2022-2023学年陕西省西安市西咸新区高二（下）期末数学试卷（理科）（含解析）

2022-2023学年陕西省西安市西咸新区高二（下）期末数学试卷（理科）
一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 设全集，集合，，则( )
A. B. C. D.
2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则( )
A. B. C. D.
3. 已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
4. 已知某同学投篮一次的命中率为，连续两次均投中的概率是，若该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是( )
A. B. C. D.
5. 设是等比数列，且，，则( )
A. B. C. D.
6. 某学校开设了门体育类选修课和门艺术类选修课，学生需从这门课中选修门课，并且每类选修课至少选修门，则不同的选课方案共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
7. 已知抛物线：的焦点为，点在上，若到直线的距离为，则( )
A. B. C. D.
8. “”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
9. 有一组样本数据，，，，其中是最小值，是最大值，则( )
A. ，，，的平均数等于，，，的平均数
B. ，，，的中位数等于，，，的中位数
C. ，，，的标准差不小于，，，的标准差
D. ，，，的极差大于，，，的极差
10. 我国古代数学名著数书九章中有“天池盆测雨”题，是指在下雨时可以用圆台形的盆接雨水来测量降雨量若一个圆台形盆的上口直径为，盆底直径为，盆深，某次下雨盆中积水，则这次降雨量最接近注：降雨量等于盆中水的体积除以盆口面积( )
A. B. C. D.
11. 一几何体的平面展开图如图所示，其中四边形为正方形，、分别为、的中点，在此几何体中，下面结论错误的是( )
A. 直线与直线异面
B. 直线与直线异面
C. 直线平面
D. 直线平面
12. 已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 已知等差数列的前项和为，若，则 ______ ．
14. 已知函数，若是偶函数，则 ______ ．
15. 若函数在区间只有一个极值点，则实数的最小值为______ ．
16. 双曲线的左、右焦点分别为，，过作其中一条渐近线的垂线，垂足为，则 ______ ，直线的斜率为______ ．
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 本小题分
在中，，，的对边分别是，，，．
求角的大小；
若，，求的面积．
18. 本小题分
推进垃圾分类处理是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制成频数分布表如表：
得分
男性人数
女性人数
将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”和“不太了解”得分低于分两类，完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度“与“性别“有关？
不太了解 比较了解 总计
男性
女性
总计
从参与问卷测试且得分不低于分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取人，再从这人中随机抽取人组成一个环保宣传队，求环保宣传队中女性人数的数学期望
附：，其中．
19. 本小题分
如图，在长方体中，，．
Ⅰ求证：
Ⅱ求直线与平面所成角的正弦值．
20. 本小题分
已知椭圆的左，右焦点分别为，，为上一点且在第一象限．已知为等腰三角形，且
求的离心率；
若的周长为，求点的坐标．
21. 本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求的最大值；
Ⅱ若，，求的取值范围．
22. 本小题分
已知曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
若直线与曲线相交于，两点，求，两点间的距离．
23. 本小题分
已知函数．
求不等式的解集；
若的最小值为，求的最小值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：因为，集合，，
所以，
则．
故选：．
由已知结合集合补集及并集运算即可求解．
本题主要考查了集合补集及并集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：复数对应的点的坐标是，
则，
故．
故选：．
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及共轭复数的定义，即可求解．
本题主要考查共轭复数的定义，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：向量，，，，
，，
则．
故选：．
由题意，利用两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，计算求出值．
本题主要考查两个向量共线的性质，两个向量的数量积公式，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：记第一次投中为事件，第二次投中为事件，
由题意得，，，
则该同学在投中一次后，随后一次也投中的概率是．
故选：．
根据条件概率公式计算即可．
本题考查条件概率公式，是中档题．
5.【答案】
【解析】解：设等比数列的公比为，则
，解得，，
所以．
故选：．
根据条件，求首项和公比，再代入等比数列的通项公式，即可求解．
本题主要考查等比数列的性质，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：当从门课中选修门，门体育类选修课和门艺术类选修课，
若体育类选修课门，则不同的选课方案共有种；
若体育类选修课门，则不同的选课方案共有种；
综上所述：不同的选课方案共有种．
故选：．
对选修门分类讨论再讨论具体选修课的分配，结合组合数运算求解．
本题主要考查了排列组合知识，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：如图所示，因为点到直线的距离，
点到直线的距离．
由方程可知，是抛物线的准线，
又抛物线上点到准线的距离和到焦点的距离相等，
故．
故选：．
本题只需将点到的距离，转化为到准线的距离，再根据抛物线定义即可求得．
本题考查了抛物线定义的应用，属简单题．
8.【答案】
【解析】解：由，可得；由，可得；
则“”是“”的充分不必要条件．
故选：．
先分别化简“”和“”，进而得到二者间的逻辑关系．
本题充分条件与必要条件的定义，属于基础题．
9.【答案】
【解析】解：对于选项A：设，，，的平均数为，，，，的平均数为，
则，
因为没有确定，的大小关系，所以无法判断，的大小，
例如：，，，，，，可得；
例如，，，，，，可得，，；
例如，，，，，，可得，；故A错误；
对于选项C：因为是最小值，是最大值，
则，，，的波动性不大于，，，的波动性，即，，，的标准差不大于，，，的标准差，
例如：，，，，，，则平均数，
标准差，
，，，，则平均数，
标准差，
显然，即；故C错误；
对于选项B：不妨设，
可知，，，的中位数等于，，，的中位数均为，故B正确；
对于选项D：不妨设，
