24.2.1 点和圆的位置关系---24.4.2圆锥的侧面积和全面积
文档属性
| 名称 | 24.2.1 点和圆的位置关系---24.4.2圆锥的侧面积和全面积 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 748.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2014-11-07 19:50:28 | ||
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文档简介
( http: / / www. / )§24.2.1 点和圆的位置关系学案
班级： 姓名： 学号：
一、学习任务一
1.探究经过不同的点作圆。
(1)作经过已知点A的圆，这样的圆你能作出多少个？
(2)做经过已知点A，B的圆，这样的圆有多少个？它们的圆心分布有什么特点？
(3)作经过A，B，C，三点的圆，这样的圆有多少个？如何确定它的圆心？
由以上作圆可知过几个点作圆实质是确定圆心和半径，因此过一点的圆有___个，圆心是______，半径是_________.
过两点的圆有____个，圆心是______，半径是_____。过不在同一条直线上的三点_____________.圆心是__半径是__.
2.探究三角形的外接圆：
过三角形ABC三顶点作一个圆。
____________________________________三角形的外接圆.
_____________________________________________外心.
学习任务二：反证法
1.经过同一条直线的三个点能作出一个圆吗？你如何证明你的结论。
2.用反证法证明几何命题的一般步骤是：
二、合作共建（教师寄语：合作的基础是有自己的想法和辨别！）
1.如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心．
2. 在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．
3.用反证法证明：一个三角形至少有两个角是锐角。
三、诊断评价（教师寄语：通过练习找出自己的不足！ ）
1.锐角三角形的外心在 ；直角三角形的外心在 ；钝角三角形的外心在 ．
2.若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有 个．
3.直角三角形三个顶点都在以 为圆心，以 为半径的圆上，直角三角形的外心是 ．
4.若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．
5．已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（ ）
A．a=15，b=12，c=1 B．a=5，b=12，c=12
C．a=5，b=12，c=13 D．a=5，b=12，c=14
6．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（ ）
A．任意三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
8．下列说法错误的是（ ）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
C．任意一个三角形都有无数个外接圆
D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上
9.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．
10.求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．
24.2.2直线和圆的位置关系（1）
班级： 姓名： 学号：
【课前预习】
点与圆的位置关系 数量关系
1：知识准备
【课堂活动】
2：探究1:（1）你看过日出吗？你知道太阳升起过程中，太阳和地平线会有几种不同位置关系吗？
（2）如图，在纸上画一条直线 L，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线L的公共点的个数吗？
发现：直线与圆有如下三种位置关系：
归纳：直线和圆有两个公共点，直线和圆 ，这条直线叫做圆的 ．
直线和圆有一个公共点，直线和圆 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，这条直线叫做圆的 ，这个点叫做 ．直线和圆没有公共点，这条直线和圆 ．
探究2: 设⊙O的半径为r，圆心到直线L的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离为d，在直线和圆的不同位置关系中，d和r具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d和r的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗？
（a） （b） （c）
直线L和⊙O相交 d r，如图（a）所示；
直线L和⊙O相切 d r，如图（b）所示；
直线L和⊙O相离 d r，如图（c）所示．
例1．圆的直径是13，如果直线与圆心的距离分别如下，判断直线与圆的位置关系？并说明公共点的个数.⑴ 4.5 ⑵ 6.5 ⑶ 8
例2．在 Rt△ABC 中，∠C = 90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AC = 3 cm , BC = 4 cm ,以 C 为圆心，下列r 为半径的圆与AB有怎样的位置关系？⑴r=2cm ⑵r=2.4cm ⑶r=3cm
活动4：课堂小结
1、直线和圆的位置关系表：
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点的个数
公共点名称
直线名称
圆心到直线的距离d与r的关系
2、确定直线与圆的位置关系的方法有____种
（1）根据定义，由___________ _______的个数来判断；
（2）根据性质，由_________________________ 的关系来判断。
24.2.2直线和圆的位置关系（学案纸1）
班级： 姓名： 学号：
随堂训练
1.⊙O的半径是5，点O到直线l的距离为4,则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切
2.如果⊙O的直径为6厘米 ( http: / / www.21cnjy.com )，圆心O到直线AB的距离为5厘米，则直线与AB的位置关系为（ ）A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
3、已知⊙O的直径为10．(1)、若直线与⊙O相交，则圆心O到直线的距离d ________；
(2)、若直线与⊙O相切，则圆心O到直线的距离d ________；
(3)、若直线与⊙O相离，则圆心O到直线的距离d ________．
4、已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。
5、已知△ABC 中，AB=AC=5,BC=6,以点A为圆心，以4为半径作⊙A ，⊙A 与直线BC的位置关系怎样。
【课后巩固】
一、判断
1、直线与圆最多有两个公共点。 （ ）
2、若C为⊙O上的一点，则过点C的直线与⊙O相切。( )
3、若A、B是⊙O外两点， 则直线AB与⊙O相离。 ( )
4、若C为⊙O内一点，则过点C的直线与⊙O相交。 （ ）
二、填空
1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_____。直线a与⊙O的公共点个数是____。
2、已知⊙O的半径为6cm，O到直线a的距离为7cm，则直线a与⊙O的公共点个数是____。
3、已知⊙O的半径是4cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _ 。
4、已知⊙O的直径是6cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _。
5、⊙O半径为r，圆心O到直线ｌ的距离为ｄ，且ｄ与ｒ是方程x2-9x+20 =
0的两根，则直线ｌ与⊙O的位置关系是 。
6、如图,已知∠AOB= 30°,M为OB上一点,且OM=5cm，若以M为圆心,r为半径作圆,那么:
1)当直线AB与⊙M相离时, r的取值范围是______________;
2)当直线AB与⊙M相切时, r的取值范围是______________;
3)当直线AB与⊙M有公共点时, r的取值范围是___________.
三、选择题
1．⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
2、设⊙O的半径为4，点O到直线a ( http: / / www.21cnjy.com )的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为…（ ）A、d≤4 B、d＜4 C、d≥4 D、d＝4
3、设⊙p的半径为4cm，直线l上 ( http: / / www.21cnjy.com )一点A到圆心的距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
四、解答题
如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
24.2.3切线的性质
班级： 姓名： 学号：
学习目标：1.记住切线的性质. 2.能利用切线的性质进行计算和证明
一.忆一忆 ： 的直线是圆的切线 .
判断：1. 经过半径外端的直线是圆的切线 （ ）
2． 垂直于半径的直线是圆的切线 （ ）
3. 经过直径的外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线（ ）
二．探究新知：
如图BC是⊙O的切线，切点为A，则BC经过切点 且BC与OA的位置关系为 。
三． 基础训练
1.如图所示，PA为⊙O的切线，切点为A, PA=, 则⊙O的半径为
2.如图AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C, 连接BC，若,则
3.如图AB与⊙O相切于点A,BO交⊙O于点C, ,则
4.已知直线CD与⊙O相切于Ｃ，AB为直径，若,则大小为
5.如图PT切⊙O于点T,若PT=4,PA=2, 则⊙O的半径为
6. 如图中，AB=AC,∠BAC=120°,BC与⊙A相切于点D与BA相交于E，则∠BDE=
7如图PA,PB分别切⊙O于A,B 则
四．提高训练
1.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD与过C点的切线互相垂直于D, 求证：AC平分
2。如图⊙O的直径AB=6㎝,D为⊙O上的一点，且,过D的切线交AB延长线于C .求：①的度数 ②AC的长.
当堂检测A 姓名 当堂检测B 姓名
如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O 如图，已知⊙O中，AB是直径，过D点作⊙O
的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D． 的切线DC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．
求证：CD是⊙O的切线． 求证：BC是⊙O的切线．
24.2.4垂径定理、切线的性质及判定
班级： 姓名： 学号：
学习目标：会用综合运用垂径定理、切线的性质及判定进行计算和证明.
一、忆一忆：
1.垂直于弦的直径的性质（垂径定理）：
垂直于弦的直径 ，并且平分
已知：如图，CD是直径，与弦AB交于点M.
∵CD⊥AB ∴ AM=BM （ 根据： ）
∵AM=BM ∴CD⊥AB （ 根据： ）
2. 切线的判定定理：
经过 并且 的直线是圆的切线.（记住）
所以，直线是圆的切线必须满足（1） ；
（2） .
几何语言：直线经过⊙O的半径OA的外端点A , 且.
∴直线是⊙O的 .（根据 ）
3. 切线的性质定理：圆的切线
几何语言为：∵ AB为⊙O的切线，切点为C
∴ AB⊥OC ( )
二、基础应用：
1.（04河北）如图1，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为 .
2.（06河北）如图2，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为 ．
3.（07河北）图3中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，
BC⊥AD于点C，AB＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为 .
4.（08河北）如图4，与相切于点，的延长线交于点，连结．若
，则．
5如图，在直径AB＝12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，
且M是半径OB的中点，则弦CD的长 （保留根号）
6.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，
交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ．
7.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的直径为10，OC⊥AB于点D，
交⊙O于点C，且AB＝8，则CD的长是 .
三、能力提升：
1.（04河北中考）如图1，一个圆球放置在V形架中.图2是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B.如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB.
2.（05河北）工人师傅为了检测该厂生产的一 ( http: / / www.21cnjy.com )种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）
将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O及A，B，E ( http: / / www.21cnjy.com )三个接触点的截面示意图。已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD。请你结合图1中的数据。计算这种铁球的直径。
24.2.5切线长定理
班级： 姓名： 学号：
学习目标：1.知道什么是切线长.2.记住并会用切线长定理
一、学一学：
1.如图1，若AC为⊙O的切线，切点为C，则 ⊥ .
( 根据 )
若∠A=30°，半径为3cm，则线段AC= .
2.切线长：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段长
叫做这点到圆的切线长. 则图1中的切线长为 cm.
3.探究：如图2所示，PA、PB分别为⊙O的两条切线，切点分别为A、B.
（1）请你通过测量PA、PB的长度，猜想PA与PB满足的数量关系是PA PB;
(2)测量与的度数，猜想与大小关系是 .
并证明你的上述两猜想.
应用：
二、巩固应用：
类型一 利用切线长定理进行计算：
如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B，劣弧AB的度数为1200(即所对
的圆心角度数)则∠APB= ，∠APO= ，∠ACB= ;
又知PA=6，则PB= ，圆的半径为 ，弦AB的长度为 .
2.如图,PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E，请你找出图中
的等线段 、 、 .
若PA=6则△PDC的周长为 .
若∠P=600，⊙O的半径为2，则∠COD= ，△PDC的周长为 .
若点E为劣弧AB上一动点，过点E的⊙O的切线始终与AP，BP交
于点C、D，则△PDC的周长有无变化？为什么？
3. 如图，过半径为6c ( http: / / www.21cnjy.com )m的⊙O外一点P引圆的切线PA、PB，连结PO交⊙O于点F，过F作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若PO=10cm，∠APB=40°.
（1）求△PED的周长 （2）求∠DOE的度数
类型二 利用切线长定理进行证明：
4.已知：如图，中，,O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交与点E，与AC相切于点D,求证：∥OC
检测A卷 姓名 检测B卷 姓名
1.如图:AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F. 1.如图:AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F
若,则的周长为 . 若,则的周长为 .
2.如图:⊙O 是ABC的内切圆，若∠ ( http: / / www.21cnjy.com )DEF=54° 2.如图:⊙O 是ABC的内切圆，若∠DEF=55°则BAC= ° 则BAC= °
24.2.6圆和圆的位置关系
班级： 姓名： 学号：
一、探索发现
1.观察与思考
下图是两个半径不同的⊙O1和⊙O2，从 ( http: / / www.21cnjy.com )左向右移动⊙O1，你能发现在移动过程中，⊙O1和⊙O2有这5种不同的位置，请你填出每种位置关系时，两圆的交点个数.
交点个数：
2.学一学
(1)如果两个圆没有公共点，那么就说这两 ( http: / / www.21cnjy.com )个圆相离，如图 和 ，相离又分为外离(即一个圆在另一个圆的外部)和内含(即一个圆在另一个圆的内部). 则上图中表示外离的是图 ，表示内含的是图 .
(2)如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图 和 ，
相切又分为内切和外切.则上图中表示内切的是图 ，表示外切的是图 .
(3)如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆 .
3.探究 用数量关系识别两圆的位置关系.
设两圆的半径分别为R、r(R>r),圆心距（两圆圆心的距离）为.
二、拓展应用：
类型一：判断两圆的位置关系
1.已知平面内两圆的半径分别为4和6，圆心距是2，则两圆的位置关系是 .
2.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,且O1O2=6 cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 .
3. 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和7cm,且O1O2=10cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 .
4.两圆的半径分别是4cm和3cm，圆心距为1cm，则两圆的位置关系是 ；
5.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r, O1O2=5cm，，R=3,当0类型二：根据两圆的位置关系求圆的半径或圆心距.(要注意分类讨论)
1. 有两个圆，一个圆的半径R=4，两圆的圆心距是5，另一个圆的半径r满足条件 时，这两个圆外离.
2.两圆的圆心距为2cm，一个圆的半径为10cm，要使这两个圆内含，另一个圆的半径r应满足条件
3. 半径为1和5的两圆相交，则圆心距d的取值范围为 ；
4. 已知两圆的直径分别为4和6，且这两个圆有唯一公共点，则圆心距d为
5. 已知两圆半径之比为1：2，当两圆相切时，圆心距为8 ，则大圆半径为 ;
6. ⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，则以点P为圆心，且与⊙O相切的圆的半径为 .
7. 已知两圆内切，圆心距为2cm，如果一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径为 .
8. 相切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径为3，则另一个圆的半径为 .
9. 已知⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点，OP=8cm,以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径.（写出过程，要考虑全面）
检测A卷 姓名 检测B卷 姓名
1.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3 ( http: / / www.21cnjy.com )cm和7cm, 1.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4cm和6cm,且O1O2=6 cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 . 且O1O2=6 cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 .
2.已知两圆的直径分别为6和8，且这两个圆 2.已知两圆的直径分别为10和4，且这两个圆
有唯一公共点，则圆心距d为 有唯一公共点，则圆心距d为
24.3.1正多边形和圆
学习目标：1.知道正多边形的相关概念 2.会解决正多边形问题.
一.忆一忆：
正三角形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形
内角和 …
每一个内角 …
二．学一学：
2.如图：有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积.
三.练一练：根据表中提供的数值，把其它数据补充完整（正六边形可用上图分析）.
四、拓展应用：
1.如图：要拧开一个边长a=12cm的六角形螺帽，扳手张开口b至少要多少？
2.如图,梯形ABCD的四条边都与⊙O相切，切点分别为E、F、G、H.
