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第21章《一元二次方程》
分层练习
考查题型一 一元二次方程的定义
1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．（2020秋·广东中山·九年级中山市华侨中学校考期中）要使方程是关于的一元二次方程，则（ ）
A． B．
C．且 D．且且
考查题型二 一元二次方程的一般形式
1．（2018秋·广东清远·九年级统考期末）一元二次方程的一次项是（ ）
A． B． C．3 D．
2．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程化成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
3．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）把一元二次方程化为一般形式后，它的常数项为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
考查题型三 一元二次方程的解
1．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
2．（2023春·安徽阜阳·九年级阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
3．（2023·广东珠海·校考三模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2022 C．2023 D．2024
4．（2023·福建南平·校联考模拟预测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考查题型四 解一元二次方程
1．（2023秋·新疆·九年级校考期末）解方程
(1)
(2)
2．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：．
3．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2).
4．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
考查题型五 一元二次方程的根与系数的关系
1．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
2．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
3．（2023春·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考阶段练习）实数k使关于x的方程有两个实数根,．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值；
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，设方程的根为，，求代数式 的值．
考查题型六 一元二次方程与实际问题
1．（2023·广东阳江·统考一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？
2．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
3．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．
(1)当售价小于25元时，试求出第二天起每天的销售量y（个）与每个售价x（元）之间的函数关系式；
(2)如果前两天共获利525元，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？
4．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
1．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动．问：
(1)P、Q两点从出发开始几秒时，四边形的面积为？
(2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米？
(3)P，Q两点间距离何时最小？
2．（2022秋·辽宁朝阳·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
3．（2023秋·内蒙古包头·九年级统考期末）中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空______， ______（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
4．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿． 边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？
(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．
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第21章《一元二次方程》
分层练习
考查题型一 一元二次方程的定义
1．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程，逐一判断即可解答
【详解】解：不是方程，故A不符合题意；
中，当时，方程不是一元二次方程，故B不符合题意；
化简后为，是一元二次方程，故C符合题意；
为二元二次方程，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟知定义是解题的关键．
2．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中属于一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程的定义：含有一个未知数，且未知数的最高次数为2次的整式方程，逐个判断即可得到答案．
【详解】解：A、含有两个未知数，不符合一元二次方程定义，不符合题意；
B、未知数的最高次数为3次，不符合一元二次方程定义，不符合题意；
C、不是整式方程，不符合一元二次方程定义，不符合题意；
D、符合一元二次方程定义，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程的识别，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键．
3．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）下列方程中，①，②，③，④，⑤，一元二次方程的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的定义解答．
【详解】解：①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
②当时不是一元二次方程；
③去括号化简后可得：，不是一元二次方程；
④分母里含有未知数，为分式方程，不是一元二次方程；
⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；
故选B．
【点睛】本题考查一元二次方程的基础知识，熟练掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程是解题关键．
4．（2020秋·广东中山·九年级中山市华侨中学校考期中）要使方程是关于的一元二次方程，则（ ）
A． B．
C．且 D．且且
【答案】B
【分析】利用一元二次方程定义可得，再解不等式即可．
【详解】解：根据一元二次方程的定义中二次项系数不为0得，，
解得．
故选：B．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
考查题型二 一元二次方程的一般形式
1．（2018秋·广东清远·九年级统考期末）一元二次方程的一次项是（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的一般形式判断即可．
【详解】一元二次方程的一次项是
故选：B．
【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式：，其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项，熟练掌握一元二次方程的一般形式是解题关键．
2．（2023·广东东莞·东莞市东华初级中学校考模拟预测）将方程化成的形式，则，，的值分别为（ ）
A．，， B．，， C．，， D．，，
【答案】C
【分析】将原方程化为一般形式，进而可得出，，的值．
【详解】解：将原方程化为一般形式得：，
∴，，．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，牢记“一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式，这种形式叫一元二次方程的一般形式”是解题的关键．
3．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）把一元二次方程化为一般形式后，它的常数项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元二次方程的一般式及定义，即可求解．
【详解】解：转化为一般式得，，
∴常数项为，
故选：．
【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，掌握一元二次方程的定义和形式是解题的关键．
4．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级乌市八中校考期中）一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
【答案】A
【分析】本题考查的是一元二次方程的一般形式有关知识．根据一元二次方程的一般形式：是常数且中，叫二次项，叫一次项，是常数项，其中，，分别叫二次项系数，一次项系数，常数项，直接进行判断即可．
【详解】解：一元二次方程，
则该方程的二次项系数为，一次项系数为，常数项为．
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．
考查题型三 一元二次方程的解
1．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）若m是一元二次方程的一个实数根，则的值是（ ）
A．2018 B．2019 C．2020 D．2021
【答案】C
【分析】先将m代入方程中得到，再代入所求式子中求解即可．
【详解】解：∵m是一元二次方程的一个实数根，
∴，则，
∴
，
故选：C．
【点睛】本题考查一元二次方程的解、代数式求值，理解方程的解满足方程是解答的关键．
2．（2023春·安徽阜阳·九年级阶段练习）若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】利用一元二次方程根的定义，确定出的值即可．
【详解】解：∵关于的一元二次方程的一个根为，
∴且，
解得：．
故选：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程的定义，一元二次方程的一般形式为为常数且，理解一元二次方程的定义是解题的关键．
3．（2023·广东珠海·校考三模）如果关于的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B．2022 C．2023 D．2024
【答案】D
【分析】由题意知，，则，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值．解题的关键在于对知识的熟练掌握．
4．（2023·福建南平·校联考模拟预测）若关于x的一元二次方程的一个根是，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据方程解的定义，把代入方程求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是，
∴，
解得：．
故选：D．
【点睛】本题考查一元二次方程解的定义．掌握一元二次方程解的定义是解题的关键．
考查题型四 解一元二次方程
1．（2023秋·新疆·九年级校考期末）解方程
(1)
(2)
【答案】(1)，
(2)，
【分析】（1）运用因式分解法求解；
（2）运用因式分解法求解．
【详解】（1）解：
或
，
（2）解：
或
，
【点睛】本题考查一元二次方程的求解，熟悉运用因式分解是解题的关键．
2．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）（1）用配方法解方程：；
（2）用公式法解方程：．
【答案】（1），（2），
【分析】（1）利用配方法解方程即可；
（2）利用公式法解方程即可．
【详解】解：（1），
，
，
，
得，
解得或；
（2），
变形得，
其中，，，，
，
，．
【点睛】本题考查了用配方法解一元二次方程，用公式法解一元二次方程，熟知计算法则是解题的关键．
3．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2).
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）运用配方法求解即可；
（2）运用因式分解法求解即可.
【详解】（1）∵，
∴，即，
∴，
则，；
（2）∵，
∴，
∴，
则或，
解得
【点睛】此题是一元二次方程的解法，掌握解一元二次方程的几种解法是解本题的关键，灵活选用方法是解本题的难点．
4．（2023春·黑龙江大庆·九年级校考期末）解下列方程：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据配方法解一元二次方程即可求解；
（2）根据因式分解法解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：．
移项得：，
配方得：，
即，
开方得： ，
∴原方程的解是：．
（2）．
因式分解得，
∴或，
∴．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
考查题型五 一元二次方程的根与系数的关系
1．（2023·四川南充·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程
