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22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》
分层练习
考查题型一 二次函数y=ax2的开口方向
1．抛物线开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【答案】B
【分析】根据抛物线的解析式和二次函数的性质，可以解答本题．
【详解】∵
∴抛物线的开口向下．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
2．（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校考期中）已知抛物线的图象开口向下，则的值可能是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【分析】抛物线开口向下，可得到，由此来判断．
【详解】解：∵的图象开口向下，
只有D符合题意
故选D．
【点睛】本题考查的是二次函数的图像和性质，正确理解二次函数开口向下时二次项系数小于0是解题的关键．
3．（2022秋·北京石景山·九年级校考期中）抛物线开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
【答案】B
【分析】根据二次函数的性质进行判断即可．
【详解】解：∵中，，
∴抛物线开口方向向下，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数，当抛物线开口向下，当时，抛物线的开口向上．
4．（2022秋·广东惠州·九年级校考期末）下列函数中，开口方向向上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】当二次函数的中二次项的系数大于0时，其开口向上，可求得答案．
【详解】解：在中，
当时，抛物线开口向上，
在中， ，
∴其开口向上，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的中二次项系数的正负决定抛物线的开口方向是解题的关键．
考查题型二 二次函数y=ax2的开口大小
1．（2022秋·广西梧州·九年级校考阶段练习）二次函数，，，的图象中开口最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大可得答案．
【详解】解：∵二次项系数的绝对值，
∴二次函数，，，的图象中开口最大的是，
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，解题的关键是明确二次函数图象的特点，知道越小，则开口越大．
2．（2022秋·广西南宁·九年级统考期中）下列抛物线，开口最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据在二次函数中，当越小时，则其开口越大，即可求解．
【详解】在二次函数中，当越小时，则其开口越大，
在所给选项中，A选项中的，最小，
∴的开口最大，
故选：A．
【点睛】本题考查抛物线的开口大小与a的关系，解题的关键是掌握在二次函数中，当越小时，则其开口越大．
3．在函数①，②，③中，图像开口大小顺序用序号表示应为（ ）
A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③
【答案】C
【分析】由越小，开口越大即可判断．
【详解】解：∵，，，
∴，
∵越小，开口越大，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查二次函数图像性质，解题关键是熟练掌握越小，开口越大．
4．（2022秋·天津河西·九年级统考期中）下列二次函数的图象中，开口最小的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】比较二次项系数的大小，根据“越大，抛物线的开口越小”即可得出结论．
【详解】
二次函数的开口最小
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记“越大，抛物线的开口越小”是解题的关键．
考查题型三 二次函数y=ax2的增减性
1．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）已知二次函数的图象上有三个点，则有（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由二次函数的解析式可知，此函数的对称轴为，开口向上，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，然后进行判断即可．
【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，，
∴抛物线开口向上，当时，随增大而减小，当时，随增大而增大，
∵点关于的对称点为，且，
∴．
故选：A
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，属于基础题，关键是找到二次函数的对称轴，判断出函数的增减性．
2．（2023秋·河南驻马店·九年级校考期末）已知抛物线过，两点，则下列关系式中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，可知时，抛物线开口向上，对称轴为y轴，再根据点A、B的横坐标离对称轴的距离即可求解．．
【详解】解：，
抛物线的开口向上，对称轴为轴，在对称轴的左侧，在对称轴的右侧，且点A离对称轴的距离大于点离对称轴的距离，
．
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，解题的关键是要熟练其相关的性质并能运用数形结合的思想解题．
3．（2023秋·新疆巴音郭楞·九年级校考期末）已知函数过点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．1
【答案】B
【分析】求出抛物线的对称轴，利用二次函数的性质解答即可．
【详解】解：，
抛物线的对称轴为，
，
抛物线开口方向向上，当时，随的增大而增大，
，
，
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标的特征，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
4．（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）已知，且点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的增减性，进行判断即可．
【详解】解：，，抛物线的开口向下，对称轴为：，
当时，随的增大而减小；
∵，
∴，
∴；
故选C．
【点睛】本题考查比较二次函数值的大小．熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键．
考查题型四 二次函数y=ax2+k的顶点坐标
1．（2022秋·云南红河·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的顶点坐标为，即可求解．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故选：D
【点睛】本题主要考查了抛物线的性质，熟练掌握抛物线的顶点坐标为是解题的关键．
2．（2022秋·河南商丘·九年级统考阶段练习）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据二次函数的顶点式直接求解即可．
【详解】解：抛物线的顶点坐标是．
故选：C．
【点睛】此题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的有关性质．
3．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】形如的顶点坐标为，据此可以直接求顶点坐标．