（1）请你探索AD+BC与AB+CD之间的数量关系.
（2）请你探索DO与CO的位置关系.
（3）若梯形ABCD不是梯形，结论（1）和（2）是否成立，
若成立请给出证明，不成立说明理由.
检测A卷 姓名 检测B卷 姓名
1.边长为的正六边形的一边所对的圆周角 1.边长为的正六边形的一边所对的圆周角
等于 °；面积为 等于 °；面积为
2.如图，点M、N分别是正八边形一组临边 2.如图，点M、N分别是正十边形一组临边
AB、BC上的点，且AM=BN，点O是正八边形 AB、BC上的点，且AM=BN，点O是正十边形
的中心，则∠MON= °. 的中心，则∠MON= °.
24.3.2三角形内切圆
班级： 姓名： 学号：
学习目标：1.知道什么是三角形的内切圆.
2.会解决与三角形的内切圆有关的问题.
一、忆一忆：
1.画出同时经过点A、B、C的⊙O.
2.经过三角形的三个顶点可以作 ( http: / / www.21cnjy.com )圆，这个圆叫做三角形的 ，三角形叫作圆的 ，外接圆的圆心是三角形 的交点，叫做这个三角形的 心.
三角形的外心到三角形 相等.
eq \o\ac(○,3)锐角三角形的外心在三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，直角三角形的外心在三角形的 ，钝角三角形的外心在三角形的 .
任何三角形都有 个外接圆，圆有 个内接三角形.
二、学一学：
1.已知，如图1，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F.
圆心O到三角形三边的距离 ，因为：
圆心O是三角形的 的交点，根据
2.画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的内切圆.
3. 画出⊙O的外切三角形，看能画几个？
三、巩固应用：
1. 如图，O是△ABC的内心.（1） ( http: / / www.21cnjy.com )若∠ABC=500，∠ACB=700，则∠O= ，（2）若∠A=800，则∠O= ，（3）若∠O=1300，则∠A= .
2. 如图，△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心，∠BIC=1300，则∠A ，∠BOC= .∠OBC= .
3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，求其内切圆的半径和外接圆的半径为.
4.如图，⊙O切△ABC的三边于点E、F、 G，若AB=9，BC=10，AC=6，求AG、GC、BF的长.
四、知识超市：
5.Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=9，BC=24，⊙O为其内切圆，则∠AOB= ，
⊙O的半径为 ，其外接圆的半径为 .
6.正三角形内切圆半径为1，那么这个三角形的边长为
7.如图，点I是△ABC的内心，∠A=800，则∠BIC的度数为 .
8.如图，⊙O是△ABC的内切圆，H为⊙O上任意点，MN切⊙O于H，交AB、AC于点M、N，已
知△ABC的周长为20cm，BC=6cm.则△AMN的周长为
五、能力提升：
在Rt△ABC中，斜边AB=10cm，其内切圆半径为2cm，
则△ABC的面积为 .
检测A卷 姓名 检测B卷 姓名
1. 如图，点O是△ABC的内心，∠BOC =120°， 1. 如图，点O是△ABC的内心，∠BOC =130°，
则∠A的度数为 . 则∠A的度数为 .
2.已知三角形三边长分别为3 , 4 , 5，则它的 2.已知三角形三边长分别为6 , 8 , 10，则它的 内切圆半径为 内切圆半径为
外接圆半径为 外接圆半径为
24.4.1弧长公式扇形面积
班级： 姓名： 学号：
学习目标：记住并会用弧长公式.
一、探究：弧长公式
如右图，在半径为R的圆中，圆的周长.因为的圆心角所对的弧长就是圆的周长,所以的圆心角所对的扇形MON弧长 . 的圆心角所对的扇形AOB弧长.即弧长的计算公式是 .
二、利用弧长公式求弧长、圆心角度数、及圆的半径.
1.一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，则这条弧长为 。
2.若一条弧长为72，圆心角为36°，则半径为 。
3.若一条弧长为240，半径为180，则圆心角为 。
4.在半径为3的⊙O中，弦AB=3，则的长为 。
5.如图，∠AOB=90°∠B=20°,以点O为圆心，OA长为半径的圆交AB于点C，若AO=12则的长为 .
6.时钟的轴心到分针针端的长为，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是 .
三、能力提升.
7.如图1…3是边长大于2的 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形、四边形、…、凸n边形.分别以它们的个顶点为圆心，以1为半径画弧与相邻边相交，得到3条弧、4条弧、…、n条弧.
（1）图1中的3条弧的弧长的和为 ，图2中的4条弧的弧长的和为
(3)图3中n条弧的弧长的和为 (用含n的式子表示).
检测A卷 姓名 检测B卷 姓名
1.一条弧所对的圆心角为80°，半径为6， 1.一条弧所对的圆心角为60°，半径为6，
则这条弧长为 。 则这条弧长为 。
2.若一条弧长为12，圆心角为120°， 若一条弧长为14，圆心角为120°，
则半径为 。 则半径为 。
24.4.1弧长专练
班级： 姓名： 学号：
学习目标：记住并会用弧长公式.
1.（05咸阳）如图2所示，一条公路的转弯处是一段圆弧（圆中的弧AB），点O是这段弧的圆心，AB﹦120m,OA﹦120m则这段弯路AB长为 m（保留）.
2.（07兰州）如图3-1所示，小丽自 ( http: / / www.21cnjy.com )己动手做了一顶圆锥形的圣诞帽，母线长30cm，底面半径10cm，她想在帽子上缠一根漂亮的丝带，从点A出发绕帽子侧面一周，至少需丝带
3.（05内江）如图4-1,有一圆锥形 ( http: / / www.21cnjy.com )粮堆,其主视图是边长为6m的正三角形ABC,母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食,小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是 m(结果不取近似数).
4.（06株州）我国南方一些地区的农民戴 ( http: / / www.21cnjy.com )的斗笠是圆锥形.已知圆锥的母线长为30 cm，底面圆的半径为24 cm，则圆锥侧面积为 cm2.
5.（05河南）图7-1、7-2是用两种方法 ( http: / / www.21cnjy.com )把6根圆形钢管用钢丝绳捆扎的截面图.设7-1、7-2两种方法捆扎所需钢丝绳的长度分别为a、b（不计接头部分）则a、b的大小关系为a b.
6.06山西）图8是某圆柱形网球筒，其底面直径是10cm，长
为80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需
________________的包装膜（不计接缝，π取3）。
7.（2010 嵊州市）如图9，是7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均
为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为 。
8.（06河南）如图10，一块含有30°角的直角三角板ABC，
在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置，若
BC的长为15 cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为____________
9.（06济南）如图11，矩形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD在直线上按顺时针方向不滑动的每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为 .
10.（07台湾）如图(12-1)，水平地面上有一面积为30 平方公分的灰色扇形OAB，其中的长度为6公分，且与地面垂直。若在没有滑动的情况下，将图(12-1)的扇形向右滚动至垂直地面为止，如图(12-2)所示，则O点移动 公分.
24.4.2扇形面积
学习目标：记住并会用扇形面积.
一、探究：扇形面积
如图，在半径为R圆中，因为的圆心角所对的扇形面积就是圆的
面积 , 所以的圆心角所对的扇形面积
所以圆心角是扇形面积.
二、利用扇形面积计算公式进行计算
1.一扇形半径为60cm, 圆心角为150°，则扇形的面积是 .
2.一扇形的弧长为20 cm ,面积为 240cm2 ，，则扇形的圆心角是 .
3.如图所示，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC的夹角为120°AB=30cm
贴纸部分BD长为20cm，则贴纸部分的面积为 .
4.（08南昌）如图，为的直径，于点，交于点，于点．（1）请写出三条与有关的正确结论；
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．
能力提升：
1.如图，⊙A,⊙B,⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，
则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积 .
2.如图A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，
AB是⊙O的切线，点B是切点，BC∥OA，
连接AC，则阴影部分的面积等于
扇形面积专练
学习目标：记住并会用扇形面积.
1.（05年·江苏）如图所示，Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的面积为20cm2,在AB的同侧，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，阴影部分的面积 .
2.（2010云南昆明）如图，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB = AC，AB = 8，BC = 12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是
3.（2010湖南衡阳）如图，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
4.（2010山东临沂） 如图，直径为6的半径，绕点逆时针旋转60°，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是
5.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧、、、的圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接.若AB=1，则
曲线CD的长；曲线DE的长；曲线EF的长为第n段曲线的长；则
；则
6.（2010湖北黄石）如图，从一个 ( http: / / www.21cnjy.com )直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为
24.4.3圆锥的侧面展开图
学习目标：会计算圆锥的侧面积和全面积.
一、学一学：
1.圆锥的母线：我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.如图中.
2.圆锥的高：连接顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高. 如图中h就是圆锥的高.
二、探究与思考：
如图，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，可以得到圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r,那么侧面展开图扇形的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长（即底面圆的周长）为 ，由扇形的面积公式可得圆锥侧面展开图的面积为= ，圆锥的底面积为 ，圆锥的全面积为 .（圆锥的全面积=侧面积+底面积）.
三、巩固应用：
1.已知圆锥的底面半径为80cm,母线长90cm,则它的侧面积为 ，全面积为
侧面展开图圆心角的度数为 .
2.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则这个圆锥的母线长为 ，侧面积为 .
3.圆柱的高为20cm，底面半径是高的，那么圆柱的侧面积为 。
4. 若圆锥的母线长为6cm,侧面展开图的圆心角为的扇形，则圆锥底面半径为 cm.
5.若用半径为15cm，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为 cm.
6.圆锥的侧面积为，母线长为3，侧面展开图（扇形）的圆心角为
四、中考真题回放
1.（2003，河北）已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为 。
2.（2004河北）如图1，在正方形铁 ( http: / / www.21cnjy.com )皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图3—2所示的一个圆锥模型.设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）
A．R=2r B．R=r
C．R=3r D．R=4r
3.（04河北）图7是小明制作的一个圆锥形纸帽的示意图.围成这个纸帽的纸的面积为 cm2
(π取3.14).
4. (05河北)如图3，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径为r=2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线长为
(结果保留跟号)
5.（09，唐山模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )1，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24cm，AB＝25cm．测量出AD所对的圆心角为120°，如图2所示．
（1）求⊙O的半径；
（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留 和根号）
《弧长、扇形等面积》
学习目标：会计算弧长和扇形面积
1.已知扇形的圆心角为，半径为2cm，则扇形的弧长是 cm，扇形的面积是____ ．
2. (2006 梅州课改)如图，两个半圆中，小圆的圆心在大的直径上，长为4的弦与直径平行且与小半圆相切，那么圆中阴影部分面积等于 ．
3.如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为 .
4.如图，的边长都大于2，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在三角形的相邻两边上），则这三条弧的长的和是 .
5.如图，，，，相互外离，它们的半径都是，顺次连结四个圆心得到四边形，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于__________．（结果保留）
6.如图，，为的中点，都是半径为3的的切线，为切点，则的长为 ．
7.将边长为8cm的正方形的四边沿直线向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点所经过的路线的长是 cm．
8.如图，的半径为3，，切于，弦，连结，图中阴影部分的面积为 ．
9.如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是______m（结果不取近似值）.
10.（2005年成都市）农村常搭建橫截面为 ( http: / / www.21cnjy.com )半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，如图所示，如果不考虑塑料薄膜接头重合及埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 .
11.图10—1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图10—2是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．
车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）．
圆（单元论坛）
圆的有关性质
1.圆是 轴对称图形， 的直线都是它的对称轴，有 条对称轴，圆
是中心对称图形，又是旋转对称图形，即旋转任意角度都和自身重合. 对称中心.
2.外心—是三角形 的圆心 到三角形 的距离相等.
（是 的交点）
内心—是三角形 的圆心 到三角形 的距离相等.
3. 垂径定理及推论：
如图：AB是⊙O的直径，CD是弦。
（1）若AB⊥CD 则有 PC=PD且 =
根据：
（2）若PC=PD 则有 AB⊥CD 且 =
根据：
垂径定理
1、已知OC⊥AB 2、已知弦AB= 3、已知⊙O半径2 4、已知直径AB⊥CD，
OC=3，AB=8 ∠AOB=120° 弦AB= BE=1，弦CD=10
则⊙O半径 则⊙O半径 则∠AOB= 则⊙O半径
圆心角、弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等它们所对应的其余各组量分别 .
如图，若∠AOB=∠BOC则有 ， .
圆心角和圆周角的关系：
的角叫圆心角；
角叫圆周角.
（2）一条弧所对的圆周角等于它所的圆心角的 ，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，直径所对的圆周角是 ，的圆周角所对的弦是 .
①若则 . ②若则
③若 AB是⊙O的直径，则∠ACB= ④若∠ACB是直角，则弦AB是
点和圆的位置关系：
设圆的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：
（1）点P在圆外d r; (2) 点P在圆上d r; （3）点P在圆内d r;
6.直线和圆的位置关系：
设⊙O的半径为r,圆心O到直线的的距离为d,则有：
直线与⊙O相离 ； 直线与⊙O相切 ；直线与⊙O相交 .
7.圆和圆的位置关系：
设两圆的半径分别为R、r(R>r),圆心距（两圆圆心的距离）为
（1）两圆外离；（2）两圆外切 ；（3）两圆相交 <<
(4)两圆内切 ；（5）两圆内含 .（记住上述数量关系）
练一练：
①已知平面内两圆的半径分别为4和6，圆心距是2，则两圆的位置关系是 .
②已知⊙和⊙的半径分别为2cm和5cm,且，则⊙和⊙的位置关系是 .若两圆相切，则圆心距为 .
③已知⊙和⊙的半径分别为3cm和7cm,且，则⊙和⊙的位置关系是 .
④两圆的半径分别是4cm和3cm，圆心距为1cm，则两圆的位置关系是 ；
⑤已知⊙和⊙的半径分别为R、r，R=3,当时，则⊙和⊙的位置关系是 .
8.切线的判定和性质：
切线的判定：
①到圆心的距离等于半径的直线是圆的 ；
②经过半径的外端并且 这条半径的直线是圆的切线.
（2）切线的性质：圆的切线 经过切点的半径.
①如图①所示，PA为⊙O的切线，切点为A, PA=, 则⊙O的半径为
②如图②AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C, 连接BC，若,则
③如图③AB与⊙O相切于点A,BO交⊙O于点C, ,则
④已知直线ＣＤ与⊙O相切于Ｃ，ＡＢ为直径，若,则大小为
9.圆的有关计算：
（1）弧长 .
①一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，则这条弧长为 。
②若一条弧长为72，圆心角为36°，则半径为 。
③若一条弧长为240，半径为180，则圆心角为 。
（2）扇形面积：S= 或S=
①一扇形半径为60cm, 圆心角为150°，则扇形的面积是 .
