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22.1.1《二次函数》
分层练习
考查题型一 二次函数的定义
1．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）下列函数中是二次函数的是( )
A． B． C． D．
2．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数的一次项系数是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
4．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）二次函数的常数项是（ ）
A．1 B．2 C． D．0
考查题型二 列二次函数关系式
1．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
2．（2022秋·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为 ．（结果保留）
3．（2021秋·贵州黔西·九年级校考期末）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为 ．
4．（2022秋·山东德州·九年级校考阶段练习）在实数范围内定义一种运算“※”，其运算法则为※=，根据这个法则，若※，则 （写成一般式）．
考查题型三 根据二次函数的定义求参数
1．（2023秋·河南开封·九年级统考期末）已知函数是二次函数，则 ．
2．（2022秋·广西梧州·九年级校考期中）若函数是关于x的二次函数，则m满足条件是 ．
3．（2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）关于的函数是二次函数，则 ．
4．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级校考期末）如果函数是二次函数，那么的值为 ．
考查题型四 利用二次函数求代数式的值
1．（2023·四川南充·统考一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
2．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ．
3．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
4．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）点是二次函数图像上一点，则的值为
1．已知 是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
2．（2021秋·安徽宣城·九年级校考期中）抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求：
（1）A，B两点的坐标；
（2）抛物线的解析式．
3．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横 纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．
(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．
4．已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
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22.1.1《二次函数》
分层练习
考查题型一 二次函数的定义
1．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）下列函数中是二次函数的是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】整理成一般形式后，根据二次函数的定义判定即可．
【详解】解：A选项：是一次函数，故此选项错误；
B选项：，是二次函数，故此选项正确；
C选项：，为一次函数，故此选项错误；
D选项：是组合函数，不是二次函数，故此选项错误．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义：函数（，a、b、c为常数）叫二次函数．
2．（2023秋·安徽池州·九年级统考期末）下列函数中，是二次函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义逐项分析即可．
【详解】A．是一次函数，故不符合题意；
B．是二次函数，故符合题意；
C．是一次函数，故不符合题意；
D．是反比例函数，故不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（a，b，c为常数，）的函数叫做二次函数．
3．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）二次函数的一次项系数是（ ）
A．2 B．3 C． D．4
【答案】C
【分析】先确定二次函数的一次项，再确定一次项系数即可．
【详解】解：二次函数的一次项为，所以一次项系数为．
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数的各项系数，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项，在确定各项系数时，系数前面的符号是关键．
4．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）二次函数的常数项是（ ）
A．1 B．2 C． D．0
【答案】A
【分析】根据二次函数定义：是二次项；是一次项；是常数项，从而得到答案．
【详解】解：根据二次函数定义可知，二次函数的常数项是，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数定义，熟记二次函数定义：是二次项；是一次项；是常数项是解决问题的关键．
考查题型二 列二次函数关系式
1．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期中）已知有n个球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次数为m，则m关于n的函数解析式为 ．
【答案】
【分析】根据n个球队都要与除自己之外的球队个打一场，因此要打场，然而有重复一半的场次，即可求出函数关系式．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了函数关系式，理解题意是解题的关键．
2．（2022秋·广东江门·九年级台山市新宁中学校考期中）水中涟漪（圆形水波）不断扩大，记它的半径为，则圆面积与的函数关系为 ．（结果保留）
【答案】
【分析】根据圆的面积公式即可求解．
【详解】解：依题意，圆面积与的函数关系为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了列二次函数关系式，掌握圆的面积公式是解题的关键．
3．（2021秋·贵州黔西·九年级校考期末）某商店从厂家以每件元的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品的售价为元，则可卖出件，那么卖出商品所赚钱元与售价元之间的函数关系为 ．
【答案】
【分析】由题意分析出每件商品的盈利为：元，再根据：总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量，再化简即可.
【详解】解：由题意得：每件商品的盈利为：元，
所以：
故答案为：
【点睛】本题考查的是列二次函数关系式，掌握“总利润等于每件商品的利润乘以销售的数量”是解题的关键.