【详解】解：抛物线的顶点坐标为．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的性质．二次函数的顶点式方程的顶点坐标是，对称轴方程是．
4．（2023·湖南娄底·校考一模）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题目中的函数解析式可以直接写出该抛物线的顶点坐标．
【详解】解：∵y=-2x2-1，
∴该抛物线的顶点坐标为（0，-1），
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次和函数的性质解答．
1．已知抛物线过点和点．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大．
【答案】（1）；（2）当时，函数随的增大而增大
【分析】（1）根据待定系数法即可求解；
（2）求出对称轴，根据二次函数的图像与性质即可求解．
【详解】解：（1）∵抛物线过点和点，
，解得
∴这个函数得关系式为：．
（2）∵二次函数开口向下，对称轴为x=0，
∴当时，函数随的增大而增大．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的运用．
2．已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？
(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小．
【答案】(1)2或
(2)当时，抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大
(3)当时，二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小
【分析】（1）根据二次函数的定义可求得m的值；
（2）根据二次函数的性质得当时，抛物线有最低点，然后根据二次函数的性质确定顶点坐标和增减性；
（3）根据二次函数的性质得到当时，抛物线开口向下，函数有最大值，然后根据二次函数的性质确定最大值和增减性．
【详解】（1）解：根据题意得且，
解得，，
所以满足条件的m值为2或．
（2）解：当时，抛物线有最低点，
所以，
此时抛物线解析式为，
所以抛物线的最低点为，当时，y随x的增大而增大．
（3）解：当时，抛物线开口向下，函数有最大值；
此时抛物线解析式为，
所以二次函数的最大值是0，当时，y随x的增大而减小．
【点睛】本题考查了二次函数的定义和二次函数的最值，解决本题的关键是要注意二次函数的二次项系数不为零．
3．二次函数的图象经过点A（1，-1），B（2，5），
(1)求函数的表达式．
(2)若点C（-2，m），D（n ，7）也在函数的图象上，求点C的坐标；点D的坐标．
【答案】(1)二次函数解析式为；
(2)C（-2，5）；D（，7）或（，7）
【分析】（1）将A与B坐标代入二次函数解析式求出a与c的值，即可确定出二次函数解析式；
（2）将C与D坐标代入二次函数解析式求出m与n的值，确定出C与D坐标即可．
【详解】（1）将A（1，-1），B（2，5）代入得：
，
解得：，
则二次函数解析式为；
（2）将x=-2，y=m代入二次函数解析式得：y=m=5，即C（﹣2，5）；
将x=n，y=7代入二次函数解析式得：，即n=±，
即D（，7）或（，7）
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．
4．已知，如图所示，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又AOP的面积为．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求a的值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）先根据面积求得点的纵坐标，再代入直线的解析式可得其横坐标，然后将点的坐标代入二次函数即可得．
【详解】解：（1）设直线的解析式为，
将点代入得，解得，
故直线的表达式为；
（2）如图，过点作轴于点，
设点的坐标为，则，
，
，
∵的面积为，
∴，
解得，
将点代入得：，
解得，
则，
将点代入得：，
解得，
故的值为．
【点睛】本题考查了二次函数与一次函数的综合等知识点，熟练掌握待定系数法是解题关键．
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22.1.2《二次函数y=ax2的图象和性质》
分层练习
考查题型一 二次函数y=ax2的开口方向
1．抛物线开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
2．（2022秋·湖北省直辖县级单位·九年级校考期中）已知抛物线的图象开口向下，则的值可能是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
3．（2022秋·北京石景山·九年级校考期中）抛物线开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D．向右
4．（2022秋·广东惠州·九年级校考期末）下列函数中，开口方向向上的是（ ）
A． B． C． D．
考查题型二 二次函数y=ax2的开口大小
1．（2022秋·广西梧州·九年级校考阶段练习）二次函数，，，的图象中开口最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·广西南宁·九年级统考期中）下列抛物线，开口最大的是（ ）
A． B． C． D．
3．在函数①，②，③中，图像开口大小顺序用序号表示应为（ ）
A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③
4．（2022秋·天津河西·九年级统考期中）下列二次函数的图象中，开口最小的是（ ）
A． B．
C． D．
考查题型三 二次函数y=ax2的增减性
1．（2022秋·重庆大足·九年级统考期末）已知二次函数的图象上有三个点，则有（ ）
A． B． C． D．
2．（2023秋·河南驻马店·九年级校考期末）已知抛物线过，两点，则下列关系式中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023秋·新疆巴音郭楞·九年级校考期末）已知函数过点，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．1
4．（2023秋·河南许昌·九年级校考期末）已知，且点，，都在函数的图象上，则（ ）
A． B． C． D．
考查题型四 二次函数y=ax2+k的顶点坐标
1．（2022秋·云南红河·九年级统考期末）抛物线的顶点坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022秋·河南商丘·九年级统考阶段练习）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·湖南娄底·校考一模）抛物线的顶点坐标是（ ）
A． B． C． D．
1．已知抛物线过点和点．
（1）求这个函数的关系式；
（2）写出当为何值时，函数随的增大而增大．
2．已知函数是关于x的二次函数，求：
(1)满足条件m的值．
(2)m为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点的坐标，这时x为何值时y随x的增大而增大？
(3)m为何值时，抛物线有最大值？最大值是多少？这时x为何值时，y随x的增大而减小．
3．二次函数的图象经过点A（1，-1），B（2，5），
(1)求函数的表达式．
(2)若点C（-2，m），D（n ，7）也在函数的图象上，求点C的坐标；点D的坐标．
4．已知，如图所示，直线l经过点A(4，0)和B(0，4)，它与抛物线y＝ax2在第一象限内交于点P，又AOP的面积为．
（1）求直线AB的表达式；
（2）求a的值．
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