2022-2023学年海南省儋州市川绵中学高二（下）期末数学试卷（含解析）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年海南省儋州市川绵中学高二（下）期末数学试卷（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 242.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-26 08:29:54 | ||
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文档简介
2022-2023学年海南省儋州市川绵中学高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知全部是正项的等比数列的前项和为，若，，则其公比为( )
A. B. C. D.
3. 函数的极小值为( )
A. B. C. D. 不存在
4. 已知数列是等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
5. 已知的展开式中的系数是，则实数的值是( )
A. B. C. D.
6. 某数学兴趣小组把两个、一个、一个与一个组成一个五位数如，若其中两个不相邻，则这个五位数的个数为( )
A. B. C. D.
7. 已知，为两个随机事件，，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
8. 已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是( )
A. 在上单调递增
B. 在上单调递增
C. 曲线在处的切线的斜率为
D. 曲线在处的切线的斜率为
9. 已知数列中，，，下列说法正确的是( )
A. 若是等比数列，则 B. 若是等比数列，则
C. 若是等差数列，则 D. 若是等差数列，则公差为
10. 随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 有最大值 D. 随的增大而减小
11. 袋中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从袋中不放回的依次抽取个球．记事件“第一次抽到的是白球”，事件“第二次抽到的是白球”，则( )
A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
12. 在等差数列中，，则 ______ ．
13. 曲线在点处的切线方程为______ ．
14. 某校高二学生一次数学诊断考试成绩单位：分图从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______结果用分数表示
附参考数据：；；．
15. 现有两个罐子，号罐子中装有个红球、个黑球，号罐子中装有个红球、个黑球现先从号罐子中随机取出一个球放入号罐子，再从号罐子中取一个球，则从号罐子中取出的球是红球的概率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
等差数列的首项，且满足，数列满足．
求数列的通项公式；
设数列的前项和是，求．
17. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的极值．
18. 本小题分
已知求：
的值；
及的值；
19. 本小题分
一盒中装有大小和质地相同的个白球和个红球，现从该盒中任取球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数．
求随机变量的分布列；
求随机变量的期望和方差．
20. 本小题分
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球次均命中的概率为．
求甲投球次，命中次的概率；
若乙投球次，设命中的次数为，求的分布列．
21. 本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
若函数至少有两个不同的零点，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，所以．
故选：．
根据集合的交集运算即可．
本题考查交集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设公比为，
因为，，
所以，解得，或，
因为，，
所以，
故选：．
设公比为，根据条件列出方程求解即可．
本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
，由，
时，，时，，
所以的极小值．
故选：．
求出定义域，导数及导数的零点，再判断导数附近的符号，确定结论．
本题考查函数极值点的判断和计算，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：数列是等差数列，，
，可得．
则．
故选：．
利用等差数列的性质即可得出．
本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项展开式的通项公式以及解决二项展开式的特定项问题的重要方法，属于基础题．
在展开式的通项公式，令的指数为，利用的展开式中的系数是，即可得实数的值．
【解答】
解：的展开式的通项公式为，则
的展开式中的系数是，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：利用插空法，第一步排列一个，一个，一个，
共有种排法，
第二步最前面不能排，再把插入其中个空，
所以有种排法，
所以共有个五位数．
故选：．
由于三个均不相邻，所以采用插空法，第一步排列一个，一个，一个，第二步再把插入其中五个空，即可得答案．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由全概率公式得，
，
，
．
故选：．
利用全概率公式求解即可．
本题考查全概率公式的运用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由导函数的图象可知当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，A错误；
由图象可知当时，，在上单调递增，B正确；
由于，根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为，C错误，D正确，
故选：．
根据导数的正负与函数单调性的关系可判断，；根据导数的几何意义可判断，．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：若是等比数列，则，，
，B正确；
若是等差数列，则公差，D正确．
故选：．
分情况讨论，分别代入等差等比的通项公式计算即可．
本题考查等差，等比数列的通项公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知，即，故A正确；
，故B正确；
，
因为，，易得，
而，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得最大值，