②一扇形的弧长为20 cm ,面积为 240cm2 ，，则扇形的圆心角是 （3）圆锥：①圆锥的侧面展开图是一个 。圆锥的母线 扇形半径R.
圆锥的底面圆周长 扇形弧长.
②圆锥的侧面积等于设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r,则它的侧面积为 . + .（记住会用）
跟踪训练：
①已知圆锥的底面半径为80cm,母线长90cm,则它的侧面积为 ，全面积为
侧面展开图圆心角的度数为 .
②已知圆锥的底面半径为6，高为8，则这个圆锥的母线长为 ，侧面积为 .
③圆柱的高为40cm，底面半径是高的，那么圆柱的侧面积为 。
④若圆锥的母线长为6cm,侧面展开图的圆心角为的扇形，则圆锥底面半径为 cm.
24.2.1点和圆的位置关系
【自主学习】
（一）复习巩固：
1．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若AB=4cm，AC=3cm，则BC= .
2．下列命题：①直径所对的角 ( http: / / www.21cnjy.com )是900 ；②直角所对的弦是直径；③相等的圆周角所对的弧相等；④对同一弦的两个圆周角相等.正确的有（ ）A. 0个 B. 1个 C.2个 D.3个
（二）新知导学
1．过不在同一直线上的三个点确定 圆.
2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，
这个三角形叫圆的 三角形.
【合作探究】
要将如图所示的破圆轮残片复制完成,
怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径
(写出找圆心和半径的步骤).
【自我检测】
一、填空题:
1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_____.
2.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________.
3.△ABC的三边为2,3, ,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_____.
4.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等.
5.已知⊙O的直径为2,则⊙O的内接正三角形的边长为_______.
6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.
二、选择题:
7.下列条件,可以画出圆的是( )
A.已知圆心 B.已知半径;
C.已知不在同一直线上的三点 D.已知直径
8.三角形的外心是( )
A.三条中线的交点; B.三条边的中垂线的交点;
C.三条高的交点; D.三条角平分线的交点
9.下列命题不正确的是( )
A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆
10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形; C.锐角三角形 D.等边三角形
11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( )
A.腰长 B.腰长的倍; C.底边的倍 D.腰上的高
12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )
A.1个或3个 B.3个或4个 C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个
三、解答题:
13.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要 ( http: / / www.21cnjy.com )建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).
14.如图,已知△ABC的一个外角∠C ( http: / / www.21cnjy.com )AM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E.(1)判断△FBC的形状,并说明理由.
(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,
并说明你给出的等式成立.
15．如图,在钝角△ABC中,AD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(AD16．已知△ABC内接于⊙O，OD⊥BC，垂足为D，若BC=2，OD=1，求∠BAC的度数．（注意：分类讨论）
24.2.2直线和圆的位置关系（1）
新知导学
1．直线与圆的位置关系
①定义：直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相交，这条直线叫做圆的 线.
直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的 线.这个公
共点叫做 点.直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相离.
直线与圆的位置关系的性质与判定
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
直线与圆相交 ；
直线与圆相切 ；
直线与圆相离 .
【合作探究】
1．在△ABC中，∠A=450，AC=4,以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有交点，试确定r的范围.
【自我检测】
一、选择题
1．命题：“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）
A.经过半径的外端点的直线是圆的切线.B.垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线.
C.垂直于半径的直线是圆的切线. D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2．如图，AB、AC与⊙O相切于 ( http: / / www.21cnjy.com )B、C，∠A＝500，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是（ ）A.650 B.1150 C.650或1150 D.1300或500
3.已知正三角形的边长为6，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A. B.3 C. D.1
4.如图，BC是⊙O直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于A，如果PA＝，OB＝1，那么∠APC等于（ ）A. 150 B.300 C.450 D.600
5.如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于 ( http: / / www.21cnjy.com )点A、C，∠B＝300，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是（ ）A.1500 B.1350 C.1200 D.1000
6.在平面直角坐标系中，以点（2,1）为圆心，1为半径的圆，必与（ ）
A. x轴相交 B. y轴相交 C. x轴相切 D. y轴相切
7.如图，⊙的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，若⊙的半径为3，则的长为（ ）A.6 B. C. 3 D.
二、填空题
8.如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD＝40°，则∠ABC的大小等于_____.
9.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为_______．
10.如图，图同第7题，AB是⊙O的直径，BD＝OB，∠CAB＝300.，写出三个正确结论
（除AO＝OB＝BD外）：①___ ( http: / / www.21cnjy.com )_________________；②____________________；③____________________.
11.已知∠AOB＝300，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M. 当OM＝_______cm时，⊙M与OA相切(如图).
12.如图，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，连结AD，并过
点D作DE⊥AC，垂足为E. 根据以上条件写出三个正确的结论（除AB＝AC，AO＝BO， ABC＝∠ABC外）是：
(1) ___________________；(2) ___________________；(3) __________________
三、解答题
13.如图，∠PAQ是直角，⊙O 与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点.
（1）BT是否平分∠OBA？说明你的理由；
（2） 若已知AT＝4，弦BC＝6，试求⊙O 的半径R.
14．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC.
(1) 求证：△BAD∽△CED； (2) 求证：DE是⊙O的切线.
24.2.2直线和圆的位置关系（2）
新知导学
1．切线的判定定理：经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线.
2．切线的性质定理：圆的切线 于经过切点的 .
3．与三角形各边都 的圆叫做三角形的 圆， 圆的
叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 三角形.
【合作探究】
如图，AB、CD分别与半圆O切于点A、D，BC切⊙O于点E，若AB＝4，CD＝9，
求⊙O的半径.
2.已知锐角△ABC，作△ABC的内切圆.
【自我检测】
一、选择题
1.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论错误的是（ ）
A. ∠1=∠2 B.PA＝PB C.AB⊥OP D.
2.如图，⊙O内切于△ABC，切点为D ( http: / / www.21cnjy.com )、E、F，若∠B＝500，∠C＝600，连结OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于（ ）A.450 B.550 C.650 D.700
3.边长分别为3、4、5的三角形的内切圆与外接圆半径之比为（ ）
A.1:5 B.2:5 C.3:5 D.4:5
4.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B. 如果OP＝4，，那么∠AOB等于（ ）A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
5.如图，已知⊙O过边长为正2的方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，则圆的半径为（ ）A． B． C． D．1
6.如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝900，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，
则⊙O的半径等于（ ）A. B. C. D.
1题图 2题图 4题图
二填空题
7. 直角三角形有两条边是2，则其内切圆的半径是__________.
8. 正三角形的内切圆半径等于外接圆半径的__________倍.
9.如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝200，则∠P的大小是___度.
10.等边三角形ABC的内切圆面积为9π，则△ABC的周长为_________.
11.已知三角形的三边分别为3、4、5，则这个三角形的内切圆半径是 .
12.三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是 .
三、解答题：
13.已知如图,过圆O外 ( http: / / www.21cnjy.com )一点B作圆O的切线BM, M为切点.BO交圆O于点A,过点A作BO的垂线,交BM于点P.BO=3,圆O半径为1.求MP的长.
14.如图，AB是半圆O的直径，点 ( http: / / www.21cnjy.com )M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C.(1) 当∠PQA＝600时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；
(2) 当QP⊥AB时，△QCP的形状是__________三角形；
(3) 由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时， △QCP一定是_________三角形.
15.已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O ，交AN于D、E两点，设AD=.
⑴ 如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；
⑵ 如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．
24.2.3 圆和圆的位置关系
（一）复习巩固：
1圆的切线的性质定理： .
2．圆的切线的判定定理： .
3.三角形的内心是它的 圆的圆心，它是三角形 的交点.
4．内心到三角形 的距离相等，到三角形三边距离相等的点是 .
5．已知三角形的面积为12，周长为24，则内切圆的半径为 .
（二）新知导学
圆与圆的五种位置关系的性质与判定
如果两圆的半径为R、r，圆心距为d，那么
两圆外离 ；两圆外切 ；
两圆相交 ；两圆内切 ；
两圆内含 .
（位置关系） （数量关系）
【合作探究】
1.已知两圆相切，一个圆的半径为5，圆心距d=2，求另一个圆的半径.
2.半径为1、2、3的三个圆两两外切，求这三个圆的圆心的连线构成的三角形的面积.
【自我检测】
一、填空题:
1.已知两圆半径分别为8、6,若两圆内切,则圆心距为______;若两圆外切,则圆心距为___.
2.已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x2-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是______.
3.圆心都在y轴上的两圆 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O1、⊙O2，⊙O1的半径为5,⊙O2的半径为1,O1 的坐标为(0,-1),O2的坐标为(0,3),则两圆⊙O1与⊙O2的位置关系是________.
4.⊙O1和⊙O2交于A、B两点,且⊙O1经过点O2,若∠AO1B=90°,那么∠AO2B 的度数是__.
5.矩形ABCD中,AB=5,BC ( http: / / www.21cnjy.com )=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在⊙C内, 点B在⊙C外,那么圆A的半径r的取值范围是__________.
6.两圆半径长分别是R和r(R> ( http: / / www.21cnjy.com )r),圆心距为d,若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0 有相等的两实数根,则两圆的位置关系是_________.
二、选择题
7.⊙O的半径为2,点P是⊙O外一 ( http: / / www.21cnjy.com )点,OP的长为3,那么以P为圆心,且与⊙O 相切的圆的半径一定是( ) A.1或5 B.1 C.5 D.1或4
8.直径为6和10的两上圆相外切,则其圆心距为( ) A.16 B.8 C.4 D.2
9.如图1,在以O为圆心的 ( http: / / www.21cnjy.com )两个圆中,大圆的半径为5,小圆的半径为3, 则与小圆相切的大圆的弦长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(1) (2) (3)
10.⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,且半径分别为2cm,3cm,10cm,则△O1O2O3 的形状是( )
A.锐角三角形 B.等腰直角三角形; C.钝角三角形 D.直角三角形
11.如图2,⊙O1和⊙O2内切,它们的半径分别为3和1,过O1作⊙O2的切线, 切点为A,则O1A的长为( ) A.2 B.4 C. D.
12.半径为1cm和2cm的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个圆外切,那么与这两个圆都相切且半径为3cm 的圆的个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
13.如图3,⊙O的半径为r,⊙O1、⊙O2 ( http: / / www.21cnjy.com )的半径均为r1,⊙O1与⊙O内切,沿⊙O 内侧滚动m圈后回到原来的位置,⊙O2与⊙O外切并沿⊙O外侧滚动n圈后回到原来的位置,则m、n的大小关系是( ) A. m>n B. m=n C. m三、解答题
14.若两圆的圆心距d满足等式│d-4│=3,且两圆的半径是方程x2-7x+12=0 的两个根,试判断这两圆的位置关系.
15.某人用如下方法测一钢管的内径: ( http: / / www.21cnjy.com )将一小段钢管竖直放在平台上, 向内放入两个半径为5cm的钢球,测得上面一个钢球顶部高DC=16cm(钢管的轴截面如图所示), 求钢管的内直径AD的长.
16.如图,⊙O1、⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )2交于A、B两点,点O1在⊙O2上,两圆的连心线交⊙O1于E、D,交⊙O2于F,交AB于C,请根据图中所给的已知条件(不再标注其他字母, 不再添加任何辅助线),写出两个线段之间的关系式.
24.3正多边形和圆
（一）复习巩固
1. 等边三角形的边、角各有什么性质？ .
2. 正方形的边、角各有什么性质？ .
（二）新知导学
1.各边 ，各角 的多边形是正多边形.
2.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做 ，外接圆的半径叫做 ，
内切圆的半径做 ．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都 ．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做 ．正n边形的每个中心角都等于 ．
3.正多边形都是 对称 ( http: / / www.21cnjy.com )图形，正n边形有 条对称轴；正 数边形是中心对称图形，对称中心就是正多边形的 ，正 数边形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
【合作探究】
1.问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形.
思考：如何作正三角形、正十二边形？
【自我检测】
1．正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
2．正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
3．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
4．正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
5．设一直角三角形的面积为8㎝2，两直角边长分别为x㎝和y㎝.
（1）写出y(㎝)和x(㎝)之间的函数关系式
（2）画出这个函数关系所对应的图象（3）根据图象，回答下列问题：
① 当x =2㎝时，y等于多少？
② x为何值时，这个直角三角形是等腰直角三角形？
6．已知三角形的两边长分别是方程 的两根，第三边的长是方程 的根，求这个三角形的周长.
7．如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．
（1）求证：OP∥CB；
（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．
8.如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.
若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
9.如示意图，小华家（点A处）和公路（ ( http: / / www.21cnjy.com ) ）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家岛公路的距离（精确到1m）．
24.4.1弧长及扇形面积
（一）复习巩固：
1．圆与圆的五种位置关系： 、 、 、 、 .
2.已知两圆的半径分别3cm和2cm，若两圆没有公共点，则圆心距d的取值范围为（ ）
A. d＞5或d＜1 B. d＞5 C. d＜1 D.1＜d＜5
（二）新知导学
1.弧长计算公式
在半径为R的圆中，n0的圆心角所对的弧长l的计算公式为： l=
2.扇形面积计算公式
①定义： 叫做扇形.
②在半径为R的圆中，圆心角为n0的扇形面积的计算公式为：S扇形=
由弧长l= 和S扇形= 可得扇形面积计算的另一个公式为：
S扇形=
【合作探究】
1．已知：扇形的弧长为cm，面积为 cm2 ，求扇形弧所对的圆心角．
已知：AC是半圆的直径，BC与半圆切于C，AB交半圆于D，BC＝3 cm BD＝ cm,
求半圆的面积．
【自我检测】
一、选择题
1.如果以扇形的半径为直径作一个圆，这个圆的面积恰好与已知扇形的面积相等，则已知扇形的中心角为（ ）
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.如果圆柱底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆柱的侧面积为（ ）
A.24πcm2 B.36πcm2 C.12πcm2 D.48πcm2
3.圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A. πcm2 B.30πcm2 C.24πcm2 D.15πcm2
4.如果正四边形的边心距为2，那么这个正四边形的外接圆的半径等于（ ）
A.2 B.4 C. D.