(1)求证：无论m为何值，方程总有实数根；
(2)若，是方程的两个实数根，且，求m的值．
【答案】(1)见解析
(2)或．
【分析】（1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，整体代入得到求解即可得到答案．
【详解】（1）证明：关于的一元二次方程，
∴，，，
∴，
∵，即，
∴不论为何值，方程总有实数根；
（2）解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∵，
∴，
∴，整理，得，解得，，
∴m的值为或．
【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键．
2．（2023·湖北·统考中考真题）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根；
(2)设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)的值为1或
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解．
【详解】（1）证明：∵，
∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根．
（2）解：∵的两个实数根为，
∴．
∵，
∴，．
∴．
即．
解得或．
∴的值为1或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键．
3．（2023春·江西宜春·九年级江西省宜丰中学校考阶段练习）实数k使关于x的方程有两个实数根,．
(1)求k的取值范围；
(2)若，求k的值；
【答案】(1)k的取值范围为
(2)k的值为1或
【分析】（1）先把方程化为一般式，再根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可；
（2）根据根与系数的关系得，，再把变形为，则，接着解关于k的方程，然后利用k的取值范围确定k的值即可．
【详解】（1）解：方程化为一般式为，
根据题意得，解得，
即k的取值范围为；
（2）解：根据根与系数的关系得，，
∵，
∴，
∴，
∴，整理得，
解得，，
∵，
∴k的值为0或．
【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程，解答关键是熟练掌握根的情况与根的判别式的关系以及熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，．
4．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）已知关于的一元二次方程有实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)当时，设方程的根为，，求代数式 的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意可得一元二次方程根判别式，解不等式即可求解；
（2）当时，方程为，根据一元二次方程根的定义，以及一元二次方程根与系数的关系式得出，，，，代入代数式，进而即可求解．
【详解】（1）解：关于的一元二次方程有实数根，
，即，
整理得：，
解得：．
故实数的取值范围是：；
（2）当时，方程为，
该方程的两个实数根分别为，，
，，，，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根的定义，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键．
考查题型六 一元二次方程与实际问题
1．（2023·广东阳江·统考一模）自年月以来，甲流便肆虐横行，成为当前主流流行疾病．某一小区有位住户不小心感染了甲流，由于甲流传播感染非常快，小区经过两轮传染后共有人患了甲流．
(1)每轮感染中平均一个人传染几人？
(2)如果按照这样的传播速度，经过三轮传染后累计是否超过人患了甲流？
【答案】(1)人
(2)不超过
【分析】（1）设每轮感染中平均一个人传染人，根据题意列方程解方程即可；
（2）根据（1）可知每轮感染中平均一个人传染人，进而得到三轮后患病总人数为即可解答．
【详解】（1）解：设每轮感染中平均一个人传染人．
根据题意得，
解得，或，
∵，
∴，
答：每轮感染中平均一个人传染人；
（2）解：根据题意可得：
第三轮的患病人数为，
∵，
∴经过三轮传染后累计患甲流的人数不会超过人，
答：经过三轮传染后累计患甲流的人数不超过人；
【点睛】本题考查了一元二次方程与实际问题，读懂题意明确数量关系是解题的关键．
2．（2023·湖南郴州·统考中考真题）随旅游旺季的到来，某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为1.6万人，4月份游客人数为2.5万人．
(1)求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率；
(2)预计5月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区5月1日至5月21日已接待游客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？
【答案】(1)这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为
(2)5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人
【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，根据题意，列出不等式进行计算即可．
【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，由题意，得：
，
解得：（负值已舍掉）；
答：这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为；
（2）设5月份后10天日均接待游客人数是y万人，由题意，得：
，
解得：；
∴5月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人．
【点睛】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键．
3．（2022秋·广东佛山·九年级校联考阶段练习）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”意喻敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．
(1)当售价小于25元时，试求出第二天起每天的销售量y（个）与每个售价x（元）之间的函数关系式；
(2)如果前两天共获利525元，则第二天每个“冰墩墩”的销售价格为多少元？
【答案】(1)
(2)第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元
【分析】（1）利用第二天起每天的销售量每个降低的价格，即可解答；
（2）利用总利润每个销售利润销售数量，结合前两天共获利525元，即可列一元二次方程，解之即可．
【详解】（1）解：由题意可得，
