
故答案为：．
设该“圭田”的底边长为，利用余弦定理即可求解．
本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为数据、、、的方差为，
所以数据、、、的方差为，
所以标准差为．
故答案为：．
根据数据、、、的方差求出数据、、、的方差，再求标准差．
本题考查了样本数据的数字特征应用问题，是基础题．
15.【答案】
【解析】解：，都是锐角，，．
．
是锐角，．
故答案为．
利用平方关系可得，利用商数关系可得，再利用展开即可得出．
熟练掌握同角的三角函数的基本关系式、两角和的正切公式等是解题的关键．
16.【答案】
【解析】解：，
，，三点共线，
，
，
，不共线，
由平面向量基本定理可得，，解得；
不妨令，作为平面的一组基底，
则，，
不妨令，
则，
，
，解得，
，解得，
．
故答案为：；．
根据已知条件，结合平面向量的线性运算，以及向量向量的基本定理，即可求；
令，作为平面的一组基底，再结合平面向量的线性运算，以及平面向量的数量积公式，向量的夹角公式，即可求解．
本题主要考查平面向量的数量积公式，考查转化能力，属于中档题．
17.【答案】解：由频率分布直方图知，年龄在的频率为，
故这名读书者中年龄分布在的人数为．
这名读书者年龄的平均数为
设中位数为，则，
解得，故这名读书者年龄的中位数为．
【解析】由图计算得年龄在的频率为，乘以人数即可；
直接利用平均数公式即可计算出平均数，设中位数为，得到关于的方程，解出即可．
本题主要考查频率分布直方图，属于基础题．
18.【答案】解：因为，所以，
即，所以或．
若，则若，即，
所以，
所以，即．
所以，，，
．
【解析】由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，计算求得的值．
由题意，利用两个向量垂直的性质求出的值，再利用两个向量夹角公式，求得结果．
本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，两个向量夹角公式，属于基础题．
19.【答案】解：由复数为纯虚数，设，则，
由为实数，则，解得，即．
由题意可知，方程在复数集内的根为，
则，，
所以，．
【解析】根据纯虚数与实数的定义，结合复数的运算，建立方程，可得答案；
根据二次函数的复数根的性质，利用韦达定理，可得答案．
本题主要考查纯虚数的定义，以及复数的四则运算，属于基础题．
20.【答案】解：在中因为，
由正弦定理得，
所以，
即，
又因为，，，所以，
所以．
取边的中点，连接，则，
且，，
在中，由余弦定理得：，
解得，所以．
在中，由余弦定理得：，
所以的周长为．
【解析】由正弦定理将边化角，然后利用内角和定理将转化成即可求解；分别在两个三角形中用余弦定理即可求解出各边长，从而求出周长．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：，
，
，
，
，
，
．
，，当且仅当时取等号，
，
．
【解析】先把化为，用余弦定理即可求解．
先用基本不等式求出的最大值，再代入三角形的面积公式即可．
本题考查余弦定理与三角形面积公式、基本不等式的应用，考查转化与化归思想及运算求解能力，属于中档题．
22.【答案】解：当时，在中，，
由余弦定理得，
即，解得，
所以，
因为，则，
又，
所以的面积是．
在中，由正弦定理得，
即，
在中，由正弦定理得，即，
则，整理得，
因为，
所以，
因为，所以．
【解析】利用余弦定理求出，，再利用诱导公式、三角形面积公式计算作答；
在和中用正弦定理求出，再借助同角公式及诱导公式求解作答．
本题考查余弦定理以及三角函数的定义等知识方法，属于中档题．
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