5.圆的外切正六边形边长与它的内接正六边形边长的比为（ ）
A.:3 B. 2:3 C.3:3 D.:2
6.圆的半径为3cm，圆内接正三角形一边所对的弧长为（ ）
A.2πcm或4πcm B.2πcm C.4πcm D.6πcm
7.在半径为12cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ）
A.24πcm B.12πcm C.10πcm D.5πcm
8.如图， 设AB=1cm，，则长为（ ）
A. B. C. D.
9.圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中，扇形的圆心角是（ ）
A.144° B.150° C.288° D.120°
二、计算题
10.如图，已知菱形ABCD中，AC，BD交于O点，AC＝cm，BD=2cm，分别以 A，C为圆心，OA长为半径作弧，交菱形四边于E，F，G，H四点．求阴影部分的面积．
11．已知△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，⊙O内切于△ABC．求△ABC在⊙O外部的面积．
12．已知等腰梯形ABCD有一个内切圆O．若AB=CD=6cm，BC=2AD，求圆O的面积．
13.如图，ACBD为夹在环形的两条半径之间的一部分，弧AD的长为πcm，弧CB的长为2πcm，AC＝4cm，求这个图形的面积．
14．已知如图，P是半径为R的⊙O外一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=60°．求：夹在劣弧AB及PA，PB之间的阴影部分的面积．
15．已知扇形OAB的面积为S，∠AOB=60°．求扇形OAB的内切圆的面积．
三、证明
16．如图，已知同心⊙O中，外圆的面积是内圆 ( http: / / www.21cnjy.com )面积的2倍，外圆的弦AB，CD均与内圆相切，且AB∥CD．EFGH是内圆的内接正方形．求该圆环介于AB，CD间的面积等于正方形EFGH的面积．
17．已知直角三角形斜边上的高将原三角形分成两个直角三角形．求证这两个三角形的内切圆的面积的和等于原三角形的内切圆面积．
18．已知如图7-391，AB ( http: / / www.21cnjy.com )是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且弧AC＝弧CD＝弧DB，求证由弦AC及弧CD所围成的图形面积等于半圆面积的三分之一
19．若分别以线段CD的两个端点为 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心，CD长为半径的⊙C，⊙D相交于A，B．求证分别以AB，CD为直径的两个圆的面积之和与⊙C的面积相等．
20．求证圆心角为60°的扇形的内切圆的面积，等于扇形面积的三分之二．
21．已知如图7-392，扇 ( http: / / www.21cnjy.com )形OAB中，OA⊥OB，分别以OA，OB为直径向形内作半圆，两圆弧交于C，求证由弧AC，弧BC，弧AB所围图形的面积与由弧OMC和弧ONC所围图形面积相等．
24.4.2圆锥的侧面积和全面积
【自主学习】
（一）复习巩固：
1.弧长的计算公式： .
2．扇形面积的计算公式： .
3．已知扇形的面积为4cm2，弧长为4cm，求扇形的半径.
（二）新知导学
1．圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个 .
圆锥的母线就是扇形的 .
圆锥底面圆的周长就是扇形的 .
2．如果圆锥的母线长为l，底面的半径为r，那么
S侧= ，
S全= .
【合作探究】
1．已知圆锥的母线长6 cm；底面半径为 3 cm，求圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
2．已知：一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36°的扇形，扇形面积为10 cm2．求这圆锥的表面积．
【自我检测】
一、选择题
1．已知圆锥的高为，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A．π B．2π C．π D．6π
2．圆锥的高为3cm , 母线长为5cm , 则它的表面积是（ ）cm2．
A．20p B．36p C．16p D．28p
3．已知圆锥的底面半径为3 , 母线长为12 ( http: / / www.21cnjy.com ) , 那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为（ ）A．180° B．120° C．90° D．135°
4．如果圆锥的高与底面直径相等 , 则底面面积与侧面积之比为（ ）
A．1∶ B．2∶ C．∶ D．2∶3
5．边长为a的等边三角形 , 绕它一边上的高所在直线旋转180° , 所得几何体的表面积为（ ）A． B． C． D．π
6．若底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°,则这个圆锥的高是（ ）cm．A．8 B． C．6 D．4
7．在一个边长为4cm正方形里作一个扇形(如图所示) , 再将这个扇形剪下
卷成一个圆锥的侧面 , 则这个圆锥的高为（ ）cm．
A． B． C． D．
8．用圆心角为120° , 半径为6cm的扇形围成圆锥的侧面 , 则这个圆锥的高为（ ）A．4 B．4 C．2 D．3
9．△ABC中 , AB=6cm , ∠A ( http: / / www.21cnjy.com )=30° , ∠B=15° , 则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的表面积为（ ）cm2．
A．（18+9）π B．18+9
C．（36+18）π D．36+18
10．圆锥的母线长为10cm , 底面半径为3cm , 那么圆锥的侧面积为（ ）cm2．
A．30 B．30p C．60p D．15p
11．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m，母线长3 m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（ ）
A．6 m2 B．6πm2 C．12 m2 D．12πm2
12．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为（ ）
A．a B． C． D．
13．一个圆锥的高为cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是（ ）
A．200πcm2 B．300πcm2 C．400πcm2 D．360πcm2
14．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ）
A．80cm B．100cm C．40cm D．5cm
二、填空题
15．已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径
是 cm．
16．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是5cm，则它的侧面积是 ．
17．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是 ．
18．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ．
19．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为 ．
三、解答题
20．一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则它的侧面展开图扇形的圆心角是多少？
21．如图，一个圆柱的底面半径为40 cm，高为60 cm，从中挖去一个以圆柱上底为底、下底圆心为顶点的圆锥，得到一个几何体，求其全面积．
22．已知：一个圆锥的侧面积与表面积的比为2∶3．求这圆锥的锥角．
23．已知：一个圆锥的底半径 r=10cm，过轴的截面的顶角为60°．求它的侧面展开图的圆心角的度数及侧面积．
于是得到切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
几何语言为：∵ BC为⊙O的切线，切点为A
∴ BC⊥OA ( )
C
O
A
B
图4
·
A
B
C
D
O
M
第5题图
A
P
O
图2
A
P
O
图1
B
A
B
C
D
O
图3
E
第6-7题图
图1
图2
A
O
B
C
A
E
B
4
4
16
图1
A
C
E
D
B
O
图2
图1
图2
由此我们可以得到切线长定理：
从圆外一点引圆的两条 ，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 .（记住）
几何语言为：∵ PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点.
∴PA PB， .
1题图
2题图
3题图
4题图
2题图
; ;
1.悄悄告诉你：
eq \o\ac(○,1)一个正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫这个正多边形的中心.
eq \o\ac(○,2)一个正多边形的外接圆的半径叫正多边形的半径.
eq \o\ac(○,3)正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
eq \o\ac(○,4)中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距. 边心距也是正多边形内切圆的
2.考考你：
eq \o\ac(○,1)请你指出图中正多边形的中心 ；正多边形的半径 ；正多边形的中心角 ；
正多边形的边心距 ；
eq \o\ac(○,2)正三角形的中心角有 个，中心角的度数为 ；正四边形、正五边形、正六形呢？
……正n边形的中心角有 个，中心角的度数为 .
导学分析：
eq \o\ac(○,1)正六边形的中心角 ,所以 是等边三角形，
OC=OD= = m.所以正六边形的周长为 .
eq \o\ac(○,2)正六边形的边心距OM= .
正六边形ABCDEF的面积是 面积的 倍，
2题图
1题图
轻轻告诉你：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆（圆心叫做三角形的内心）
各边都与圆相切的三角形叫做圆的外切三角形
2题图
3题图
1题图
归纳总结：
（1）一个三角形有 个内切圆.
（2）一个圆有 个外切三角形.
（3）三角形的内心就是三角形 的交点.
（4）三角形的内心到三角形 的距离相等.
8题图
7题图
4题图
2题图
归纳总结：
（1）圆的周长公式 .
（2）弧长 的计算公式是 .（记住）
……
_
图
7
-
2
_
图
7
-
1
图8
图9
A
B
O
图12-1
A
B
O
图12-2
图11
图10
3题图
归纳总结：
（1）圆的面积公式为：
（2）即扇形的面积公式为： 或 .（记住）
C
B
A
O
F
D
E
第9题图
A
B
C
2题图
4题图
C
A
B
3题图
1题图
6题图
5题图
归纳总结：
1.圆锥的侧面展开图一个扇形，扇形的半径就是圆锥母线长 .扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长 .
2.设圆锥的母线长为 ，底面圆的半径为r,则它的侧面积为 .
（记住会用）
20cm
30cm
图2
A
图3
图1
图2
图1
A
B
D
C
Ａ
B
D(B)
(Ａ)
(D)
C
A
D
B
C
l
A
C
O
B
10题图
O
B
A
·
图10—2
图10—1
A
B
2米
4 米
（4）图
A
P
O
第8题图
第9题图
第11题图
第12题图
第5题图
第6题图
第9题图
A
M
O
B
P
M
A
N
E
D
O
图（1）
．
M
A
N
E
D
B
C
O
图（2）
班级： 姓名： 学号：
一、学习任务一
1.探究经过不同的点作圆。
(1)作经过已知点A的圆，这样的圆你能作出多少个？
(2)做经过已知点A，B的圆，这样的圆有多少个？它们的圆心分布有什么特点？
(3)作经过A，B，C，三点的圆，这样的圆有多少个？如何确定它的圆心？
由以上作圆可知过几个点作圆实质是确定圆心和半径，因此过一点的圆有___个，圆心是______，半径是_________.
过两点的圆有____个，圆心是______，半径是_____。过不在同一条直线上的三点_____________.圆心是__半径是__.
2.探究三角形的外接圆：
过三角形ABC三顶点作一个圆。
____________________________________三角形的外接圆.
_____________________________________________外心.
学习任务二：反证法
1.经过同一条直线的三个点能作出一个圆吗？你如何证明你的结论。
2.用反证法证明几何命题的一般步骤是：
二、合作共建（教师寄语：合作的基础是有自己的想法和辨别！）
1.如图是一块破碎的圆形木盖，试确定它的圆心．
2. 在△ABC中，BC=24cm，外心O到BC的距离为6cm，求△ABC的外接圆半径．
3.用反证法证明：一个三角形至少有两个角是锐角。
三、诊断评价（教师寄语：通过练习找出自己的不足！ ）
1.锐角三角形的外心在 ；直角三角形的外心在 ；钝角三角形的外心在 ．
2.若AB=4cm，则过点A、B且半径为3cm的圆有 个．
3.直角三角形三个顶点都在以 为圆心，以 为半径的圆上，直角三角形的外心是 ．
4.若Rt△ABC的斜边是AB，它的外接圆面积是121πcm2，则AB= ．
5．已知a、b、c是△ABC三边长，外接圆的圆心在△ABC一条边上的是（ ）
A．a=15，b=12，c=1 B．a=5，b=12，c=12
C．a=5，b=12，c=13 D．a=5，b=12，c=14
6．一个三角形的外心在其内部，则这个三角形是（ ）
A．任意三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形
7．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）
A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm
8．下列说法错误的是（ ）
A．过直线上两点和直线外一点，可以确定一个圆
B．任意一个圆都有无数个内接三角形
C．任意一个三角形都有无数个外接圆
D．同一圆的内接三角形的外心都在同一个点上
9.已知Rt△ABC的两直角边为a和b，且a，b是方程x2－3x＋1=0的两根，求Rt△ABC的外接圆面积．
10.求边长是6cm的等边三角形的外接圆的半径．
24.2.2直线和圆的位置关系（1）
班级： 姓名： 学号：
【课前预习】
点与圆的位置关系 数量关系
1：知识准备
【课堂活动】
2：探究1:（1）你看过日出吗？你知道太阳升起过程中，太阳和地平线会有几种不同位置关系吗？
（2）如图，在纸上画一条直线 L，把钥匙环看作一个圆，在纸上移动钥匙环，你能发现在钥匙环移动的过程中，它与直线L的公共点的个数吗？
发现：直线与圆有如下三种位置关系：
归纳：直线和圆有两个公共点，直线和圆 ，这条直线叫做圆的 ．
直线和圆有一个公共点，直线和圆 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，这条直线叫做圆的 ，这个点叫做 ．直线和圆没有公共点，这条直线和圆 ．
探究2: 设⊙O的半径为r，圆心到直线L的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离为d，在直线和圆的不同位置关系中，d和r具有怎样的大小关系？反过来，你能根据d和r的大小关系来确定直线和圆的位置关系吗？
（a） （b） （c）
直线L和⊙O相交 d r，如图（a）所示；
直线L和⊙O相切 d r，如图（b）所示；
直线L和⊙O相离 d r，如图（c）所示．
例1．圆的直径是13，如果直线与圆心的距离分别如下，判断直线与圆的位置关系？并说明公共点的个数.⑴ 4.5 ⑵ 6.5 ⑶ 8
例2．在 Rt△ABC 中，∠C = 90 ( http: / / www.21cnjy.com )°，AC = 3 cm , BC = 4 cm ,以 C 为圆心，下列r 为半径的圆与AB有怎样的位置关系？⑴r=2cm ⑵r=2.4cm ⑶r=3cm
活动4：课堂小结
1、直线和圆的位置关系表：
直线和圆的位置关系 相交 相切 相离
公共点的个数
公共点名称
直线名称
圆心到直线的距离d与r的关系
2、确定直线与圆的位置关系的方法有____种
（1）根据定义，由___________ _______的个数来判断；
（2）根据性质，由_________________________ 的关系来判断。
24.2.2直线和圆的位置关系（学案纸1）
班级： 姓名： 学号：
随堂训练
1.⊙O的半径是5，点O到直线l的距离为4,则直线l与⊙O的位置关系为（ ）
A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切
2.如果⊙O的直径为6厘米 ( http: / / www.21cnjy.com )，圆心O到直线AB的距离为5厘米，则直线与AB的位置关系为（ ）A.相离 B.相切 C.相交 D.不确定
3、已知⊙O的直径为10．(1)、若直线与⊙O相交，则圆心O到直线的距离d ________；
(2)、若直线与⊙O相切，则圆心O到直线的距离d ________；
(3)、若直线与⊙O相离，则圆心O到直线的距离d ________．
4、已知⊙A的直径为6，点A的坐标为（-3，-4），则⊙A与X轴的位置关系是_____,⊙A与Y轴的位置关系是______。
5、已知△ABC 中，AB=AC=5,BC=6,以点A为圆心，以4为半径作⊙A ，⊙A 与直线BC的位置关系怎样。
【课后巩固】
一、判断
1、直线与圆最多有两个公共点。 （ ）
2、若C为⊙O上的一点，则过点C的直线与⊙O相切。( )
3、若A、B是⊙O外两点， 则直线AB与⊙O相离。 ( )
4、若C为⊙O内一点，则过点C的直线与⊙O相交。 （ ）
二、填空
1、已知⊙O的半径为5cm，O到直线a的距离为3cm，则⊙O与直线a的位置关系是_____。直线a与⊙O的公共点个数是____。
2、已知⊙O的半径为6cm，O到直线a的距离为7cm，则直线a与⊙O的公共点个数是____。
3、已知⊙O的半径是4cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _ 。
4、已知⊙O的直径是6cm，O到直线a的距离是4cm，则⊙O与直线a的位置关系是 _。
5、⊙O半径为r，圆心O到直线ｌ的距离为ｄ，且ｄ与ｒ是方程x2-9x+20 =
0的两根，则直线ｌ与⊙O的位置关系是 。
6、如图,已知∠AOB= 30°,M为OB上一点,且OM=5cm，若以M为圆心,r为半径作圆,那么:
1)当直线AB与⊙M相离时, r的取值范围是______________;
2)当直线AB与⊙M相切时, r的取值范围是______________;
3)当直线AB与⊙M有公共点时, r的取值范围是___________.