所以随着的增大先增大后减小，当时取得最大值，故C正确，D错误．
故选：．
利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查期望方差的计算，是中档题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查条件概率，考查学生的运算能力，属于中档题．
根据互斥事件以及相互独立事件的概念，可判断，；事件“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，由此判断；根据条件概率的公式计算，可判断．
【解答】
解：对于，由于第一次抽到的是白球和第二次抽到白球，可以同时发生，
故事件与事件不互斥，故A错误；
对于，由于是从袋中不放回的依次抽取个球，
因此第一次抽球的结果对第二次抽到什么颜色的球是有影响的，
因此事件与事件不是相互独立关系，故B错误；
对于，事件“第二次抽到的是白球“，分两种情况，
即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，
故，故C正确；
对于，，故，故D正确．
故选CD．
12.【答案】
【解析】解：因为为等差数列，
所以．
故答案为：．
根据等差数列性质分析运算．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，
所以，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以所求切线方程为，即．
故答案为：．
根据导数的几何意义求解即可．
本题考查利用导数求函数的切线问题，化归转化思想，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，，，
，
故答案为．
利用条件概率公式，即可得出结论．
本题考查条件概率，考查正态分布，考查想的计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设事件表示“从号罐子中取出的球是红球”，事件表示“从号罐子中取出的是红球”，事件表示“从号罐子中取出的是黑球”，
则，，，，
所以，．
故答案为：．
设事件表示“从号罐子中取出的球是红球”，事件表示“从号罐子中取出的是红球”，事件表示“从号罐子中取出的是黑球”，则，，，，再利用全概率公式求解即可．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
16.【答案】解：设公差为．
由可得，．
又，所以．
所以．
由知，．
则，故是为首项，以为公比的等比数列．
所以．
【解析】由已知可得，代入，求出，即可得到通项公式；
由知，，得到是为首项，以为公比的等比数列．进而根据等比数列前项和公式，即可求出答案．
本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的前项和，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为函数．
所以，
所以，
又，
所以切点坐标为，
所以切线方程为，
整理得，，
即曲线在点处的切线方程为；
定义域为，
由可知，，
令，即，解得或舍去，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当时，有极小值为，无极大值．
【解析】求导，根据导数的几何意义可求得切线的斜率，求出的值，代入点斜式方程可得结果；
根据导数研究函数的单调性可得函数的极值．
本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值问题，属于基础题．
18.【答案】解：令．
令，可得．
由赋值法可得，
所以，，
；
【解析】将代入等式计算即可．
利用赋值法可得和，两式加减计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．
19.【答案】解：根据题意可得，，，
又，
所以的分布列如下：
根据可得．
【解析】根据古典概型的概率公式，组合数公式，离散型随机变量的分布列的概念，即可求解；
根据离散型随机变量的期望与方差的概念及性质，即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望方差的求解，古典概型的概率公式的应用，属中档题．
20.【答案】解：设“甲投球一次命中”为事件，
则，，
故甲投球次命中次的概率为．
设“乙投球一次命中”为事件，
由题意得，解得，
所以，，
由题意得，则，
，，，
故的分布列为：
【解析】甲投球次，命中次人两种情况：第一次命中第二次没有命中，第一次没有命中第二次命中，然后利用互斥事件的概率加法公式求解即可，
由题意可求得，服从，则利用二项分布的概率公式求解出对应的概率，从而可列出分布列．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，属于中档题．
21.【答案】解：已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，
当时，函数取得极小值，极小值；
若函数至少有两个不同的零点，
此时方程至少有两个相异实数根，
即方程至少有两个相异实数根，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，
又，
所以当时，，
因为，
所以在区间上存在一点，使得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值，极小值，
又，，
当时，，
此时，
则当时，函数与直线的图象至少有两个交点，
故的最大值为．
【解析】由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求解；
函数至少有两个不同的零点，转化成方程至少有两个相异实数根，构造函数，即函数与直线的图象至少有两个交点，对函数进行求导，结合导数的几何意义以及零点存在性定理进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
第1页，共1页
一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 已知全部是正项的等比数列的前项和为，若，，则其公比为( )
A. B. C. D.
3. 函数的极小值为( )
A. B. C. D. 不存在
4. 已知数列是等差数列，若，则( )
A. B. C. D.
5. 已知的展开式中的系数是，则实数的值是( )
A. B. C. D.
6. 某数学兴趣小组把两个、一个、一个与一个组成一个五位数如，若其中两个不相邻，则这个五位数的个数为( )
A. B. C. D.
7. 已知，为两个随机事件，，，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
8. 已知函数的导函数的图象大致如图所示，下列结论正确的是( )
A. 在上单调递增
B. 在上单调递增
C. 曲线在处的切线的斜率为
D. 曲线在处的切线的斜率为
9. 已知数列中，，，下列说法正确的是( )
A. 若是等比数列，则 B. 若是等比数列，则
C. 若是等差数列，则 D. 若是等差数列，则公差为
10. 随机变量的分布列如表：其中，下列说法正确的是( )
