人教版数学八年级上册 11.2.1 三角形的内角 导学案（含答案）
文档属性
| 名称 | 人教版数学八年级上册 11.2.1 三角形的内角 导学案（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 168.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-01 10:29:46 | ||
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文档简介
11.2 与三角形有关的角
11.2.1 三角形的内角
学习目标
1.掌握三角形的内角和定理及其推论.
2.理解三角形的内角和定理的推导、验证过程.
3.会运用三角形的内角和及直角三角形的性质和判定进行相关计算.
学习策略
1.通过动手拼图掌握三角形内角和定理的证明方法；
2.牢记三角形三角形的内角和180°和推论，应用其进行相关的计算.
学习过程
一.复习回顾：
1.三角形具有什么性质？
稳定性
2. 小学的时候我们通过测量或者剪拼得出三角形的内角和等于多少度？
180°
二.新课学习：
知识点一：三角形内角和定理
1.作如图1所示的辅助线，证明三角形的内角和定理，试完成如下证明过程：
作CD∥AB，则∠A= (两直线平行， )，
∠B+ =180°(两直线平行， )，
∴∠A+∠B+∠ACB= (等式的性质).
【答案】∠ACD，内错角相等，∠BCD，同旁内角互补，180°.
2.三角形内角和最直接的一个应用是已知三角形的两个角求第三个角，可直接用 减去已知两角的度数即可.
综上：三角形的内角和等于 ，证明时常通过添加 构造平角、同旁内角建立起三个角之间的关系.在△ABC中，若已知∠A、∠B，则∠C= .
【答案】180°，180°，平行线，180°-∠A-∠B.
知识点二：三角形内角和定理的实际应用
阅读课本“例2”，解决下列问题.
1.如图3，点A位于点O的 方向，点B位于点O的 方向，点C位于点O的 方向.
2.例题也可以过点C作CF∥AD交AB与F，则∠ACF= .又AD∥BE，所以CF∥ ，所以∠BCF= ，从而∠ACB=∠ACF+∠BCF= + = .
【答案】北偏东15°，南偏东30°，西偏南，∠DAC，BE，∠CBE，∠DAC，∠CBE，90°.
阅读课本本课时内容，解决下列问题.
知识点三：直角三角形的性质
1.如图1，直角三角形可以用符号“ ”表示，直角三角形ABC可以写成 .
【答案】Rt△；Rt△ABC
2.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，则由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C= ，即∠A+∠B+ = ，所以∠A+∠B= .从而说明直角三角形两锐角 .
【答案】180°；∠C；180°；90°，互余
3.如图2，由“例3”的结果可知，若∠A=∠C，则 .
综之：直角三角形两锐角 .
【答案】∠B=∠D；互余
知识点四：直角三角形的判定
如图3，在△ABC中，若∠A+∠B=90°，由三角形内角和定理，有∠A+∠B+∠C= ，所以∠C= ，即△ABC是 三角形.
综之：有两个角 的三角形是直角三角形.
【答案】180°；90°；直角；互余
三.尝试应用
例1用多种方法证明“三角形的内角和等于180 ”
思路一：作平行线来证明.
思路二：在三角形的边上任取一点P，分别作两边的平行线.
思路三：在三角形的内部或外部任取一点，分别作三边的平行线，将三角形的三个内角转化为一个平角．
例2如图，在△ABC 中，∠ABC= 70°，∠C=65°，BD⊥AC于D，求∠ABD，∠CBD的度数.
解：∵∠ABC = 70°，∠C = 65°，
∴∠A = 180°–∠ABC –∠C = 45°.
∵BD⊥AC，
∴∠ADB =∠CDB = 90°，
∴∠ABD = 90°–∠A = ∠45°，
∠CBD = 90° – ∠C = 25°.