三、选择题
1．⊙O的半径为4，圆心O到直线l的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（ ） A.相交 B.相切 C.相离 D.无法确定
2、设⊙O的半径为4，点O到直线a ( http: / / www.21cnjy.com )的距离为d，若⊙O与直线a至多只有一个公共点，则d为…（ ）A、d≤4 B、d＜4 C、d≥4 D、d＝4
3、设⊙p的半径为4cm，直线l上 ( http: / / www.21cnjy.com )一点A到圆心的距离为4cm，则直线l与⊙O的位置关系是（ ）A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交
四、解答题
如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
24.2.3切线的性质
班级： 姓名： 学号：
学习目标：1.记住切线的性质. 2.能利用切线的性质进行计算和证明
一.忆一忆 ： 的直线是圆的切线 .
判断：1. 经过半径外端的直线是圆的切线 （ ）
2． 垂直于半径的直线是圆的切线 （ ）
3. 经过直径的外端且垂直于这条直径的直线是圆的切线（ ）
二．探究新知：
如图BC是⊙O的切线，切点为A，则BC经过切点 且BC与OA的位置关系为 。
三． 基础训练
1.如图所示，PA为⊙O的切线，切点为A, PA=, 则⊙O的半径为
2.如图AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C, 连接BC，若,则
3.如图AB与⊙O相切于点A,BO交⊙O于点C, ,则
4.已知直线CD与⊙O相切于Ｃ，AB为直径，若,则大小为
5.如图PT切⊙O于点T,若PT=4,PA=2, 则⊙O的半径为
6. 如图中，AB=AC,∠BAC=120°,BC与⊙A相切于点D与BA相交于E，则∠BDE=
7如图PA,PB分别切⊙O于A,B 则
四．提高训练
1.如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，AD与过C点的切线互相垂直于D, 求证：AC平分
2。如图⊙O的直径AB=6㎝,D为⊙O上的一点，且,过D的切线交AB延长线于C .求：①的度数 ②AC的长.
当堂检测A 姓名 当堂检测B 姓名
如图，已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O 如图，已知⊙O中，AB是直径，过D点作⊙O
的切线BC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D． 的切线DC，连结CO．若AD∥OC交⊙O于D．
求证：CD是⊙O的切线． 求证：BC是⊙O的切线．
24.2.4垂径定理、切线的性质及判定
班级： 姓名： 学号：
学习目标：会用综合运用垂径定理、切线的性质及判定进行计算和证明.
一、忆一忆：
1.垂直于弦的直径的性质（垂径定理）：
垂直于弦的直径 ，并且平分
已知：如图，CD是直径，与弦AB交于点M.
∵CD⊥AB ∴ AM=BM （ 根据： ）
∵AM=BM ∴CD⊥AB （ 根据： ）
2. 切线的判定定理：
经过 并且 的直线是圆的切线.（记住）
所以，直线是圆的切线必须满足（1） ；
（2） .
几何语言：直线经过⊙O的半径OA的外端点A , 且.
∴直线是⊙O的 .（根据 ）
3. 切线的性质定理：圆的切线
几何语言为：∵ AB为⊙O的切线，切点为C
∴ AB⊥OC ( )
二、基础应用：
1.（04河北）如图1，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，PA=4，OA=3，则cos∠APO的值为 .
2.（06河北）如图2，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为 ．
3.（07河北）图3中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，
BC⊥AD于点C，AB＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为 .
4.（08河北）如图4，与相切于点，的延长线交于点，连结．若
，则．
5如图，在直径AB＝12的⊙O中，弦CD⊥AB于M，
且M是半径OB的中点，则弦CD的长 （保留根号）
6.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的半径为5，OC⊥AB于点D，
交⊙O于点C，且CD＝l，则弦AB的长是 ．
7.如图，AB为⊙O的弦，⊙O的直径为10，OC⊥AB于点D，
交⊙O于点C，且AB＝8，则CD的长是 .
三、能力提升：
1.（04河北中考）如图1，一个圆球放置在V形架中.图2是它的平面示意图，CA和CB都是⊙O的切线，切点分别是A，B.如果⊙O的半径为cm，且AB=6cm，求∠ACB.
2.（05河北）工人师傅为了检测该厂生产的一 ( http: / / www.21cnjy.com )种铁球的大小是否符合要求，设计了一个如图1所示的工件槽，其中工件槽的两个底角均为90°，尺寸如图（单位：cm）
将形状规则的铁球放入槽内时，若同时具有图1所示的A，B，E三个接触点，该球的大小就符合要求。
图2是过球心O及A，B，E ( http: / / www.21cnjy.com )三个接触点的截面示意图。已知⊙O的直径就是铁球的直径，AB是⊙O的弦，CD切⊙O于点E，AC⊥CD，BD⊥CD。请你结合图1中的数据。计算这种铁球的直径。
24.2.5切线长定理
班级： 姓名： 学号：
学习目标：1.知道什么是切线长.2.记住并会用切线长定理
一、学一学：
1.如图1，若AC为⊙O的切线，切点为C，则 ⊥ .
( 根据 )
若∠A=30°，半径为3cm，则线段AC= .
2.切线长：经过圆外一点做圆的切线，这点和切点之间的线段长
叫做这点到圆的切线长. 则图1中的切线长为 cm.
3.探究：如图2所示，PA、PB分别为⊙O的两条切线，切点分别为A、B.
（1）请你通过测量PA、PB的长度，猜想PA与PB满足的数量关系是PA PB;
(2)测量与的度数，猜想与大小关系是 .
并证明你的上述两猜想.
应用：
二、巩固应用：
类型一 利用切线长定理进行计算：
如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B，劣弧AB的度数为1200(即所对
的圆心角度数)则∠APB= ，∠APO= ，∠ACB= ;
又知PA=6，则PB= ，圆的半径为 ，弦AB的长度为 .
2.如图,PA、PB、CD分别切⊙O于点A、B、E，请你找出图中
的等线段 、 、 .
若PA=6则△PDC的周长为 .
若∠P=600，⊙O的半径为2，则∠COD= ，△PDC的周长为 .
若点E为劣弧AB上一动点，过点E的⊙O的切线始终与AP，BP交
于点C、D，则△PDC的周长有无变化？为什么？
3. 如图，过半径为6c ( http: / / www.21cnjy.com )m的⊙O外一点P引圆的切线PA、PB，连结PO交⊙O于点F，过F作⊙O的切线分别交PA、PB于D、E，若PO=10cm，∠APB=40°.
（1）求△PED的周长 （2）求∠DOE的度数
类型二 利用切线长定理进行证明：
4.已知：如图，中，,O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交与点E，与AC相切于点D,求证：∥OC
检测A卷 姓名 检测B卷 姓名
1.如图:AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F. 1.如图:AE、AD、BC分别切⊙O于E、D、F
若,则的周长为 . 若,则的周长为 .
2.如图:⊙O 是ABC的内切圆，若∠ ( http: / / www.21cnjy.com )DEF=54° 2.如图:⊙O 是ABC的内切圆，若∠DEF=55°则BAC= ° 则BAC= °
24.2.6圆和圆的位置关系
班级： 姓名： 学号：
一、探索发现
1.观察与思考
下图是两个半径不同的⊙O1和⊙O2，从 ( http: / / www.21cnjy.com )左向右移动⊙O1，你能发现在移动过程中，⊙O1和⊙O2有这5种不同的位置，请你填出每种位置关系时，两圆的交点个数.
交点个数：
2.学一学
(1)如果两个圆没有公共点，那么就说这两 ( http: / / www.21cnjy.com )个圆相离，如图 和 ，相离又分为外离(即一个圆在另一个圆的外部)和内含(即一个圆在另一个圆的内部). 则上图中表示外离的是图 ，表示内含的是图 .
(2)如果两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆相切，如图 和 ，
相切又分为内切和外切.则上图中表示内切的是图 ，表示外切的是图 .
(3)如果两个圆有两个公共点，那么就说这两个圆 .
3.探究 用数量关系识别两圆的位置关系.
设两圆的半径分别为R、r(R>r),圆心距（两圆圆心的距离）为.
二、拓展应用：
类型一：判断两圆的位置关系
1.已知平面内两圆的半径分别为4和6，圆心距是2，则两圆的位置关系是 .
2.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为2cm和5cm,且O1O2=6 cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 .
3. 已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3cm和7cm,且O1O2=10cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 .
4.两圆的半径分别是4cm和3cm，圆心距为1cm，则两圆的位置关系是 ；
5.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为R、r, O1O2=5cm，，R=3,当0
1. 有两个圆，一个圆的半径R=4，两圆的圆心距是5，另一个圆的半径r满足条件 时，这两个圆外离.
2.两圆的圆心距为2cm，一个圆的半径为10cm，要使这两个圆内含，另一个圆的半径r应满足条件
3. 半径为1和5的两圆相交，则圆心距d的取值范围为 ；
4. 已知两圆的直径分别为4和6，且这两个圆有唯一公共点，则圆心距d为
5. 已知两圆半径之比为1：2，当两圆相切时，圆心距为8 ，则大圆半径为 ;
6. ⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP的长为3，则以点P为圆心，且与⊙O相切的圆的半径为 .
7. 已知两圆内切，圆心距为2cm，如果一个圆的半径是3cm，则另一个圆的半径为 .
8. 相切两圆的圆心距为5，其中一个圆的半径为3，则另一个圆的半径为 .
9. 已知⊙O的半径为5cm,点P是⊙O外一点，OP=8cm,以P为圆心作⊙P与⊙O相切，求⊙P的半径.（写出过程，要考虑全面）
检测A卷 姓名 检测B卷 姓名
1.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为3 ( http: / / www.21cnjy.com )cm和7cm, 1.已知⊙O1和⊙O2的半径分别为4cm和6cm,且O1O2=6 cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 . 且O1O2=6 cm，则⊙O1和⊙O2的位置关系是 .
2.已知两圆的直径分别为6和8，且这两个圆 2.已知两圆的直径分别为10和4，且这两个圆
有唯一公共点，则圆心距d为 有唯一公共点，则圆心距d为
24.3.1正多边形和圆
学习目标：1.知道正多边形的相关概念 2.会解决正多边形问题.
一.忆一忆：
正三角形 正方形 正五边形 正六边形 … 正n边形
内角和 …
每一个内角 …
二．学一学：
2.如图：有一个亭子，它的地基是半径为4m的正六边形，求地基的周长和面积.
三.练一练：根据表中提供的数值，把其它数据补充完整（正六边形可用上图分析）.
四、拓展应用：
1.如图：要拧开一个边长a=12cm的六角形螺帽，扳手张开口b至少要多少？
2.如图,梯形ABCD的四条边都与⊙O相切，切点分别为E、F、G、H.
（1）请你探索AD+BC与AB+CD之间的数量关系.
（2）请你探索DO与CO的位置关系.
（3）若梯形ABCD不是梯形，结论（1）和（2）是否成立，
若成立请给出证明，不成立说明理由.
检测A卷 姓名 检测B卷 姓名
1.边长为的正六边形的一边所对的圆周角 1.边长为的正六边形的一边所对的圆周角
等于 °；面积为 等于 °；面积为
2.如图，点M、N分别是正八边形一组临边 2.如图，点M、N分别是正十边形一组临边
AB、BC上的点，且AM=BN，点O是正八边形 AB、BC上的点，且AM=BN，点O是正十边形
的中心，则∠MON= °. 的中心，则∠MON= °.
24.3.2三角形内切圆
班级： 姓名： 学号：
学习目标：1.知道什么是三角形的内切圆.
2.会解决与三角形的内切圆有关的问题.
一、忆一忆：
1.画出同时经过点A、B、C的⊙O.
2.经过三角形的三个顶点可以作 ( http: / / www.21cnjy.com )圆，这个圆叫做三角形的 ，三角形叫作圆的 ，外接圆的圆心是三角形 的交点，叫做这个三角形的 心.
三角形的外心到三角形 相等.
eq \o\ac(○,3)锐角三角形的外心在三角形的 ( http: / / www.21cnjy.com ) ，直角三角形的外心在三角形的 ，钝角三角形的外心在三角形的 .
任何三角形都有 个外接圆，圆有 个内接三角形.
二、学一学：
1.已知，如图1，⊙O与△ABC的三边分别相切于点D、E、F.
圆心O到三角形三边的距离 ，因为：
圆心O是三角形的 的交点，根据
2.画出下列锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的内切圆.
3. 画出⊙O的外切三角形，看能画几个？
三、巩固应用：
1. 如图，O是△ABC的内心.（1） ( http: / / www.21cnjy.com )若∠ABC=500，∠ACB=700，则∠O= ，（2）若∠A=800，则∠O= ，（3）若∠O=1300，则∠A= .
2. 如图，△ABC内接于⊙O，I是△ABC的内心，∠BIC=1300，则∠A ，∠BOC= .∠OBC= .
3. 直角三角形两直角边长分别为5和12，求其内切圆的半径和外接圆的半径为.
4.如图，⊙O切△ABC的三边于点E、F、 G，若AB=9，BC=10，AC=6，求AG、GC、BF的长.
四、知识超市：
5.Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=9，BC=24，⊙O为其内切圆，则∠AOB= ，
⊙O的半径为 ，其外接圆的半径为 .
6.正三角形内切圆半径为1，那么这个三角形的边长为
7.如图，点I是△ABC的内心，∠A=800，则∠BIC的度数为 .
8.如图，⊙O是△ABC的内切圆，H为⊙O上任意点，MN切⊙O于H，交AB、AC于点M、N，已
知△ABC的周长为20cm，BC=6cm.则△AMN的周长为
五、能力提升：
在Rt△ABC中，斜边AB=10cm，其内切圆半径为2cm，
则△ABC的面积为 .
检测A卷 姓名 检测B卷 姓名
1. 如图，点O是△ABC的内心，∠BOC =120°， 1. 如图，点O是△ABC的内心，∠BOC =130°，
则∠A的度数为 . 则∠A的度数为 .
