2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高二（下）期末数学试卷（含解析）

2022-2023学年黑龙江省哈尔滨市高二（下）期末数学试卷
一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在等差数列中，若，则( )
A. B. C. D.
2. 在的展开式中，含的项的系数是( )
A. B. C. D.
3. 已知圆：，则直线被圆截得的弦的长度为( )
A. B. C. D.
4. 已知平面、，直线、、，则下列命题正确的个数是( )
若，，，则
若，，则
若，，则
若，，，则
A. B. C. D.
5. 已知各项均为正数的等比数列的公比为，若存在两项、使得，则( )
A. B. C. D.
6. 今年“五一”期间人民群众出游热情高涨，某地为保障景区的安全有序，现增派名警力去、两个景区执勤要求景区至少增派名警力，景区至少增派名警力，则不同的分配方法的种数为( )
A. B. C. D.
7. 牛顿迭代法亦称切线法，它是求函数零点近似解的另一种方法若定义是函数零点近似解的初始值，在点处的切线方程为，切线与轴交点的横坐标为，即为函数零点近似解的下一个初始值以此类推，满足精度的初始值即为函数零点近似解设函数，满足，应用上述方法，则( )
A. B. C. D.
8. 现实世界中的很多随机变量遵循正态分布例如反复测量某一个物理量，其测量误差通常被认为服从正态分布若某物理量做次测量，最后结果的误差，要控制的概率不大于，至少要测量的次数为参考数据：( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知数列的前项和为，则下列叙述正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若是等差数列，则数列是等比数列
D. 若，则数列是等差数列
10. 伟大的古希腊哲学家、百科式科学家阿基米德最早采用不断分割法求得椭圆的面积为椭圆的长半轴长和短半轴长乘积的倍，这种方法已具有积分计算的雏形已知椭圆的面积为，离心率为是椭圆的两个焦点，为椭圆上的动点，则下列说法正确的是( )
A. 椭圆的标准方程可以为
B. 若，则
C. 存在点，使得
D. 的最小值为
11. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，哈尔滨市某中学需要了解性别因素是否对本校学生体育锻炼的经常性有影响，随机抽取了名学生，对他们是否经常锻炼的情况进行了调查，调查发现经常锻炼人数是不经常锻炼人数的倍，绘制其等高堆积条形图，如图所示，则下列说法不正确的是( )
参考公式：其中，独立性检验中常用的小概率值和相应的临界值：
A. 参与调查的男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多
B. 从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为
C. 依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过
D. 若经常锻炼人数与不经常锻炼人数的比例不变，统计得到的等高堆积条形图也不变，则无论参与调查的男生、女生人数为多少，依据的独立性检验，都可以认为性别因素与学生体育锻炼的经常性无关
12. 定义：在区间上，若函数是减函数，且是增函数，则称在区间上是“弱减函数”根据定义可得( )
A. 在上是“弱减函数”
B. 若在上是“弱减函数”，则
C. 在上是“弱减函数”
D. 若在上是“弱减函数”，则
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 在直角中，，将绕斜边旋转一周形成的几何体的体积是______ ．
14. 抛物线上的点到焦点的距离为______ ．
15. 已知某品牌的新能源汽车的使用年限单位：年与维护费用单位：千元之间可以用模型去拟合，收集了组数据，设，与的数据如表格所示：
利用最小二乘法得到与的线性回归方程，则 ______ ．
16. 函数，对于恒成立，则的取值范围是______ ．
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
某中学高二年级参加市数学联考，其中甲、乙两个班级优秀率分别为和，现在先从甲、乙两个班中选取一个班级，然后从选取的班级中再选出一名同学选取甲、乙两个班级的规则如下：纸箱中有大小和质地完全相同的个白球、个黑球，从中摸出个球，摸到白球就选甲班，摸到黑球就选乙班．
分别求出选取甲班、乙班的概率；
求选出的这名同学数学成绩优秀的概率．
18. 本小题分
如图所示，在直角梯形中，，，，，边上一点满足现将沿折起到的位置，使平面平面，如图所示．
求证：；
求与平面所成角的余弦值．
19. 本小题分
已知双曲线四个点中恰有三点在双曲线上．
求双曲线的方程；