四.自主总结：
1.三角形内角和等于______________； 180
2.直角三角形的两锐角____________； 互余
3. 有两个角 的三角形是直角三角形. 互余
五、达标测试
一、选择题
1. 如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC的形状是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
3. 如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
4. 若CD平分含30°角的三角板的∠ACB，则∠1等于( )
A.110° B.105° C.100° D.95°
5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C
C.∠A：∠B：∠C=1：2：3 D.∠A=∠B=3∠C
二、填空题
6.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是_______．
7.已知：如图，在△ABC中，∠A=55°，F是高BE、CD的交点，则∠BFC=________．
8.如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=______度．
第6题图 第7题图 第8题图
9.直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个锐角的度数是( )
三、解答题：
10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且∠B=3∠BAD，求∠ADC的度数．
参考答案
1. B解析：∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°．故选B．
2. D 解析：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-20°-60°=100°，
∴△ABC是钝角三角形．故选：D．
3. A解析：∵AB⊥BD，∠A=40°，∴∠AEB=50°，∴∠DEC=50°，又AC⊥CD，
∴∠D=40°，故选：A．
4. B 解析：∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴∠DCB=45°，
∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴∠1=∠B+∠DCB=60°+45°=105°，故选B．
5. D解：A选项，∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，不符合题意；B选项，∠A-∠B=∠C，即2∠A=180°，∠A=90°，为直角三角形，不符合题意；C选项，∠A：∠B：∠C=1：2：3，即∠A+∠B=∠C，同A选项，不符合题意；D选项，∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．故选：D．
6.85°解析：∵在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，∴∠C=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=35°，∴∠BDC=180°-60°-35°=85°．
7.125° 解析：∵∠A=55°，BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ABE=∠ACD=180°-∠A-90°=35°，∴∠BCF+∠CBF=180°-∠A-∠ABE-∠ACD=180°-55°-35°-35°=55°，∵∠BFC+∠BCF+∠CBF=180°，∴∠BFC=125°．
8.70解析：∵AB∥CD，∴∠EFD=180-∠FEB；∵EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，∴∠EFD=180°-50°-90°=40°，∴∠EFP=20°；∴∠EPF=180°-90°-20°=70°．
9. 设这个锐角度数是x，则另一个锐角度数是（90-x）°，
由题意得，x=4（90-x），解得x=72°，所以，这个锐角的度数是72°．
10. 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，而∠B=3∠BAD，∴2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，∴∠BAD=18°，∴∠B=3∠BAD=54°，∴∠ADC=∠BAD+∠B=18°+54°=72°．
11.2.1 三角形的内角
学习目标
1.掌握三角形的内角和定理及其推论.
2.理解三角形的内角和定理的推导、验证过程.
3.会运用三角形的内角和及直角三角形的性质和判定进行相关计算.
学习策略
1.通过动手拼图掌握三角形内角和定理的证明方法；
2.牢记三角形三角形的内角和180°和推论，应用其进行相关的计算.
学习过程
一.复习回顾：
1.三角形具有什么性质？
稳定性
2. 小学的时候我们通过测量或者剪拼得出三角形的内角和等于多少度？
180°
二.新课学习：
知识点一：三角形内角和定理
1.作如图1所示的辅助线，证明三角形的内角和定理，试完成如下证明过程：
作CD∥AB，则∠A= (两直线平行， )，
∠B+ =180°(两直线平行， )，
∴∠A+∠B+∠ACB= (等式的性质).
【答案】∠ACD，内错角相等，∠BCD，同旁内角互补，180°.
2.三角形内角和最直接的一个应用是已知三角形的两个角求第三个角，可直接用 减去已知两角的度数即可.
综上：三角形的内角和等于 ，证明时常通过添加 构造平角、同旁内角建立起三个角之间的关系.在△ABC中，若已知∠A、∠B，则∠C= .
【答案】180°，180°，平行线，180°-∠A-∠B.
知识点二：三角形内角和定理的实际应用
阅读课本“例2”，解决下列问题.
1.如图3，点A位于点O的 方向，点B位于点O的 方向，点C位于点O的 方向.
2.例题也可以过点C作CF∥AD交AB与F，则∠ACF= .又AD∥BE，所以CF∥ ，所以∠BCF= ，从而∠ACB=∠ACF+∠BCF= + = .
【答案】北偏东15°，南偏东30°，西偏南，∠DAC，BE，∠CBE，∠DAC，∠CBE，90°.
阅读课本本课时内容，解决下列问题.
知识点三：直角三角形的性质
1.如图1，直角三角形可以用符号“ ”表示，直角三角形ABC可以写成 .
【答案】Rt△；Rt△ABC
2.如图1，在Rt△ABC中，∠C=90°，则由三角形内角和定理，得∠A+∠B+∠C= ，即∠A+∠B+ = ，所以∠A+∠B= .从而说明直角三角形两锐角 .
【答案】180°；∠C；180°；90°，互余
3.如图2，由“例3”的结果可知，若∠A=∠C，则 .
综之：直角三角形两锐角 .
【答案】∠B=∠D；互余
知识点四：直角三角形的判定
如图3，在△ABC中，若∠A+∠B=90°，由三角形内角和定理，有∠A+∠B+∠C= ，所以∠C= ，即△ABC是 三角形.