2.已知三角形三边长分别为3 , 4 , 5，则它的 2.已知三角形三边长分别为6 , 8 , 10，则它的 内切圆半径为 内切圆半径为
外接圆半径为 外接圆半径为
24.4.1弧长公式扇形面积
班级： 姓名： 学号：
学习目标：记住并会用弧长公式.
一、探究：弧长公式
如右图，在半径为R的圆中，圆的周长.因为的圆心角所对的弧长就是圆的周长,所以的圆心角所对的扇形MON弧长 . 的圆心角所对的扇形AOB弧长.即弧长的计算公式是 .
二、利用弧长公式求弧长、圆心角度数、及圆的半径.
1.一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，则这条弧长为 。
2.若一条弧长为72，圆心角为36°，则半径为 。
3.若一条弧长为240，半径为180，则圆心角为 。
4.在半径为3的⊙O中，弦AB=3，则的长为 。
5.如图，∠AOB=90°∠B=20°,以点O为圆心，OA长为半径的圆交AB于点C，若AO=12则的长为 .
6.时钟的轴心到分针针端的长为，那么经过40分钟，分针针端转过的弧长是 .
三、能力提升.
7.如图1…3是边长大于2的 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形、四边形、…、凸n边形.分别以它们的个顶点为圆心，以1为半径画弧与相邻边相交，得到3条弧、4条弧、…、n条弧.
（1）图1中的3条弧的弧长的和为 ，图2中的4条弧的弧长的和为
(3)图3中n条弧的弧长的和为 (用含n的式子表示).
检测A卷 姓名 检测B卷 姓名
1.一条弧所对的圆心角为80°，半径为6， 1.一条弧所对的圆心角为60°，半径为6，
则这条弧长为 。 则这条弧长为 。
2.若一条弧长为12，圆心角为120°， 若一条弧长为14，圆心角为120°，
则半径为 。 则半径为 。
24.4.1弧长专练
班级： 姓名： 学号：
学习目标：记住并会用弧长公式.
1.（05咸阳）如图2所示，一条公路的转弯处是一段圆弧（圆中的弧AB），点O是这段弧的圆心，AB﹦120m,OA﹦120m则这段弯路AB长为 m（保留）.
2.（07兰州）如图3-1所示，小丽自 ( http: / / www.21cnjy.com )己动手做了一顶圆锥形的圣诞帽，母线长30cm，底面半径10cm，她想在帽子上缠一根漂亮的丝带，从点A出发绕帽子侧面一周，至少需丝带
3.（05内江）如图4-1,有一圆锥形 ( http: / / www.21cnjy.com )粮堆,其主视图是边长为6m的正三角形ABC,母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食,小猫从B处沿圆锥表面去偷袭老鼠，则小猫经过的最短路程是 m(结果不取近似数).
4.（06株州）我国南方一些地区的农民戴 ( http: / / www.21cnjy.com )的斗笠是圆锥形.已知圆锥的母线长为30 cm，底面圆的半径为24 cm，则圆锥侧面积为 cm2.
5.（05河南）图7-1、7-2是用两种方法 ( http: / / www.21cnjy.com )把6根圆形钢管用钢丝绳捆扎的截面图.设7-1、7-2两种方法捆扎所需钢丝绳的长度分别为a、b（不计接头部分）则a、b的大小关系为a b.
6.06山西）图8是某圆柱形网球筒，其底面直径是10cm，长
为80cm，将七个这样的网球筒如图所示放置并包装侧面，则需
________________的包装膜（不计接缝，π取3）。
7.（2010 嵊州市）如图9，是7根圆柱形木棒的横截面圆的半径均
为1，则捆扎这7根木棒一周的绳子长度为 。
8.（06河南）如图10，一块含有30°角的直角三角板ABC，
在水平桌面上绕点C按顺时针方向旋转到的位置，若
BC的长为15 cm，那么顶点A从开始到结束所经过的路径长为____________
9.（06济南）如图11，矩形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D中，AB=8，AD=6，将矩形ABCD在直线上按顺时针方向不滑动的每秒转动90°，转动3秒后停止，则顶点A经过的路线长为 .
10.（07台湾）如图(12-1)，水平地面上有一面积为30 平方公分的灰色扇形OAB，其中的长度为6公分，且与地面垂直。若在没有滑动的情况下，将图(12-1)的扇形向右滚动至垂直地面为止，如图(12-2)所示，则O点移动 公分.
24.4.2扇形面积
学习目标：记住并会用扇形面积.
一、探究：扇形面积
如图，在半径为R圆中，因为的圆心角所对的扇形面积就是圆的
面积 , 所以的圆心角所对的扇形面积
所以圆心角是扇形面积.
二、利用扇形面积计算公式进行计算
1.一扇形半径为60cm, 圆心角为150°，则扇形的面积是 .
2.一扇形的弧长为20 cm ,面积为 240cm2 ，，则扇形的圆心角是 .
3.如图所示，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB,AC的夹角为120°AB=30cm
贴纸部分BD长为20cm，则贴纸部分的面积为 .
4.（08南昌）如图，为的直径，于点，交于点，于点．（1）请写出三条与有关的正确结论；
（2）当，时，求圆中阴影部分的面积．
能力提升：
1.如图，⊙A,⊙B,⊙C两两不相交，且半径都是0.5cm，
则图中的三个扇形（即阴影部分）的面积 .
2.如图A是半径为2的⊙O外一点，OA=4，
AB是⊙O的切线，点B是切点，BC∥OA，
连接AC，则阴影部分的面积等于
扇形面积专练
学习目标：记住并会用扇形面积.
1.（05年·江苏）如图所示，Rt△A ( http: / / www.21cnjy.com )BC的面积为20cm2,在AB的同侧，分别以AB、BC、AC为直径作三个半圆，阴影部分的面积 .
2.（2010云南昆明）如图，在△ABC ( http: / / www.21cnjy.com )中，AB = AC，AB = 8，BC = 12，分别以AB、AC为直径作半圆，则图中阴影部分的面积是
3.（2010湖南衡阳）如图，在R ( http: / / www.21cnjy.com )t△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2分别以AC、BC为直径画半圆，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）
4.（2010山东临沂） 如图，直径为6的半径，绕点逆时针旋转60°，此时点到了点，则图中阴影部分的面积是
5.如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF…叫做“正三角形的渐开线”，其中弧、、、的圆心依次按A、B、C…循环，它们依次相连接.若AB=1，则
曲线CD的长；曲线DE的长；曲线EF的长为第n段曲线的长；则
；则
6.（2010湖北黄石）如图，从一个 ( http: / / www.21cnjy.com )直径为2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为60°的扇形ABC，将剪下来的扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面圆半径为
24.4.3圆锥的侧面展开图
学习目标：会计算圆锥的侧面积和全面积.
一、学一学：
1.圆锥的母线：我们把连接圆锥顶点和底面圆周上任意一点的线段叫做圆锥的母线.如图中.
2.圆锥的高：连接顶点和底面圆心的线段叫做圆锥的高. 如图中h就是圆锥的高.
二、探究与思考：
如图，圆锥是由一个底面和一个侧面围成的，沿圆锥的一条母线将圆锥侧面剪开并展平，可以得到圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r,那么侧面展开图扇形的半径为圆锥的母线长，扇形的弧长（即底面圆的周长）为 ，由扇形的面积公式可得圆锥侧面展开图的面积为= ，圆锥的底面积为 ，圆锥的全面积为 .（圆锥的全面积=侧面积+底面积）.
三、巩固应用：
1.已知圆锥的底面半径为80cm,母线长90cm,则它的侧面积为 ，全面积为
侧面展开图圆心角的度数为 .
2.已知圆锥的底面半径为3，高为4，则这个圆锥的母线长为 ，侧面积为 .
3.圆柱的高为20cm，底面半径是高的，那么圆柱的侧面积为 。
4. 若圆锥的母线长为6cm,侧面展开图的圆心角为的扇形，则圆锥底面半径为 cm.
5.若用半径为15cm，圆心角为的扇形围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的高为 cm.
6.圆锥的侧面积为，母线长为3，侧面展开图（扇形）的圆心角为
四、中考真题回放
1.（2003，河北）已知圆锥的底面直径为4，母线长为6，则它的侧面积为 。
2.（2004河北）如图1，在正方形铁 ( http: / / www.21cnjy.com )皮上剪下一个圆形和扇形，使之恰好围成图3—2所示的一个圆锥模型.设圆的半径为r，扇形半径为R，则圆的半径与扇形半径之间的关系为（ ）
A．R=2r B．R=r
C．R=3r D．R=4r
3.（04河北）图7是小明制作的一个圆锥形纸帽的示意图.围成这个纸帽的纸的面积为 cm2
(π取3.14).
4. (05河北)如图3，已 ( http: / / www.21cnjy.com )知圆锥的母线长OA=8，底面圆的半径为r=2，若一只小虫从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则小虫爬行的最短路线长为
(结果保留跟号)
5.（09，唐山模拟）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )1，O为圆柱形木块底面的圆心，过底面的一条弦AD，沿母线AB剖开，得剖面矩形ABCD，AD＝24cm，AB＝25cm．测量出AD所对的圆心角为120°，如图2所示．
（1）求⊙O的半径；
（2）求这个圆柱形木块的表面积．（结果可保留 和根号）
《弧长、扇形等面积》
学习目标：会计算弧长和扇形面积
1.已知扇形的圆心角为，半径为2cm，则扇形的弧长是 cm，扇形的面积是____ ．
2. (2006 梅州课改)如图，两个半圆中，小圆的圆心在大的直径上，长为4的弦与直径平行且与小半圆相切，那么圆中阴影部分面积等于 ．
3.如图，一块含有角的直角三角板，在水平桌面上绕点按顺时针方向旋转到的位置．若的长为，那么顶点从开始到结束所经过的路径长为 .
4.如图，的边长都大于2，分别以它的顶点为圆心，1为半径画弧（弧的端点分别在三角形的相邻两边上），则这三条弧的长的和是 .
5.如图，，，，相互外离，它们的半径都是，顺次连结四个圆心得到四边形，则图中四个扇形（阴影部分）的面积之和等于__________．（结果保留）
6.如图，，为的中点，都是半径为3的的切线，为切点，则的长为 ．
7.将边长为8cm的正方形的四边沿直线向右滚动（不滑动），当正方形滚动两周时，正方形的顶点所经过的路线的长是 cm．
8.如图，的半径为3，，切于，弦，连结，图中阴影部分的面积为 ．
9.如图，有一圆锥形粮堆，其正视图是边长为 ( http: / / www.21cnjy.com )6m的正三角形ABC，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是______m（结果不取近似值）.
10.（2005年成都市）农村常搭建橫截面为 ( http: / / www.21cnjy.com )半圆形的全封闭塑料薄膜蔬菜大棚，如图所示，如果不考虑塑料薄膜接头重合及埋在土里的部分，那么搭建一个这样的蔬菜大棚需用塑料薄膜的面积是 .
11.图10—1是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形．图10—2是车棚顶部截面的示意图，所在圆的圆心为O．
车棚顶部是用一种帆布覆盖的，求覆盖棚顶的帆布的面积（不考虑接缝等因素，计算结果保留）．
圆（单元论坛）
圆的有关性质
1.圆是 轴对称图形， 的直线都是它的对称轴，有 条对称轴，圆
是中心对称图形，又是旋转对称图形，即旋转任意角度都和自身重合. 对称中心.
2.外心—是三角形 的圆心 到三角形 的距离相等.
（是 的交点）
内心—是三角形 的圆心 到三角形 的距离相等.
3. 垂径定理及推论：
如图：AB是⊙O的直径，CD是弦。
（1）若AB⊥CD 则有 PC=PD且 =
根据：
（2）若PC=PD 则有 AB⊥CD 且 =
根据：
垂径定理
1、已知OC⊥AB 2、已知弦AB= 3、已知⊙O半径2 4、已知直径AB⊥CD，
OC=3，AB=8 ∠AOB=120° 弦AB= BE=1，弦CD=10
则⊙O半径 则⊙O半径 则∠AOB= 则⊙O半径
圆心角、弧、弦之间的关系：
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等它们所对应的其余各组量分别 .
如图，若∠AOB=∠BOC则有 ， .
圆心角和圆周角的关系：
的角叫圆心角；
角叫圆周角.
（2）一条弧所对的圆周角等于它所的圆心角的 ，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 ，直径所对的圆周角是 ，的圆周角所对的弦是 .
①若则 . ②若则
③若 AB是⊙O的直径，则∠ACB= ④若∠ACB是直角，则弦AB是
点和圆的位置关系：
设圆的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有：
（1）点P在圆外d r; (2) 点P在圆上d r; （3）点P在圆内d r;
6.直线和圆的位置关系：
设⊙O的半径为r,圆心O到直线的的距离为d,则有：
直线与⊙O相离 ； 直线与⊙O相切 ；直线与⊙O相交 .
7.圆和圆的位置关系：
设两圆的半径分别为R、r(R>r),圆心距（两圆圆心的距离）为
（1）两圆外离；（2）两圆外切 ；（3）两圆相交 <<
(4)两圆内切 ；（5）两圆内含 .（记住上述数量关系）
练一练：
①已知平面内两圆的半径分别为4和6，圆心距是2，则两圆的位置关系是 .
②已知⊙和⊙的半径分别为2cm和5cm,且，则⊙和⊙的位置关系是 .若两圆相切，则圆心距为 .
③已知⊙和⊙的半径分别为3cm和7cm,且，则⊙和⊙的位置关系是 .
④两圆的半径分别是4cm和3cm，圆心距为1cm，则两圆的位置关系是 ；
⑤已知⊙和⊙的半径分别为R、r，R=3,当时，则⊙和⊙的位置关系是 .
8.切线的判定和性质：
切线的判定：
①到圆心的距离等于半径的直线是圆的 ；
②经过半径的外端并且 这条半径的直线是圆的切线.
（2）切线的性质：圆的切线 经过切点的半径.
①如图①所示，PA为⊙O的切线，切点为A, PA=, 则⊙O的半径为
②如图②AB与⊙O相切于点B,AO的延长线交⊙O于点C, 连接BC，若,则
③如图③AB与⊙O相切于点A,BO交⊙O于点C, ,则
④已知直线ＣＤ与⊙O相切于Ｃ，ＡＢ为直径，若,则大小为
9.圆的有关计算：
（1）弧长 .
①一条弧所对的圆心角为90°，半径为3，则这条弧长为 。
②若一条弧长为72，圆心角为36°，则半径为 。
③若一条弧长为240，半径为180，则圆心角为 。
（2）扇形面积：S= 或S=
①一扇形半径为60cm, 圆心角为150°，则扇形的面积是 .
②一扇形的弧长为20 cm ,面积为 240cm2 ，，则扇形的圆心角是 （3）圆锥：①圆锥的侧面展开图是一个 。圆锥的母线 扇形半径R.