若直线：与双曲线交于，两点，且，求原点到直线的距离．
20. 本小题分
某食盐厂为了检查一条自动流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的袋食盐称出它们的质量单位：克作为样本数据，质量的分组区间为，，，由此得到样本的频率分布直方图如图：
求的值；
从该流水线上任取袋食盐，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列及数学期望；
在上述抽取的袋食盐中任取袋，设为质量超过的食盐数量，求随机变量的分布列．
21. 本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列是等比数列；
若，求满足条件的最大的正整数．
22. 本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
若和有两个不同交点，求的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：由等差中项的性质，知，
所以．
故选：．
利用等差中项的性质，即可得解．
本题考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：的展开式通项公式为：，
令，解得，
故含的项的系数是．
故选：．
根据已知条件，结合二项式定理，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：设直线被圆截得的弦为，
过圆心作的垂线，交于点，如图：
则，又，，
则．
故选：．
求出圆心到直线的距离，再根据勾股定理即可得弦长．
本题考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：平面、，直线、、，
对于，若，，，则，故正确；
对于，若，，则与相交或平行，故错误；
对于，若，，则或，斜交，或，故错误；
对于，若，，，则，故正确．
故选：．
根据线面平行的性质可判断；根据线面垂直可判断．
本题考查线面平行、线面垂直的判断与性质等基础知识，考查推理论证能力，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：因为，
所以，即，
所以，即，
所以．
故选：．
利用等比数列的通项公式，即可得解．
本题考查等比数列的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：若景区增派名警力，景区增派名警力，有种方法；
若景区增派名警力，景区增派名警力，有种方法；
故共有种方法．
故选：．
分景区增派名警力，景区增派名警力和景区增派名警力，景区增派名警力，讨论即可．
本题考查排列组合，考查运算求解能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
，，
在点处的切线方程为，
令，解得，得，，
在点的切线方程为，
令，得．
故选：．
求出原函数的导函数，得到函数在点处的切线方程，可得，再由导数求出函数在处的切线方程，即可求解的值．
本题考查利用导数研究函数的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，要求，
则有，
而误差，且，
必有，解可得，即至少要测量次．
故选：．
根据题意，分析可得，结合正态分布的性质可得，解可得的范围，即可得答案．
本题考查正态分布的特点，注意正态分布中原则，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：若，
则，
故数列是以为首项，为公差的等差数列，
，故选项A正确；
对于选项B：若，
则，
，故选项B错误；
对于选项C：若是等差数列，
设等差数列的公差为，
则，
，
数列是以为首项，为公比的等比数列，故选项C正确；
对于选项D：若，
则当时，，
当时，
，
当时，不满足上式，
，
数列不是等差数列，故选项D错误．
故选：．
对于选项A：根据数列的通项公式判断出数列是以为首项，为公差的等差数列，根据等差数列的求和公式即可计算出的表达式，即可判断选项A的正确性，对于选项B：根据数列的通项公式的特点运用裂项相消法即可计算出前项和的表达式，即可判断选项B的正确性，对于选项C：根据是等差数列，设等差数列的公差为，进一步根据等比数列的定义即可判断数列是否为等比数列，判断选项C的正确性，对于选项D：根据已知条件并结合公式计算出数列的通项公式，进一步判断选项D的正确性．
本题主要考查数列求通项公式，以及数列求和问题．考查了分类讨论思想，转化与化归思想，等差数列与等比数列的定义与求和公式的运用，裂项相消法，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属中档题．
10.【答案】
【解析】解：对于：由，解得，
则椭圆的标准方程为，故A正确；
对于：由定义可知，
由余弦定理可得，，
解得，
则，故B错误；