综之：有两个角 的三角形是直角三角形.
【答案】180°；90°；直角；互余
三.尝试应用
例1用多种方法证明“三角形的内角和等于180 ”
思路一：作平行线来证明.
思路二：在三角形的边上任取一点P，分别作两边的平行线.
思路三：在三角形的内部或外部任取一点，分别作三边的平行线，将三角形的三个内角转化为一个平角．
例2如图，在△ABC 中，∠ABC= 70°，∠C=65°，BD⊥AC于D，求∠ABD，∠CBD的度数.
解：∵∠ABC = 70°，∠C = 65°，
∴∠A = 180°–∠ABC –∠C = 45°.
∵BD⊥AC，
∴∠ADB =∠CDB = 90°，
∴∠ABD = 90°–∠A = ∠45°，
∠CBD = 90° – ∠C = 25°.
四.自主总结：
1.三角形内角和等于______________； 180
2.直角三角形的两锐角____________； 互余
3. 有两个角 的三角形是直角三角形. 互余
五、达标测试
一、选择题
1. 如图是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数为( )
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.在△ABC中，∠A＝20°，∠B＝60°，则△ABC的形状是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形 C.直角三角形 D.钝角三角形
3. 如图，已知AB⊥BD，AC⊥CD，∠A＝40°，则∠D的度数为( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
4. 若CD平分含30°角的三角板的∠ACB，则∠1等于( )
A.110° B.105° C.100° D.95°
5.具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C
C.∠A：∠B：∠C=1：2：3 D.∠A=∠B=3∠C
二、填空题
6.如图，在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，则∠BDC的度数是_______．
7.已知：如图，在△ABC中，∠A=55°，F是高BE、CD的交点，则∠BFC=________．
8.如图，AB∥CD，EF与AB、CD分别相交于点E、F，EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，且∠BEP=50°，则∠EPF=______度．
第6题图 第7题图 第8题图
9.直角三角形的一个锐角是另一个锐角的4倍，那么这个锐角的度数是( )
三、解答题：
10. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且∠B=3∠BAD，求∠ADC的度数．
参考答案
1. B解析：∵△ABC中，∠A=100°，∠B=40°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-100°-40°=40°．故选B．
2. D 解析：∵∠A=20°，∠B=60°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-20°-60°=100°，
∴△ABC是钝角三角形．故选：D．
3. A解析：∵AB⊥BD，∠A=40°，∴∠AEB=50°，∴∠DEC=50°，又AC⊥CD，
∴∠D=40°，故选：A．
4. B 解析：∵∠ACB=90°，CD平分∠ACB，∴∠DCB=45°，
∵∠A=30°，∴∠B=60°，∴∠1=∠B+∠DCB=60°+45°=105°，故选B．
5. D解：A选项，∠A+∠B=∠C，即2∠C=180°，∠C=90°，为直角三角形，不符合题意；B选项，∠A-∠B=∠C，即2∠A=180°，∠A=90°，为直角三角形，不符合题意；C选项，∠A：∠B：∠C=1：2：3，即∠A+∠B=∠C，同A选项，不符合题意；D选项，∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°角，故不是直角三角形，符合题意．故选：D．
6.85°解析：∵在△ABC中，∠A=50°，∠ABC=70°，∴∠C=60°，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=35°，∴∠BDC=180°-60°-35°=85°．
7.125° 解析：∵∠A=55°，BE⊥AC，CD⊥AB，∴∠ABE=∠ACD=180°-∠A-90°=35°，∴∠BCF+∠CBF=180°-∠A-∠ABE-∠ACD=180°-55°-35°-35°=55°，∵∠BFC+∠BCF+∠CBF=180°，∴∠BFC=125°．
8.70解析：∵AB∥CD，∴∠EFD=180-∠FEB；∵EP⊥EF，与∠EFD的平分线FP相交于点P，∴∠EFD=180°-50°-90°=40°，∴∠EFP=20°；∴∠EPF=180°-90°-20°=70°．
9. 设这个锐角度数是x，则另一个锐角度数是（90-x）°，
由题意得，x=4（90-x），解得x=72°，所以，这个锐角的度数是72°．
10. 解：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠BAC，∵∠BAC+∠B+∠C=180°，而∠B=3∠BAD，∴2∠BAD+3∠BAD+90°=180°，∴∠BAD=18°，∴∠B=3∠BAD=54°，∴∠ADC=∠BAD+∠B=18°+54°=72°．