圆锥的底面圆周长 扇形弧长.
②圆锥的侧面积等于设圆锥的母线长为，底面圆的半径为r,则它的侧面积为 . + .（记住会用）
跟踪训练：
①已知圆锥的底面半径为80cm,母线长90cm,则它的侧面积为 ，全面积为
侧面展开图圆心角的度数为 .
②已知圆锥的底面半径为6，高为8，则这个圆锥的母线长为 ，侧面积为 .
③圆柱的高为40cm，底面半径是高的，那么圆柱的侧面积为 。
④若圆锥的母线长为6cm,侧面展开图的圆心角为的扇形，则圆锥底面半径为 cm.
24.2.1点和圆的位置关系
【自主学习】
（一）复习巩固：
1．已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，若AB=4cm，AC=3cm，则BC= .
2．下列命题：①直径所对的角 ( http: / / www.21cnjy.com )是900 ；②直角所对的弦是直径；③相等的圆周角所对的弧相等；④对同一弦的两个圆周角相等.正确的有（ ）A. 0个 B. 1个 C.2个 D.3个
（二）新知导学
1．过不在同一直线上的三个点确定 圆.
2.经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的 ，外接圆的圆心叫做三角形的 ，
这个三角形叫圆的 三角形.
【合作探究】
要将如图所示的破圆轮残片复制完成,
怎样确定这个圆轮残片的圆心和半径
(写出找圆心和半径的步骤).
【自我检测】
一、填空题:
1.锐角三角形的外心在_______.如果一个三角形的外心在它的一边的中点上, 则该三角形是______.如果一个三角形的外心在它的外部,则该三角形是_____.
2.边长为6cm的等边三角形的外接圆半径是________.
3.△ABC的三边为2,3, ,设其外心为O,三条高的交点为H,则OH的长为_____.
4.三角形的外心是______的圆心,它是_______的交点,它到_______的距离相等.
5.已知⊙O的直径为2,则⊙O的内接正三角形的边长为_______.
6.如图,MN所在的直线垂直平分线段AB,利用这样的工具,最少使用________ 次就可以找到圆形工件的圆心.
二、选择题:
7.下列条件,可以画出圆的是( )
A.已知圆心 B.已知半径;
C.已知不在同一直线上的三点 D.已知直径
8.三角形的外心是( )
A.三条中线的交点; B.三条边的中垂线的交点;
C.三条高的交点; D.三条角平分线的交点
9.下列命题不正确的是( )
A.三点确定一个圆 B.三角形的外接圆有且只有一个
C.经过一点有无数个圆 D.经过两点有无数个圆
10.一个三角形的外心在它的内部,则这个三角形一定是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形; C.锐角三角形 D.等边三角形
11.等腰直角三角形的外接圆半径等于( )
A.腰长 B.腰长的倍; C.底边的倍 D.腰上的高
12.平面上不共线的四点,可以确定圆的个数为( )
A.1个或3个 B.3个或4个 C.1个或3个或4个 D.1个或2个或3个或4个
三、解答题:
13.如图,A、B、C三点表示三个工厂,要 ( http: / / www.21cnjy.com )建立一个供水站, 使它到这三个工厂的距离相等,求作供水站的位置(不写作法,尺规作图,保留作图痕迹).
14.如图,已知△ABC的一个外角∠C ( http: / / www.21cnjy.com )AM=120°,AD是∠CAM的平分线,且AD与△ABC的外接圆交于F,连接FB、FC,且FC与AB交于E.(1)判断△FBC的形状,并说明理由.
(2)请给出一个能反映AB、AC和FA的数量关系的一个等式,
并说明你给出的等式成立.
15．如图,在钝角△ABC中,AD ( http: / / www.21cnjy.com )⊥BC,垂足为D点,且AD与DC的长度为x2-7x+12=0的两个根(AD
24.2.2直线和圆的位置关系（1）
新知导学
1．直线与圆的位置关系
①定义：直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相交，这条直线叫做圆的 线.
直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相切，这条直线叫做圆的 线.这个公
共点叫做 点.直线与圆有 个公共点时，叫做直线与圆相离.
直线与圆的位置关系的性质与判定
设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么
直线与圆相交 ；
直线与圆相切 ；
直线与圆相离 .
【合作探究】
1．在△ABC中，∠A=450，AC=4,以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有交点，试确定r的范围.
【自我检测】
一、选择题
1．命题：“圆的切线垂直于经过切点的半径”的逆命题是（ ）
A.经过半径的外端点的直线是圆的切线.B.垂直于经过切点的半径的直线是圆的切线.
C.垂直于半径的直线是圆的切线. D.经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2．如图，AB、AC与⊙O相切于 ( http: / / www.21cnjy.com )B、C，∠A＝500，点P是圆上异于B、C的一个动点，则∠BPC的度数是（ ）A.650 B.1150 C.650或1150 D.1300或500
3.已知正三角形的边长为6，则该三角形外接圆的半径为（ ）
A. B.3 C. D.1
4.如图，BC是⊙O直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于A，如果PA＝，OB＝1，那么∠APC等于（ ）A. 150 B.300 C.450 D.600
5.如图，线段AB经过圆心O，交⊙O于 ( http: / / www.21cnjy.com )点A、C，∠B＝300，直线BD与⊙O切于点D，则∠ADB的度数是（ ）A.1500 B.1350 C.1200 D.1000
6.在平面直角坐标系中，以点（2,1）为圆心，1为半径的圆，必与（ ）
A. x轴相交 B. y轴相交 C. x轴相切 D. y轴相切
7.如图，⊙的直径与弦的夹角为，切线与的延长线交于点，若⊙的半径为3，则的长为（ ）A.6 B. C. 3 D.
二、填空题
8.如图，已知直线CD与⊙O相切于点C，AB为直径，若∠BCD＝40°，则∠ABC的大小等于_____.
9.如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PA=，∠APO=30°，则⊙O的半径长为_______．
10.如图，图同第7题，AB是⊙O的直径，BD＝OB，∠CAB＝300.，写出三个正确结论
（除AO＝OB＝BD外）：①___ ( http: / / www.21cnjy.com )_________________；②____________________；③____________________.
11.已知∠AOB＝300，M为OB边上任意一点，以M为圆心，2cm为半径作⊙M. 当OM＝_______cm时，⊙M与OA相切(如图).
12.如图，以等腰三角形ABC的一腰AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点G，连结AD，并过
点D作DE⊥AC，垂足为E. 根据以上条件写出三个正确的结论（除AB＝AC，AO＝BO， ABC＝∠ABC外）是：
(1) ___________________；(2) ___________________；(3) __________________
三、解答题
13.如图，∠PAQ是直角，⊙O 与AP相切于点T，与AQ交于B、C两点.
（1）BT是否平分∠OBA？说明你的理由；
（2） 若已知AT＝4，弦BC＝6，试求⊙O 的半径R.
14．如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点于D，DE⊥AC.
(1) 求证：△BAD∽△CED； (2) 求证：DE是⊙O的切线.
24.2.2直线和圆的位置关系（2）
新知导学
1．切线的判定定理：经过半径的 并且 这条半径的直线是圆的切线.
2．切线的性质定理：圆的切线 于经过切点的 .
3．与三角形各边都 的圆叫做三角形的 圆， 圆的
叫做三角形的 ，这个三角形叫做圆的 三角形.
【合作探究】
如图，AB、CD分别与半圆O切于点A、D，BC切⊙O于点E，若AB＝4，CD＝9，
求⊙O的半径.
2.已知锐角△ABC，作△ABC的内切圆.
【自我检测】
一、选择题
1.如图，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，OP交⊙O于C，下列结论错误的是（ ）
A. ∠1=∠2 B.PA＝PB C.AB⊥OP D.
2.如图，⊙O内切于△ABC，切点为D ( http: / / www.21cnjy.com )、E、F，若∠B＝500，∠C＝600，连结OE、OF、DE、DF，则∠EDF等于（ ）A.450 B.550 C.650 D.700
3.边长分别为3、4、5的三角形的内切圆与外接圆半径之比为（ ）
A.1:5 B.2:5 C.3:5 D.4:5
4.如图，PA、PB是⊙O的两条切线，切点是A、B. 如果OP＝4，，那么∠AOB等于（ ）A. 90° B. 100° C. 110° D. 120°
5.如图，已知⊙O过边长为正2的方形ABCD的顶点A、B，且与CD边相切，则圆的半径为（ ）A． B． C． D．1
6.如图，⊙O为△ABC的内切圆，∠C＝900，AO的延长线交BC于点D，AC＝4，CD＝1，
则⊙O的半径等于（ ）A. B. C. D.
1题图 2题图 4题图
二填空题
7. 直角三角形有两条边是2，则其内切圆的半径是__________.
8. 正三角形的内切圆半径等于外接圆半径的__________倍.
9.如图，PA、PB是⊙O的切线，点A、B为切点，AC是⊙O的直径，∠BAC＝200，则∠P的大小是___度.
10.等边三角形ABC的内切圆面积为9π，则△ABC的周长为_________.
11.已知三角形的三边分别为3、4、5，则这个三角形的内切圆半径是 .
12.三角形的周长是12，面积是18，那么这个三角形的内切圆半径是 .
三、解答题：
13.已知如图,过圆O外 ( http: / / www.21cnjy.com )一点B作圆O的切线BM, M为切点.BO交圆O于点A,过点A作BO的垂线,交BM于点P.BO=3,圆O半径为1.求MP的长.
14.如图，AB是半圆O的直径，点 ( http: / / www.21cnjy.com )M是半径OA的中点，点P在线段AM上运动（不与点M重合），点Q在半圆O上运动，且总保持PQ＝PO，过点Q作⊙O的切线交BA的延长线于点C.(1) 当∠PQA＝600时，请你对△QCP的形状做出猜想，并给予证明；
(2) 当QP⊥AB时，△QCP的形状是__________三角形；
(3) 由(1)、(2)得出的结论，请进一步猜想当点P在线段AM上运动到任何位置时， △QCP一定是_________三角形.
15.已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心、2为半径作⊙O ，交AN于D、E两点，设AD=.
⑴ 如图⑴当取何值时，⊙O与AM相切；
⑵ 如图⑵当为何值时，⊙O与AM相交于B、C两点，且∠BOC=90°．
24.2.3 圆和圆的位置关系
（一）复习巩固：
1圆的切线的性质定理： .
2．圆的切线的判定定理： .
3.三角形的内心是它的 圆的圆心，它是三角形 的交点.
4．内心到三角形 的距离相等，到三角形三边距离相等的点是 .
5．已知三角形的面积为12，周长为24，则内切圆的半径为 .
（二）新知导学
圆与圆的五种位置关系的性质与判定
如果两圆的半径为R、r，圆心距为d，那么
两圆外离 ；两圆外切 ；
两圆相交 ；两圆内切 ；
两圆内含 .
（位置关系） （数量关系）
【合作探究】
1.已知两圆相切，一个圆的半径为5，圆心距d=2，求另一个圆的半径.
2.半径为1、2、3的三个圆两两外切，求这三个圆的圆心的连线构成的三角形的面积.
【自我检测】
一、填空题:
1.已知两圆半径分别为8、6,若两圆内切,则圆心距为______;若两圆外切,则圆心距为___.
2.已知两圆的圆心距d=8,两圆的半径长是方程x2-8x+1=0的两根,则这两圆的位置关系是______.
3.圆心都在y轴上的两圆 ( http: / / www.21cnjy.com )⊙O1、⊙O2，⊙O1的半径为5,⊙O2的半径为1,O1 的坐标为(0,-1),O2的坐标为(0,3),则两圆⊙O1与⊙O2的位置关系是________.
4.⊙O1和⊙O2交于A、B两点,且⊙O1经过点O2,若∠AO1B=90°,那么∠AO2B 的度数是__.
5.矩形ABCD中,AB=5,BC ( http: / / www.21cnjy.com )=12,如果分别以A、C为圆心的两圆相切,点D在⊙C内, 点B在⊙C外,那么圆A的半径r的取值范围是__________.
6.两圆半径长分别是R和r(R> ( http: / / www.21cnjy.com )r),圆心距为d,若关于x的方程x2-2rx+(R-d)2=0 有相等的两实数根,则两圆的位置关系是_________.
二、选择题
7.⊙O的半径为2,点P是⊙O外一 ( http: / / www.21cnjy.com )点,OP的长为3,那么以P为圆心,且与⊙O 相切的圆的半径一定是( ) A.1或5 B.1 C.5 D.1或4
8.直径为6和10的两上圆相外切,则其圆心距为( ) A.16 B.8 C.4 D.2
9.如图1,在以O为圆心的 ( http: / / www.21cnjy.com )两个圆中,大圆的半径为5,小圆的半径为3, 则与小圆相切的大圆的弦长为( ) A.4 B.6 C.8 D.10
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(1) (2) (3)
10.⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切,且半径分别为2cm,3cm,10cm,则△O1O2O3 的形状是( )
A.锐角三角形 B.等腰直角三角形; C.钝角三角形 D.直角三角形
11.如图2,⊙O1和⊙O2内切,它们的半径分别为3和1,过O1作⊙O2的切线, 切点为A,则O1A的长为( ) A.2 B.4 C. D.
12.半径为1cm和2cm的两 ( http: / / www.21cnjy.com )个圆外切,那么与这两个圆都相切且半径为3cm 的圆的个数是( ) A.5个 B.4个 C.3个 D.2个
13.如图3,⊙O的半径为r,⊙O1、⊙O2 ( http: / / www.21cnjy.com )的半径均为r1,⊙O1与⊙O内切,沿⊙O 内侧滚动m圈后回到原来的位置,⊙O2与⊙O外切并沿⊙O外侧滚动n圈后回到原来的位置,则m、n的大小关系是( ) A. m>n B. m=n C. m
14.若两圆的圆心距d满足等式│d-4│=3,且两圆的半径是方程x2-7x+12=0 的两个根,试判断这两圆的位置关系.
15.某人用如下方法测一钢管的内径: ( http: / / www.21cnjy.com )将一小段钢管竖直放在平台上, 向内放入两个半径为5cm的钢球,测得上面一个钢球顶部高DC=16cm(钢管的轴截面如图所示), 求钢管的内直径AD的长.
16.如图,⊙O1、⊙O ( http: / / www.21cnjy.com )2交于A、B两点,点O1在⊙O2上,两圆的连心线交⊙O1于E、D,交⊙O2于F,交AB于C,请根据图中所给的已知条件(不再标注其他字母, 不再添加任何辅助线),写出两个线段之间的关系式.
24.3正多边形和圆
（一）复习巩固
1. 等边三角形的边、角各有什么性质？ .