则，当且仅当，时，等号成立，故D错误．
故选：．
根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断．
本题考查平均数、中位数、标准差、极差的计算，是中档题．
10.【答案】
【解析】解：该圆台形盆的中截面半径为，
盆中水的体积为，
盆口面积为，
则这次降雨量为．
故选：．
先求得盆中水的体积和盆口面积，进而求得这次降雨量的值．
本题主要考查了圆台的结构特征，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：由题可知，该几何体为正四棱锥，
对，可假设与共面，由图可知，点不在平面中，故矛盾，A正确；
对，因，为，中点，故EF，又四边形为正方形，所以，故EF，，，，四点共面，错；
对，由的证明可知，，又平面，故直线平面，C正确；
对，同理由的证明可知，，又平面，故直线平面，D正确；
故选：．
可将展开图还原成几何体，再由位置关系进一步确定线线与线面关系即可．
本题考査正四棱锥的特征，异面直线的判断，线面平行的判定，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：令，，则，
当时，，在上单调递增；
当时，，在上单调递减，
，即，则，即；
令，，则，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减，
，即，
．
故选：．
由题意构造函数，对求导，得出的单调性，可知，则，同理构造函数，可得，即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，考查转化思想和函数思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
13.【答案】
【解析】解：因为，所以，
所以．
故答案为：．
根据下标和性质求出，再根据等差数列求和公式计算可得．
本题主要考查了等差数列的前项和公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为是偶函数，
所以，
所以，
即恒成立，
解得．
故答案为：．
由的奇偶性可得，代入函数解析式列出等式求解，即可求得．
本题主要偶函数定义的应用，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：，
则，
若在区间上只有一个极值点，
则在上只有一个异号零点，
即方程在上只有一个根，
所以在上只有一个解，
记，，
作出函数的图象，
由数形结合知，若使函数与在上只有一个交点，
只需，则，
所以实数的最小值为．
故答案为：．
求导函数，在区间上只有一个极值点等价于在只有一个异号零点，分离参数，由数形结合求得最值．
本题主要考查导数的应用，考查转化思想，是中档题．
16.【答案】
【解析】解：由，得，，渐近线方程为，
所以，
所以，，
由双曲线的对称性，点到两渐近线的距离相等，
不妨取渐近线，则，
在直角中，，
过作轴于，则，
所以，
所以或，
所以直线的斜率为或，
故答案为：；．
先根据双曲线的方程求出，，和渐近线方程，然后利用点到直线的距离公式可求出，过作轴于，可求出点的坐标，从而可求出直线的斜率．
本题主要考查双曲线的性质，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】解：因为中，，
所以由正弦定理可得：，
因为，所以，可得，
因为，所以．
因为，，，
所以，即，所以，
所以．
【解析】利用正弦定理，把边化为角，进行化简，得到，从而可得的大小；
利用第一问和余弦定理，可求得的值，再由面积公式求出的面积．
本题考查了正余弦定理，三角形面积等问题，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：由题意得完成的列联表如下：
不太了解 比较了解 总计
男性
女性
总计
，
有的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关．
由题意可知，抽到的女性有人，抽到的男性有人，
可取的值为，，，
，，．
的分布列为：
．
【解析】完善列联表，计算，结合临界值表可得结论；
根据分层抽样可知，男性抽人，女性抽人，所以的可能取值有，，，再计算的各个取值的概率即可得分布列，由期望公式可得期望．
本题主要考查离散型随机变量期望的求解，考查转化能力，属于中档题．
19.【答案】解：Ⅰ证明：在长方体中，，，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，
则，，，，
，，
，．
Ⅱ，，，，，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设直线与平面所成角为，
则直线与平面所成角的正弦值为：
．
【解析】Ⅰ以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明．
Ⅱ求出平面的法向量，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．
本题考查线面垂直、线线垂直的判定与性质、线面角的正弦值的求法等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20.【答案】解：已知椭圆的左，右焦点分别为，，为上一点且在第一象限，为等腰三角形，且，
由题意可知，，，
所以，得，
即的离心率为；
的周长为，即，又，所以得，，
所以，所以椭圆方程，
设，则在中，，
所以，
得边的高为，
所以，得，
代入椭圆方程得，得，所以．
【解析】本题考查了椭圆的性质，椭圆中的焦点三角形问题，属于中档题．
根据焦点三角形各边的关系与，间的关系求解即可；
结合根据椭圆的定义可得椭圆方程，再根据等面积法求得的纵坐标，代入椭圆方程即可求得．
21.【答案】解：Ⅰ当时，，
当时，；当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以；
Ⅱ由，得，易知在上单调递减．
由可知，当时，，符合题意；
当时，，所以存在，使得，
故当时，，单调递减，
所以，不符题意，舍去；
当时，，所以存在，使得，
故当时，，单调递减，，
令，则，
故在上单调递减，所以，故，符合题意．
综上所述，的取值范围是．
【解析】Ⅰ当时，，利用单调性即可求的最大值；
Ⅱ由，得，易知在上单调递减，分，和三种情况，利用单调性即可求解．
本题考查了导数的综合应用，属于中档题．
22.【答案】解：由于曲线的参数方程为为参数，
则消去参数，可得；
由于直线的极坐标方程为，且，，
则直线的直角坐标方程为；
由可知，圆的圆心为，半径为，
则圆心到直线的距离为，
则由垂径定理可得，．
【解析】消去参数可得曲线的普通方程，由，，可得直线的直角坐标方程；
先求出圆心到直线的距离，再由垂径定理可得解．
本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
23.【答案】解：，即，
当时，不等式，可化为，解得；
当时，不等式，可化为，即，恒成立；
当时，不等式，可化为，解得；
综上，不等式的解集为；
，当且仅当时等号成立，
所以，
所以，当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为．
【解析】分，以及讨论即可得解；
由绝对值不等式的性质可得，再由基本不等式即可得解．
本题考查绝对值不等式的解法以及基本不等式的运用，考查分类讨论思想以及运算求解能力，属于基础题．
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