第二天起每天的销售量y（个）与每个售价x（元）之间的函数关系式为；
（2）解：由题意可得，
整理得，
解得，，
当时，不符合题中让更多的消费者拥有“冰墩墩”降价的主旨，
，
答：第二天每个“冰墩墩”的销售价格为20元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系．
4．（2023·山东东营·统考中考真题）如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．
(1)当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？
(2)羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈；
(2)不能，理由见解析．
【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解；
（2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解．
【详解】（1）解：设矩形的边，则边．
根据题意，得．
化简，得．
解得，．
当时，；
当时，．
答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈．
（2）解：不能，理由如下：
由题意，得．
化简，得．
∵，
∴一元二次方程没有实数根．
∴羊圈的面积不能达到．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程，解一元二次方程是解题的关键．
1．（2022秋·陕西西安·九年级校考期中）如图，已知A、B、C、D为矩形的四个顶点，，，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以的速度向点B移动，一直到点B为止，点Q以的速度向点D移动．问：
(1)P、Q两点从出发开始几秒时，四边形的面积为？
(2)几秒时点P点Q间的距离是10厘米？
(3)P，Q两点间距离何时最小？
【答案】(1)5秒
(2)秒或秒
(3)秒
【分析】（1）表示出和，利 用梯形的面积公式结合四边形的面积为，即可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）过作于，如果设出发秒后，厘米．那么可根据路程速度时间，用未知数表示出、的值，然后在直角三角形中，求出未知数的值．
（3）在直角三角形中，为0时，就最小，那么可根据这个条件和（1）中用勾股定理得出的的式子，令，得出此时时间的值．
【详解】（1）解：当运动时间为t秒时，，，
依题意，得：，
解得：．
答：P，Q两点从出发开始到5秒时，四边形的面积为．
（2）设出发秒后、两点间的距离是10厘米．
则，．
作于，
则，
，
解得：或，
∴、出发或秒时，，间的距离是10厘米；
（3），
当时，即时，最小．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，本题结合几何知识并根据题意列出方程，然后求解．
2．（2022秋·辽宁朝阳·九年级统考期中）如图，在矩形中，，，动点P、Q分别以，的速度从点A，C同时出发，沿规定路线移动．
(1)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，问经过多长时间P，Q两点之间的距离是？
(2)若点P沿着移动，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间的面积为？
【答案】(1)或；
(2)4秒或6秒．
【分析】（1）过点P作于E，构造直角三角形，利用勾股定理即可求得；
（2）根据点P的三个位置进行分类讨论，表示出的底和高，代入面积公式即可求得；
【详解】（1）解：过点P作于E，
设x秒后，点P和点Q的距离是．
，
∴， ；
∴经过或，P、Q两点之间的距离是；
（2）解：连接．设经过后△PBQ的面积为．
①当时，，
∴，即，
解得；
②当时，，
则，
解得（舍去）；
③时，，
则，
解得（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒，的面积为．
【点睛】本题考查了动点问题，相关知识点有：勾股定理求长度，解一元二次方程等知识点，分类讨论是本题的解题关键．
3．（2023秋·内蒙古包头·九年级统考期末）中，，点P从点A开始沿边向终点B以1的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以2的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒．
(1)填空______， ______（用含t的代数式表示）；
(2)当t为何值时，的长度等于？
(3)是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或时，的长度等于
(3)存在，
【分析】（1）根据路程速度时间即可得出，然后用就可得出的值；
（2）运用勾股定理可得：，代入（1）中数据计算即可；
（3）根据三角形面积计算公式可得：，代入数据计算即可．
【详解】（1）解：由题意得，
，，
，
故答案为：；
（2），
∴是直角三角形，
根据勾股定理得：，
即：，
解得：，，
或时，的长度等于；
（3）由题意得：，
即，
解得：，，
当点Q运动到点C时，两点停止运动，
即，
解得，
时，的面积等于．
【点睛】本题考查了三角形的动点问题，考查了列代数式，一元二次方程的解法，勾股定理的应用，三角形面积公式的运用，在解答时要注意所求的实际问题有意义．
4．（2022秋·江苏连云港·九年级校考阶段练习）已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿． 边向点C以的速度移动．当P、Q两点中有一点到达终点，则同时停止运动．
(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？
(2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？
(3)如果P，Q分别从A，B同时出发，在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1秒后的面积等于；
(2)3秒后，的长度为；
(3)不存在，理由见解析
【分析】（1）经过x秒钟，的面积等于，根据点P从A点开始沿边向点B以的速度移动，点Q从B点开始沿边向点C以的速度移动，表示出和的长可列方程求解；
（2）利用勾股定理列出方程求解即可；
（3）设运动时间为秒，则， ，，再由勾股定理列方程求解即可．
【详解】（1）解：设经过x秒以后，面积为，此时， ， ，
由，得，
整理得：，
解得：或（舍）；
答：1秒后面积为；
（2）解：设经过x秒后，的长度等于，
由，
即，
解得：（舍去）或．
则3秒后，的长度为；
（3）解：设运动时间为秒，以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q时，则
， ，，
由勾股定理，得，
整理，得，
∵，
∴方程无实数解，
∴不存在．
【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理的应用，由勾股定理列方程求解是解决问题的关键．
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