对于：当点为短轴的一个端点时，最大，
此时为锐角，
则不存在点，使得，故C错误；
对于：
，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确；
故选：．
由椭圆的性质判断；由定义结合余弦定理、三角形面积公式判断；由余弦定理得出的最大角为锐角，从而判断；由基本不等式判断．
本题主要考查了椭圆的方程和简单几何性质，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，由题意知经常锻炼人数是不经常锻炼人数的倍，故经常锻炼人数为人，不经常锻炼人数为人，
故男生中经常锻炼的人数为人，不经常锻炼的人数为人，
故男生中经常锻炼的人数比不经常锻炼的人数多，A正确；
对于，经常级炼的女生人数为人，不经常锻炼的人数为人，
故从参与调查的学生中任取一人，已知该生为女生，则该生经常锻炼的概率为，B错误；
对于，由题意结合男女生中经常锻炼和不经常锻炼的人数，可得列联表：
经常锻炼 不经常锻炼 合计
男
女
合计
，
故依据的独立性检验，认为性别因素与学生休育锻炼的经常性无关，该推所犯错的概率不超过，C错误；
对于，假设抽取名学生，由题意可得：
经常锻炼 不经需量练 合计
男
女
合计
则此时，
故依据的独立性检验，认为性别因素影响学生体育锻炼的经常性，该推断犯错误的概率不超过，D错误．
故选：．
根据数表计算人数判断选项，根据古典概型公式判断选项，根据的值及独立性检验判断，选项．
本题考查根据统计图表获取信息，属于基础题．
12.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于，，其导数，在区间上，有，为减函数，
设，其导数，在区间上，有，为增函数，
故在上是“弱减函数”，A正确；
对于，，其导数，
若在上递减，则有，必有，
，在上递增，
综合可得：，B错误；
对于，，其导数，
再设，则有，
在区间上，有，则，
故有在区间上，有，则函数在区间上为减函数，
，在区间上为增函数，
故在上是“弱减函数”，C正确；
对于，若在上是“弱减函数”，
则在上恒成立，则有在上恒成立，
由的结论，必有成立，即，
设，则在上为增函数，
则，则在上恒成立，
变形可得在上恒成立，
设，则，
在区间上，有恒成立，则在上为增函数，
则有，必有，
综合可得：，D正确．
故选：．
根据题意，分别判断选项中函数与的单调性，结合“弱减函数”的定义，分析可得答案．
本题考查函数单调性的判断，注意导数与函数单调性的关系，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：根据题意，在直角中，，
设为斜边的中点，易得，且，
将绕斜边旋转一周形成的几何体为两个圆锥，
两个圆锥的底面半径都为，高相等，为，
则形成的几何体的体积．
故答案为：．
根据题意，在直角中，设为斜边的中点，求出和的长，由圆锥的定义可知形成的几何体为两个圆锥，结合圆锥的体积公式计算可得答案．
本题考查旋转体的体积计算，注意圆锥的定义，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为点在抛物线上，所以，
解得，
由抛物线定义可知，抛物线上任一点到焦点的距离与到准线的距离是相等的，
．
故答案为：．
先求的横坐标，再由抛物线定义可知，即可求解．
本题考查了抛物线的标准方程、几何性质、定义，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
代入可得，
由得，即，
而，所以，，得，
则．
故答案为：．
求出代入可得，由得，与比较可得答案．
本题考查了回归方程的应用计算，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：对于恒成立，转化为在上恒成立，
在上恒成立，
令，，
则，
令，，
则，，
令，，则在上恒成立，
，即，
在上单调递增，即在上单调递增，
由得，由得，由得，
在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得极小值也是最小值，，
，即的取值范围是．
故答案为：．
题意转化为在上恒成立，即在上恒成立，构造函数，，利用导数求出的最小值，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：记事件“选取甲班”，事件“选取乙班”
，，
故选取甲、乙两个班的概率分别为和；
由可知“选取甲班”，“选取乙班”，“这名同学数学成绩优秀”，
则，且与互斥，
根据题意得，，，，
由全概率公式得，
因此，选出的这名同学数学成绩优秀的概率为．
【解析】根据古典概型的概率公式计算出选取甲班、乙班的概率；
利用全概率公式计算出选出的这名同学数学成绩优秀的概率．
本题考查古典概型概率公式的应用，考查全概率公式的计算，属于中档题．
18.【答案】证明：在图中，连接，
易求得，
所以四边形为菱形．连接交于点，则，
所以在图中，，，，所以面，
所以C.