A. B.
C. 有最大值 D. 随的增大而减小
11. 袋中装有除颜色外完全相同的个红球和个白球，从袋中不放回的依次抽取个球．记事件“第一次抽到的是白球”，事件“第二次抽到的是白球”，则( )
A. 事件与事件互斥 B. 事件与事件相互独立
C. D.
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
12. 在等差数列中，，则 ______ ．
13. 曲线在点处的切线方程为______ ．
14. 某校高二学生一次数学诊断考试成绩单位：分图从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______结果用分数表示
附参考数据：；；．
15. 现有两个罐子，号罐子中装有个红球、个黑球，号罐子中装有个红球、个黑球现先从号罐子中随机取出一个球放入号罐子，再从号罐子中取一个球，则从号罐子中取出的球是红球的概率为______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
等差数列的首项，且满足，数列满足．
求数列的通项公式；
设数列的前项和是，求．
17. 本小题分
已知函数．
求曲线在点处的切线方程；
求函数的极值．
18. 本小题分
已知求：
的值；
及的值；
19. 本小题分
一盒中装有大小和质地相同的个白球和个红球，现从该盒中任取球，记随机变量表示从该盒中取出的红球个数．
求随机变量的分布列；
求随机变量的期望和方差．
20. 本小题分
甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为与，且乙投球次均命中的概率为．
求甲投球次，命中次的概率；
若乙投球次，设命中的次数为，求的分布列．
21. 本小题分
已知函数．
当时，求的极值；
若函数至少有两个不同的零点，求的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：集合，，所以．
故选：．
根据集合的交集运算即可．
本题考查交集的定义，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：设公比为，
因为，，
所以，解得，或，
因为，，
所以，
故选：．
设公比为，根据条件列出方程求解即可．
本题考查了等比数列的通项公式，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，，
，由，
时，，时，，
所以的极小值．
故选：．
求出定义域，导数及导数的零点，再判断导数附近的符号，确定结论．
本题考查函数极值点的判断和计算，属于中档题．
4.【答案】
【解析】解：数列是等差数列，，
，可得．
则．
故选：．
利用等差数列的性质即可得出．
本题考查了等差数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二项展开式的通项公式以及解决二项展开式的特定项问题的重要方法，属于基础题．
在展开式的通项公式，令的指数为，利用的展开式中的系数是，即可得实数的值．
【解答】
解：的展开式的通项公式为，则
的展开式中的系数是，
，
．
故选：．
6.【答案】
【解析】解：利用插空法，第一步排列一个，一个，一个，
共有种排法，
第二步最前面不能排，再把插入其中个空，
所以有种排法，
所以共有个五位数．
故选：．
由于三个均不相邻，所以采用插空法，第一步排列一个，一个，一个，第二步再把插入其中五个空，即可得答案．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：由全概率公式得，
，
，
．
故选：．
利用全概率公式求解即可．
本题考查全概率公式的运用，属于基础题．
8.【答案】
【解析】解：由导函数的图象可知当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，A错误；
由图象可知当时，，在上单调递增，B正确；
由于，根据导数的几何意义可知在处的切线的斜率为，C错误，D正确，
故选：．
根据导数的正负与函数单调性的关系可判断，；根据导数的几何意义可判断，．
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查导数的几何意义，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：若是等比数列，则，，
，B正确；
若是等差数列，则公差，D正确．
故选：．
分情况讨论，分别代入等差等比的通项公式计算即可．
本题考查等差，等比数列的通项公式，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：由题意可知，即，故A正确；
，故B正确；
，
因为，，易得，
而，开口向下，对称轴为，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得最大值，
所以随着的增大先增大后减小，当时取得最大值，故C正确，D错误．
故选：．
利用分布列的性质以及期望与方差公式，列出表达式，结合二次函数的性质判断选项的正误即可．
本题考查离散型随机变量的分布列的性质，考查期望方差的计算，是中档题．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查条件概率，考查学生的运算能力，属于中档题．