4．（2022秋·山东德州·九年级校考阶段练习）在实数范围内定义一种运算“※”，其运算法则为※=，根据这个法则，若※，则 （写成一般式）．
【答案】
【分析】先根据新定义列出关系式，然后改写成一般式即可．
【详解】解：由题意可得：
整理，得：
故答案为：
【点睛】本题考查新定义问题，正确理解题意列出关系式并准确计算是解题关键．
考查题型三 根据二次函数的定义求参数
1．（2023秋·河南开封·九年级统考期末）已知函数是二次函数，则 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义分析即可，二次函数的定义：一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数．
【详解】解：∵函数是二次函数，
∴
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
2．（2022秋·广西梧州·九年级校考期中）若函数是关于x的二次函数，则m满足条件是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的定义，即可求解．
【详解】解：∵函数是关于x的二次函数，
∴．
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如形式的函数称为二次函数是解题的关键．
3．（2022秋·江苏镇江·九年级校考阶段练习）关于的函数是二次函数，则 ．
【答案】
【分析】由二次函数的定义可知，，从而可求得m的值．
【详解】∵是二次函数，
∴且，
解得：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查的是二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键．
4．（2022秋·甘肃嘉峪关·九年级校考期末）如果函数是二次函数，那么的值为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解．
【详解】解：函数是二次函数，
，，
解得：或，
解得：，
，
故答案为：．
【点睛】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．
考查题型四 利用二次函数求代数式的值
1．（2023·四川南充·统考一模）点在函数的图象上，则代数式的值等于 ．
【答案】3
【分析】利用二次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．
【详解】解：点在函数的图象上，
，
，
则代数式，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式是解题的关键．
2．二次函数的图象经过点，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】把代入函数解析式，即可求解．
【详解】解：把代入函数解析式，得
，
，
故答案为：．
【点睛】本题考查了坐标与图形，代数式求值问题，熟练掌握和运用坐标与图形的关系是解决本题的关键．
3．已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为 ．
【答案】2019
【分析】先将点（m，0）代入函数解析式，然后求代数式的值即可得出结果．
【详解】解：将（m，0）代入函数解析式得，m2-m-1=0，
∴m2-m=1，
∴-3m2+3m+2022
=-3（m2-m）+2022
=-3+2022
=2019．
故答案为：2019．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征及求代数式的值，解题的关键是将点（m，0）代入函数解析式得到有关m的代数式的值．
4．（2023春·江苏南京·九年级校联考阶段练习）点是二次函数图像上一点，则的值为
【答案】6
【分析】把点代入即可求得值，将变形，代入即可．
【详解】解：∵点是二次函数图像上，
∴则．
∴
故答案为：6．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据点坐标求待定系数是解题的关键．
1．已知 是x的二次函数，求m的值和二次函数的解析式．
【答案】m=3或m=﹣1；y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
【详解】试题分析：根据二次函数的定义列出不等式求解即可．
试题解析：根据二次函数的定义可得：m2﹣2m﹣1=2，且m2﹣m≠0，
解得，m=3或m=﹣1；
当m=3时，y=6x2+9；
当m=﹣1时，y=2x2﹣4x+1；
综上所述，该二次函数的解析式为：y=6x2+9或y=2x2﹣4x+1．
2．（2021秋·安徽宣城·九年级校考期中）抛物线y＝mx2﹣4m（m＞0）与x轴交于A，B两点（A点在B点左边），与y轴交于C点，已知OC＝2OA．求：
（1）A，B两点的坐标；
（2）抛物线的解析式．
【答案】（1）A(﹣2，0)，B(2，0)；（2）y＝x2﹣4
【分析】（1）通过解方程mx ﹣4m＝0可得A、B点的坐标；
（2）先利用OA＝2得到OC＝4，所以|﹣4m|＝4，然后求出满足条件的m的值，从而得到抛物线解析式．
【详解】解：（1）当y＝0时，mx2﹣4m＝0，即x2﹣4＝0，解得x1＝2，x2＝﹣2，
∴A(﹣2，0)，B(2，0)；
（2）当x＝0时，y＝mx2﹣4m＝﹣4m，
∴C（0，﹣4m），
∵OA＝2，
∴OC＝2OA＝4，
∴|﹣4m|＝4，解得m＝1或m＝﹣1，
∵m＞0，
∴m＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2﹣4．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
3．（2022秋·浙江湖州·九年级统考期中）定义：如果函数图象上存在横 纵坐标相等的点，则称该点为函数的不动点．例如，点是函数的不动点．已知二次函数（是实数）．
(1)若点是该二次函数的一个不动点，求的值；
(2)若该二次函数始终存在不动点，求的取值范围．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）根据“不动点”定义，建立方程求解即可；
（2）根据不动点的定义求出函数，再根据判别式计算即可．
【详解】（1）解：依题意把点代入解析式，
得，化简得：，解得：；
（2）解：设点是函数的一个不动点，
则有，化简得，，
关于的方程有实数解，
，解得：．
【点睛】本题考查了二次函数与新定义“不动点”应用，涉及解一元二次方程、一元二次方程根的情况与判别式等知识，解题的关键是理解并利用新定义解决问题．
4．已知：二次函数的图象经过点．
(1)求的值；
(2)设、、均在该函数图象上，
①当时，、、能否作为同一个三角形三边的长？请说明理由；
②当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①当时，、、不能作为同一个三角形三边的长，理由见解析；②见解析
【分析】（1）把代入二次函数即可求解；
（2）①把m=4代入解析式求出、、，然后根据三角形构成的条件：任意两边之和大于第三边判断即可；②把、、代入求得、、，根据三角形构成的条件，当时，>0来判断即可。
（1）
解：把代入二次函数得：，
．
（2）
解：①答：当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
理由是当时，、、，
代入抛物线的解析式得：，，，
，
当时，、、不能作为同一个三角形三边的长．
②理由是：把、、代入得：
，，，
，
，，，都是大于的，
，
，
根据三角形的三边关系定理：三角形的任意两边之和大于第三边（也可求出两小边的和大于第三边），
当取不小于5的任意实数时，、、一定能作为同一个三角形三边的长．
【点睛】本题考查了二次函数点的坐标特征，和构成三角形的条件，掌握三角形三边关系定理是解题的关键。
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