解：因为平面平面，平面平面，
平面且，
所以平面，
因为平面，
所以，
即、、两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，如图所示：
则．
，
，
设平面的法向量为．
，令，则，
设与平面所成的角为，
，
所以，
所以与平面所成角的余弦值为．
【解析】在图中，连接，得到四边形是菱形，连接，交于，则，在图中，，，从而平面，由此能证明．
推出、、两两垂直，从而建立空间直角坐标系，利用向量法即可求解．
本题考查线线垂直的证明，考查直线与平面所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.【答案】解：，关于原点对称，
，一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象，
而和坐标的数中，，但，
点不在双曲线上，即，、在双曲线上，
点，坐标代入双曲线方程，得，
解得，
双曲线的方程为；
直线的方程为，设，，
联立方程，化简得，
，
，，即，
，
，
即，
则，
化简得，
到的距离．
【解析】根据双曲线的几何性质可知点不在双曲线上，即，、在双曲线上，把点，坐标代入双曲线方程，解出，的值，从而求出双曲线的方程；
联立直线与双曲线方程，利用韦达定理代入，求出与的关系式，再利用点到直线距离公式求解即可．
本题主要考查了双曲线的标准方程，考查了直线与双曲线的位置关系，属于中档题．
20.【答案】解：因为，
解得；
易知食盐的质量超过的概率为，
若任取袋食盐，且互不影响，
可得，
则的所有取值为，，，
此时，，，
则的分布列为：
可得，
易知质量超过的食盐数量为袋，
则的所有取值为，，，
此时，，，
则的分布列为：

【解析】根据频率之和为，列出等式即可求出的值；
先求出食盐的质量超过的概率，得到的所有取值，求出相对应的概率，进而可得分布列，代入期望公式中进行求解即可；
先求出量超过的食盐数量，得到的所有取值，求出相对应的概率，进而可得分布列．
本题考查离散型随机变量的分布列和期望，考查了数据分析和运算能力．
21.【答案】证明：由，得，
则，
又，
，
数列是首项为，公比为的等比数列．
由得，
，
则
，
即，
又是增函数，
满足的最大正整数为即满足条件的，
最大整数．
【解析】直接利用关系式的恒等变换和等比数列的定义的应用求出结果；
利用的结论，进一步求出数列的和和数列的通项公式，最后利用函数的单调性的应用求出的最大值．
本题考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的求法，函数的单调性的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
22.【答案】解：的定义域，
，
当时，在上，单调递减，
当时，令得，
所以在上，，单调递减，
在上，，单调递增，
综上所述，当时，在上单调递减，
当时，在单调递减，在单调递增．
若和有两个不同交点，
则，即有两个不同实根，
设，
则，
若，在上单调递减，
所以至多有一个零点．不符合题意；
若，在单调递减，在单调递增，
当时，取得最小值，最小值为，
当时，由于，，
所以只有一个零点，舍去，
当时，由于，即，
所以没有零点，舍去，
当时，，即，
又，
所以在有一个零点，
令，则，
令得，
所以在上，单调递减，
在上，单调递增，
所以，即，
因为，
又因为当时，，
因为，
所以，
所以，
由于，且，
所以在上有一个零点，
所以在上有两个零点，
综上所述，的取值范围为．
【解析】求导得，分两种情况：当时，当时，的符号，的单调性．
若和有两个不同交点，则有两个不同实根，设，求导分析单调性，极值，只需使得在上有两个零点，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．
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