2. 正方形的边、角各有什么性质？ .
（二）新知导学
1.各边 ，各角 的多边形是正多边形.
2.正多边形的外接圆(或内切圆)的圆心叫做 ，外接圆的半径叫做 ，
内切圆的半径做 ．正多边形各边所对的外接圆的圆心角都 ．正多边形每一边所对的外接圆的圆心角叫做 ．正n边形的每个中心角都等于 ．
3.正多边形都是 对称 ( http: / / www.21cnjy.com )图形，正n边形有 条对称轴；正 数边形是中心对称图形，对称中心就是正多边形的 ，正 数边形既是中心对称图形，又是轴对称图形.
【合作探究】
1.问题：用直尺和圆规作出正方形，正六多边形.
思考：如何作正三角形、正十二边形？
【自我检测】
1．正方形ABCD的外接圆圆心O叫做正方形ABCD的______．
2．正方形ABCD的内切圆⊙O的半径OE叫做正方形ABCD的______．
3．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．
4．正n边形的一个外角度数与它的______角的度数相等．
5．设一直角三角形的面积为8㎝2，两直角边长分别为x㎝和y㎝.
（1）写出y(㎝)和x(㎝)之间的函数关系式
（2）画出这个函数关系所对应的图象（3）根据图象，回答下列问题：
① 当x =2㎝时，y等于多少？
② x为何值时，这个直角三角形是等腰直角三角形？
6．已知三角形的两边长分别是方程 的两根，第三边的长是方程 的根，求这个三角形的周长.
7．如图，PA和PB分别与⊙O相切于A，B两点，作直径AC，并延长交PB于点D．连结OP，CB．
（1）求证：OP∥CB；
（2）若PA＝12，DB：DC＝2：1，求⊙O的半径．
8.如图,平面直角坐标系中,直线AB与轴,轴分别交于A(3,0),B(0,)两点, ,点C为线段AB上的一动点,过点C作CD⊥轴于点D.
(1)求直线AB的解析式;
(2)若S梯形OBCD＝,求点C的坐标;
(3)在第一象限内是否存在点P,使得以P,O,B为顶点的三角形与△OBA相似.
若存在,请求出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.
9.如示意图，小华家（点A处）和公路（ ( http: / / www.21cnjy.com ) ）之间竖立着一块35m长且平行于公路的巨型广告牌（DE）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC．一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s，已知广告牌和公路的距离是40m，求小华家岛公路的距离（精确到1m）．
24.4.1弧长及扇形面积
（一）复习巩固：
1．圆与圆的五种位置关系： 、 、 、 、 .
2.已知两圆的半径分别3cm和2cm，若两圆没有公共点，则圆心距d的取值范围为（ ）
A. d＞5或d＜1 B. d＞5 C. d＜1 D.1＜d＜5
（二）新知导学
1.弧长计算公式
在半径为R的圆中，n0的圆心角所对的弧长l的计算公式为： l=
2.扇形面积计算公式
①定义： 叫做扇形.
②在半径为R的圆中，圆心角为n0的扇形面积的计算公式为：S扇形=
由弧长l= 和S扇形= 可得扇形面积计算的另一个公式为：
S扇形=
【合作探究】
1．已知：扇形的弧长为cm，面积为 cm2 ，求扇形弧所对的圆心角．
已知：AC是半圆的直径，BC与半圆切于C，AB交半圆于D，BC＝3 cm BD＝ cm,
求半圆的面积．
【自我检测】
一、选择题
1.如果以扇形的半径为直径作一个圆，这个圆的面积恰好与已知扇形的面积相等，则已知扇形的中心角为（ ）
A.60° B.90° C.120° D.150°
2.如果圆柱底面直径为6cm，母线长为4cm，那么圆柱的侧面积为（ ）
A.24πcm2 B.36πcm2 C.12πcm2 D.48πcm2
3.圆锥的母线长为5cm，底面半径为3cm，则圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A. πcm2 B.30πcm2 C.24πcm2 D.15πcm2
4.如果正四边形的边心距为2，那么这个正四边形的外接圆的半径等于（ ）
A.2 B.4 C. D.
5.圆的外切正六边形边长与它的内接正六边形边长的比为（ ）
A.:3 B. 2:3 C.3:3 D.:2
6.圆的半径为3cm，圆内接正三角形一边所对的弧长为（ ）
A.2πcm或4πcm B.2πcm C.4πcm D.6πcm
7.在半径为12cm的圆中，150°的圆心角所对的弧长等于（ ）
A.24πcm B.12πcm C.10πcm D.5πcm
8.如图， 设AB=1cm，，则长为（ ）
A. B. C. D.
9.圆锥的母线长为5cm，高为3cm，则其侧面展开图中，扇形的圆心角是（ ）
A.144° B.150° C.288° D.120°
二、计算题
10.如图，已知菱形ABCD中，AC，BD交于O点，AC＝cm，BD=2cm，分别以 A，C为圆心，OA长为半径作弧，交菱形四边于E，F，G，H四点．求阴影部分的面积．
11．已知△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，⊙O内切于△ABC．求△ABC在⊙O外部的面积．
12．已知等腰梯形ABCD有一个内切圆O．若AB=CD=6cm，BC=2AD，求圆O的面积．
13.如图，ACBD为夹在环形的两条半径之间的一部分，弧AD的长为πcm，弧CB的长为2πcm，AC＝4cm，求这个图形的面积．
14．已知如图，P是半径为R的⊙O外一 ( http: / / www.21cnjy.com )点，PA切⊙O于A，PB切⊙O于B，∠APB=60°．求：夹在劣弧AB及PA，PB之间的阴影部分的面积．
15．已知扇形OAB的面积为S，∠AOB=60°．求扇形OAB的内切圆的面积．
三、证明
16．如图，已知同心⊙O中，外圆的面积是内圆 ( http: / / www.21cnjy.com )面积的2倍，外圆的弦AB，CD均与内圆相切，且AB∥CD．EFGH是内圆的内接正方形．求该圆环介于AB，CD间的面积等于正方形EFGH的面积．
17．已知直角三角形斜边上的高将原三角形分成两个直角三角形．求证这两个三角形的内切圆的面积的和等于原三角形的内切圆面积．
18．已知如图7-391，AB ( http: / / www.21cnjy.com )是半圆O的直径，C，D是半圆上两点，且弧AC＝弧CD＝弧DB，求证由弦AC及弧CD所围成的图形面积等于半圆面积的三分之一
19．若分别以线段CD的两个端点为 ( http: / / www.21cnjy.com )圆心，CD长为半径的⊙C，⊙D相交于A，B．求证分别以AB，CD为直径的两个圆的面积之和与⊙C的面积相等．
20．求证圆心角为60°的扇形的内切圆的面积，等于扇形面积的三分之二．
21．已知如图7-392，扇 ( http: / / www.21cnjy.com )形OAB中，OA⊥OB，分别以OA，OB为直径向形内作半圆，两圆弧交于C，求证由弧AC，弧BC，弧AB所围图形的面积与由弧OMC和弧ONC所围图形面积相等．
24.4.2圆锥的侧面积和全面积
【自主学习】
（一）复习巩固：
1.弧长的计算公式： .
2．扇形面积的计算公式： .
3．已知扇形的面积为4cm2，弧长为4cm，求扇形的半径.
（二）新知导学
1．圆锥的侧面展开图
圆锥的侧面展开图是一个 .
圆锥的母线就是扇形的 .
圆锥底面圆的周长就是扇形的 .
2．如果圆锥的母线长为l，底面的半径为r，那么
S侧= ，
S全= .
【合作探究】
1．已知圆锥的母线长6 cm；底面半径为 3 cm，求圆锥的侧面展开图中扇形的圆心角．
2．已知：一个圆锥的侧面展开图是圆心角为36°的扇形，扇形面积为10 cm2．求这圆锥的表面积．
【自我检测】
一、选择题
1．已知圆锥的高为，底面半径为2，则该圆锥侧面展开图的面积是（ ）
A．π B．2π C．π D．6π
2．圆锥的高为3cm , 母线长为5cm , 则它的表面积是（ ）cm2．
A．20p B．36p C．16p D．28p
3．已知圆锥的底面半径为3 , 母线长为12 ( http: / / www.21cnjy.com ) , 那么圆锥侧面展开图所成扇形的圆角为（ ）A．180° B．120° C．90° D．135°
4．如果圆锥的高与底面直径相等 , 则底面面积与侧面积之比为（ ）
A．1∶ B．2∶ C．∶ D．2∶3
5．边长为a的等边三角形 , 绕它一边上的高所在直线旋转180° , 所得几何体的表面积为（ ）A． B． C． D．π
6．若底面直径为6cm的圆锥的侧面展开图的圆心角为216°,则这个圆锥的高是（ ）cm．A．8 B． C．6 D．4
7．在一个边长为4cm正方形里作一个扇形(如图所示) , 再将这个扇形剪下
卷成一个圆锥的侧面 , 则这个圆锥的高为（ ）cm．
A． B． C． D．
8．用圆心角为120° , 半径为6cm的扇形围成圆锥的侧面 , 则这个圆锥的高为（ ）A．4 B．4 C．2 D．3
9．△ABC中 , AB=6cm , ∠A ( http: / / www.21cnjy.com )=30° , ∠B=15° , 则△ABC绕直线AC旋转一周所得几何体的表面积为（ ）cm2．
A．（18+9）π B．18+9
C．（36+18）π D．36+18
10．圆锥的母线长为10cm , 底面半径为3cm , 那么圆锥的侧面积为（ ）cm2．
A．30 B．30p C．60p D．15p
11．粮仓的顶部是圆锥形，这个圆锥的底面直径是4 m，母线长3 m，为防雨需在粮仓的顶部铺上油毡，那么这块油毡的面积至少为（ ）
A．6 m2 B．6πm2 C．12 m2 D．12πm2
12．若圆锥的侧面展开图是一个半径为a的半圆，则圆锥的高为（ ）
A．a B． C． D．
13．一个圆锥的高为cm，侧面展开图是一个半圆，则圆锥的全面积是（ ）
A．200πcm2 B．300πcm2 C．400πcm2 D．360πcm2
14．一个圆锥形的烟囱帽的侧面积为2000πcm2，母线长为50cm，那么这个烟囱帽的底面直径为（ ）
A．80cm B．100cm C．40cm D．5cm
二、填空题
15．已知圆锥的母线长是10cm，侧面展开图的面积是60πcm2，则这个圆锥的底面半径
是 cm．
16．已知圆锥的底面半径是2cm，母线长是5cm，则它的侧面积是 ．
17．圆锥的轴截面是一个等边三角形，则这个圆锥的底面积、侧面积、全面积的比是 ．
18．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 ．
19．一个扇形，半径为30cm，圆心角为120°，用它做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的全面积为 ．
三、解答题
20．一个圆锥形的零件，经过轴的剖面是一个等腰直角三角形，则它的侧面展开图扇形的圆心角是多少？
21．如图，一个圆柱的底面半径为40 cm，高为60 cm，从中挖去一个以圆柱上底为底、下底圆心为顶点的圆锥，得到一个几何体，求其全面积．
22．已知：一个圆锥的侧面积与表面积的比为2∶3．求这圆锥的锥角．
23．已知：一个圆锥的底半径 r=10cm，过轴的截面的顶角为60°．求它的侧面展开图的圆心角的度数及侧面积．
于是得到切线的性质定理：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
几何语言为：∵ BC为⊙O的切线，切点为A
∴ BC⊥OA ( )
C
O
A
B
图4
·
A
B
C
D
O
M
第5题图
A
P
O
图2
A
P
O
图1
B
A
B
C
D
O
图3
E
第6-7题图
图1
图2
A
O
B
C
A
E
B
4
4
16
图1
A
C
E
D
B
O
图2
图1
图2
由此我们可以得到切线长定理：
从圆外一点引圆的两条 ，它们的 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的 .（记住）
几何语言为：∵ PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点.
∴PA PB， .
1题图
2题图
3题图
4题图
2题图
; ;
1.悄悄告诉你：
eq \o\ac(○,1)一个正多边形的外接圆（或内切圆）的圆心叫这个正多边形的中心.
eq \o\ac(○,2)一个正多边形的外接圆的半径叫正多边形的半径.
eq \o\ac(○,3)正多边形每一条边所对的圆心角叫做正多边形的中心角.
eq \o\ac(○,4)中心到正多边形一边的距离叫做正多边形的边心距. 边心距也是正多边形内切圆的
2.考考你：
eq \o\ac(○,1)请你指出图中正多边形的中心 ；正多边形的半径 ；正多边形的中心角 ；
正多边形的边心距 ；
eq \o\ac(○,2)正三角形的中心角有 个，中心角的度数为 ；正四边形、正五边形、正六形呢？
……正n边形的中心角有 个，中心角的度数为 .
导学分析：
eq \o\ac(○,1)正六边形的中心角 ,所以 是等边三角形，
OC=OD= = m.所以正六边形的周长为 .
eq \o\ac(○,2)正六边形的边心距OM= .
正六边形ABCDEF的面积是 面积的 倍，
2题图
1题图
轻轻告诉你：
与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆（圆心叫做三角形的内心）
各边都与圆相切的三角形叫做圆的外切三角形
2题图
3题图
1题图
归纳总结：
（1）一个三角形有 个内切圆.
（2）一个圆有 个外切三角形.
（3）三角形的内心就是三角形 的交点.
（4）三角形的内心到三角形 的距离相等.
8题图
7题图
4题图
2题图
归纳总结：
（1）圆的周长公式 .
（2）弧长 的计算公式是 .（记住）
……
_
图
7
-
2
_
图
7
-
1
图8
图9
A
B
O
图12-1
A
B
O
图12-2
图11
图10
3题图
归纳总结：
（1）圆的面积公式为：
（2）即扇形的面积公式为： 或 .（记住）
C
B
A
O
F
D
E
第9题图
A
B
C
2题图
4题图
C
A
B
3题图
1题图
6题图
5题图
归纳总结：
1.圆锥的侧面展开图一个扇形，扇形的半径就是圆锥母线长 .扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长 .
2.设圆锥的母线长为 ，底面圆的半径为r,则它的侧面积为 .
（记住会用）
20cm
30cm
图2
A
图3
图1
图2
图1
A
B
D
C
Ａ
B
D(B)
(Ａ)
(D)
C
A
D
B
C
l
A
C
O
B
10题图
O
B
A
·
图10—2
图10—1
A
B
2米
4 米
（4）图
A
P
O
第8题图
第9题图
第11题图
第12题图
第5题图
第6题图
第9题图
A
M
O
B
P
M
A
N
E
D
O
图（1）
．
M
A
N
E
D
B
C
O
图（2）
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