根据互斥事件以及相互独立事件的概念，可判断，；事件“第二次抽到的是白球”，分两种情况，即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，由此判断；根据条件概率的公式计算，可判断．
【解答】
解：对于，由于第一次抽到的是白球和第二次抽到白球，可以同时发生，
故事件与事件不互斥，故A错误；
对于，由于是从袋中不放回的依次抽取个球，
因此第一次抽球的结果对第二次抽到什么颜色的球是有影响的，
因此事件与事件不是相互独立关系，故B错误；
对于，事件“第二次抽到的是白球“，分两种情况，
即第一次抽到红球第二次抽到白球和第一次抽到白球第二次也抽到白球，
故，故C正确；
对于，，故，故D正确．
故选CD．
12.【答案】
【解析】解：因为为等差数列，
所以．
故答案为：．
根据等差数列性质分析运算．
本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：由，
所以，
所以，
所以曲线在点处的切线斜率为，
所以所求切线方程为，即．
故答案为：．
根据导数的几何意义求解即可．
本题考查利用导数求函数的切线问题，化归转化思想，属中档题．
14.【答案】
【解析】解：由题意，，，
，
故答案为．
利用条件概率公式，即可得出结论．
本题考查条件概率，考查正态分布，考查想的计算能力，属于中档题．
15.【答案】
【解析】解：设事件表示“从号罐子中取出的球是红球”，事件表示“从号罐子中取出的是红球”，事件表示“从号罐子中取出的是黑球”，
则，，，，
所以，．
故答案为：．
设事件表示“从号罐子中取出的球是红球”，事件表示“从号罐子中取出的是红球”，事件表示“从号罐子中取出的是黑球”，则，，，，再利用全概率公式求解即可．
本题主要考查了全概率公式，属于基础题．
16.【答案】解：设公差为．
由可得，．
又，所以．
所以．
由知，．
则，故是为首项，以为公比的等比数列．
所以．
【解析】由已知可得，代入，求出，即可得到通项公式；
由知，，得到是为首项，以为公比的等比数列．进而根据等比数列前项和公式，即可求出答案．
本题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的前项和，考查运算求解能力，属于基础题．
17.【答案】解：因为函数．
所以，
所以，
又，
所以切点坐标为，
所以切线方程为，
整理得，，
即曲线在点处的切线方程为；
定义域为，
由可知，，
令，即，解得或舍去，
当时，，在上单调递减，
当时，，在上单调递增，
所以当时，有极小值为，无极大值．
【解析】求导，根据导数的几何意义可求得切线的斜率，求出的值，代入点斜式方程可得结果；
根据导数研究函数的单调性可得函数的极值．
本题考查了导数的几何意义以及利用导数研究函数的极值问题，属于基础题．
18.【答案】解：令．
令，可得．
由赋值法可得，
所以，，
；
【解析】将代入等式计算即可．
利用赋值法可得和，两式加减计算即可．
本题主要考查二项式定理的应用，是给变量赋值的问题，关键是根据要求的结果，选择合适的数值代入，属于基础题．
19.【答案】解：根据题意可得，，，
又，
所以的分布列如下：
根据可得．
【解析】根据古典概型的概率公式，组合数公式，离散型随机变量的分布列的概念，即可求解；
根据离散型随机变量的期望与方差的概念及性质，即可求解．
本题考查离散型随机变量的分布列与期望方差的求解，古典概型的概率公式的应用，属中档题．
20.【答案】解：设“甲投球一次命中”为事件，
则，，
故甲投球次命中次的概率为．
设“乙投球一次命中”为事件，
由题意得，解得，
所以，，
由题意得，则，
，，，
故的分布列为：
【解析】甲投球次，命中次人两种情况：第一次命中第二次没有命中，第一次没有命中第二次命中，然后利用互斥事件的概率加法公式求解即可，
由题意可求得，服从，则利用二项分布的概率公式求解出对应的概率，从而可列出分布列．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，属于中档题．
21.【答案】解：已知，函数定义域为，
当时，，
可得，
当时，，单调递增；
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值，极大值，
当时，函数取得极小值，极小值；
若函数至少有两个不同的零点，
此时方程至少有两个相异实数根，
即方程至少有两个相异实数根，
不妨设，函数定义域为，
可得，
不妨设，函数定义域为，
可得，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值也是最小值，最小值，
又，
所以当时，，
因为，
所以在区间上存在一点，使得，
当时，，，单调递增；
当时，，，单调递减；
当时，，，单调递增，
所以当时，函数取得极大值；当时，函数取得极小值，极小值，
又，，
当时，，
此时，
则当时，函数与直线的图象至少有两个交点，
故的最大值为．
【解析】由题意，将代入函数的解析式中，对函数进行求导，利用导数得到函数的单调性，进而即可求解；
函数至少有两个不同的零点，转化成方程至少有两个相异实数根，构造函数，即函数与直线的图象至少有两个交点，对函数进行求导，结合导数的几何意义以及零点存在性定理进行求解即可．
本题考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查了逻辑推理、转化思想和运算能力．
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