2024届新高三开学摸底考试全国卷
理科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若，，则（ ）
A． B． C．2 D．10
3．已知函数，则（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．足球运动是深受人们喜爱的一项体育运动，某次传球训练中，教练员让甲、乙、丙、丁4名球员进行传接球训练，从甲开始传球，等可能地传给另外3人中的1人，接球者再等可能地传给另外3人中的1人，如此一直进行.假设每个球都能被接住，若第4次传球后，球又恰好回到甲脚下，则不同的传球方法为（ ）
A．18种 B．21种 C．27种 D．45种
5．“埃拉托塞尼筛法”是保证能够挑选全部素数的一种古老的方法.这种方法是依次写出2和2以上的自然数，留下第一个数2不动，剔除掉所有2的倍数；接着，在剩余的数中2后面的一个数3不动，剔除掉所有3的倍数；接下来，再在剩余的数中对3后面的一个数5作同样处理；……，依次进行同样的剔除.剔除到最后，剩下的便全是素数.
在利用“埃拉托塞尼筛法”挑选2到20的全部素数过程中剔除的所有数的和为（ ）
A．130 B．132 C．134 D．141
6．已知函数的最小正周期为T，且，若的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
7．在三角形中，和分别是边上的高和中线，则（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
8．平行四边形中，点在边上，，记，则（ ）
A． B．
C． D．
9．贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的4倍，若几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的高之比分别为，则几何体Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的体积之比为（ ）
A． B． C． D．
10．已知过双曲线：的右焦点作轴的垂线与两条渐近线交于，，的面积为，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
11．已知直线上的两点，且，点为圆上任一点，则的面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知是函数的导函数，对于任意的都有，且，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某机器生产的产品质量误差是的第60个百分位数，则__________.
附：若，则，
14．设，，若，则取最小值时a的值为______．
15．设抛物线：（）焦点为，准线为，过第一象限内的抛物线上一点作 的垂线，垂足为．设，与相交于．若，且的面积为，则抛物线的方程为________________.
16．如图，在三棱锥中，，若该三棱锥的外接球表面积为，则锐二面角的平面角的正切值为__________.
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
17．已知数列和满足．
(1)证明：和都是等比数列；
(2)求的前项和．
18．如图，四边形为菱形，平面，，.
(1)证明：平面平面 ；
(2)若，求二面角的大小.
19．某购物中心准备进行扩大规模，在制定末来发展策略时，对中心的现有顾客满意度进行了一个初步的现场调查，分别调查顾客对购物中心的商品质量、服务质量、购物环境、广告宣传的满意程度．调查时将对被抽中的每个顾客从这四个问题中随机抽取两个问题来提问，统计顾客的满意情况．假设，有三名顾客被抽到，且这三名顾客对这四个问题的满意情况如下表：
商品质量 服务质量 购物环境 广告宣传
顾客甲 满意 不满意 满意 不满意
顾客乙 不满意 满意 满意 满意
顾客丙 满意 满意 满意 不满意
每得到一个满意加10分，最终以总得分作为制定发展策略的参考依据．
(1)求购物中心得分为50分的概率；
(2)若已知购物中心得分为50分，则顾客丙投出一个不满意的概率为多少？
(3)列出该购物中心得到满意的个数X的分布列，并求得分的数学期望．
20．已知椭圆C：的左、右顶点分别为，，右焦点为，O为坐标原点，OB的中点为D（D在的左方），．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)设过点D且斜率不为0的直线与椭圆C交于M，N两点，设直线AM，AN的斜率分别是，，试问是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由．
21．已知函数.
(1)若，求在点处的切线方程；
(2)若是的两个极值点，证明：.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，以极点为坐标原点，极轴为轴正半轴，建立直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）.
(1)写出的直角坐标方程和的普通方程；
(2)已知点，与相交于，两点，求的值.
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数.
(1)求的最小值；
(2)若为正实数，且，证明不等式.2024届新高三开学摸底考试全国卷
理科数学·参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B A D B B A C D D A A D
13．
14．/0.75
15．
16．/
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）因为，，
所以，，
又由，得，，
所以数列是首项为，公比为的等比数列，
数列是首项为，公比为的等比数列．
（2）由（1）得，，
所以，，
所以，
所以．
18．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）设BD交AC于点O，连接EO，FO，
因为四边形ABCD为菱形，所以.
因为ED平面ABCD,AC平面ABCD，所以.
又，平面BDEF，所以平面BDEF；
又平面BDEF，所以.
设FB=1，由题意得ED=2，.
因为FB//ED，且面，则FB平面ABCD，
而平面ABCD，故，，
所以，，.
因为，所以.
因为，平面ACF，所以EO平面ACF.
又EO平面EAC，所以平面EAC平面FAC.
（2）取EF中点G，连接OG，所以OG//ED，OG底面ABCD.
以O为原点，以分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
因为，由（1）中所设知，，
所以，,
所以.
所以，，，
设平面FAE的一个法向量为，
则，
所以；
平面AEC的一个法向量为，
则，
所以；
所以，
由图形可知二面角的平面角为锐角，
所以二面角的大小为.
19．(1)
(2)
(3)分布列见解析，40
【详解】（1）将得分为50分记为事件A；得分为50分即在六个问题的结果中，有五个满意，一个不满意，
可能的结果共有：（种）
三名顾客产生的反馈结果总共有：（种）
则，∴购物中心得分为50分的概率为
（2）将顾客丙投出一个不满意记为事件B，则
，，
（3）可能的取值为2、3、4、5、6
，
，
2 3 4 5 6
∵，∴．
20．(1)
(2)是定值，定值为.
【详解】（1）依题意，，，，，
所以，
所以椭圆C的标准方程为：.
（2）设过点D且斜率不为0的直线方程为，
联立，消去并整理得，
，
设，，
则，，
所以
.
所以为定值.
21．(1)；
(2)证明见解析
【详解】（1）当时，，则，
所以，，
所以在点处的切线方程为，
即
（2）证明：由，可知，
因为（）是的极值点，
所以方程的两个不等的正实数根，
所以，，
则
．
要证成立，
只需证，即证，
即证，即证，
设，则，即证，
令，
则，
所以在上单调递减，则，
所以，故．
22．(1)曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为；
(2).
【详解】（1）曲线的极坐标方程为，即，
则曲线的直角坐标方程为，
把参数方程平方相加得曲线的普通方程为.
（2）易知点在直线上，且该直线的斜率为，倾斜角为，
则曲线的参数方程为（为参数），
联立曲线的参数方程与曲线的普通方程得，
设点，在直线上对应的参数分别为，，
由韦达定理可得，，
.
23．(1)
(2)证明见解析
【详解】（1）由题知，
其函数图象如图所示，
所以，.
（2）由（1）可知，则，
解法一：利用基本不等式：
，
当且仅当时取等号.
所以，.
解法二：利用柯西不等式：，
当且仅当时取等号.
所以，.
