3.4函数的应用（一） 课件（共24张PPT）

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2023 / 07
第 3 章 函数的概念与性质
人教A版2019必修第一册
3.4 函数的应用（一）
01.
常见函数模型
03.
分段函数、幂函数应用
02.
一次、二次函数模型应用
目录
学习目标
1.会利用已知函数模型一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型解决实际问题.
2.能建立函数模型解决实际问题.
3.了解拟合函数模型并解决实际问题.
Topic. 01
01 复习导入
导入
（1）一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
（2）反比例函数模型：f(x)=(,为常数，)
（3）二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
（4）幂函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠1);
（5）分段函数模型:这个模型实则是以上两种或多种模型的综合,因此应用也十分广泛.
1．常见的数学模型有哪些
导入
2.不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律:
(1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律;
(2)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
因此,需抓住题中蕴含的数学信息,恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
第一步:分析、联想、转化、抽象;
第二步:建立函数模型,把实际应用问题转化为数学问题;
第三步:解答数学问题,求得结果;
第四步:把数学结果转译成具体问题的结论,做出解答.
而这四步中,关键的是把第二步处理好.只要把函数模型建立妥当,所有的问题即可在此基础上迎刃而解.
导入
3.解答函数实际应用问题时,一般要分哪几步进行
Topic. 02
02 一次、二次函数模型应用
函数的应用
1.一家庭(父亲、母亲和孩子们)去某地旅游,甲旅行社说:“如果父亲买全票一张,其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说:“家庭旅行为集体票,按原价的三分之二优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数,分别建立表达式,计算两家旅行社的收费,并讨论哪家旅行社更优惠.
分析：　设家庭中孩子数为x(x≥1,x∈N*),旅游收费为y,旅游原价为a,分别求出甲旅行社和乙旅行社的收费,二者作差比较即可解决.
函数的应用
函数的应用
2.某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒(　　)
A.2 000套 B.3 000套 C.4 000套 D.5 000套
因利润z=12x-(6x+30 000),
所以z=6x-30 000,由z≥0解得x≥5 000,故至少日生产文具盒5 000套
D
函数的应用
3.某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱.
（1）求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
（2）求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式;
（3）当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润 最大利润是多少
函数的应用
（1）根据题意,得y=90-3(x-50),∴y=-3x+240(50≤x≤55,x∈N).
（2）∵该批发商平均每天的销售利润=平均每天的销售量x每箱销售利润.
∴w=(x-40)(-3x+240)=-3x2+360x-9 600(50≤x≤55,x∈N).
（3）∵w=-3x2+360x-9 600=-3(x-60)2+1 200,二次函数开口向下且对称轴x=60
∴当x<60时,w随x的增大而增大.
又50≤x≤55,x∈N,∴当x=55时,w有最大值,最大值为1125.
∴当每箱苹果的售价为55元时,可以获得最大利润,且最大利润为1125元.
函数的应用
1.一次函数模型的应用
利用一次函数求最值,常转化为求解不等式ax+b≥0(或≤0).解答时,注意系数a的正负,也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
2.二次函数模型的应用
构建二次函数模型解决最优问题时,可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论函数的单调性等方法求最值,也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间之间的位置关系讨论求解,但一定要注意自变量的取值范围.
一、二次函数模型应用
Topic. 03
03 分段函数、幂函数模型应用
函数的应用
1.一辆汽车在某段路程中的行驶速度与时间的关系如图所示．
(1)求图中阴影部分的面积，关说明所求面积的实际含义；
(2)假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004km，试建立汽车行驶这段路程时汽车里程表读数 s与时间t的函数解析式，并作出相应的图象．
函数的应用
（1）阴影部分的面积为：
50×1+80×1+90×1+75×1+65×1=360
这个面积表示的含义是汽车在这5小时内行驶的路程为360km.
(2)由题意，根据图表有：

s=
函数的应用
1.分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏.
2.分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集.
3.分段函数的值域求法:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论.
分段函数解题方法
函数的应用
2.一辆汽车在某段路程中的行驶速度 与时间 的关系图象如图所示，则当 时，汽车已行驶的路程为( ).
C
当 时，汽车行驶的路程 .
A. B. C. D.
函数的应用
3.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为________万元.
　由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3.所以当x＝5时，y＝125.
125
函数的应用
(1)给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式.
(2)根据题意直接列出相应的函数关系式.
幂函数应用的常见题型
Topic. 04
04 课堂小结
课堂小结
总结：
1.常见函数模型。
2.一次、二次函数模型应用
3.分段函数、幂函数模型应用
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2023/ 07
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