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22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
分层练习
考查题型一 根据二次函数的图象判断式子的符号
1．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【分析】由抛物线的开口方向、与y轴交点以及对称轴的位置可判断a、b、c的符号，由此可判断①正确；由抛物线的对称轴为，得到，即可判断②；可知时和时的y值相等可判断③正确；由图知时二次函数有最小值，可判断④错误；由抛物线的对称轴为可得，因此，根据图像可判断⑤正确．
【详解】①∵抛物线的开口向上，
∵抛物线与y轴交点在y轴的负半轴上，
由得，，
，
故①正确；
②抛物线的对称轴为，
，
，
，故②正确；
③由抛物线的对称轴为，可知时和时的y值相等．
由图知时，，
∴时，．
即．
故③错误；
④由图知时二次函数有最小值，
，
，
，
故④错误；
⑤由抛物线的对称轴为可得，
，
∴，
当时，．
由图知时
故⑤正确．
综上所述：正确的是①②⑤，有3个，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像与系数的关系，二次函数的对称轴及顶点位置．熟练掌握二次函数图像的性质及数形结合是解题的关键．
2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据二次函数图像的性质、二次函数图像与系数的关系以及与轴交点问题逐项分析判断即可.
【详解】解：由图可知，二次函数开口方向向下，与轴正半轴交于一点，
，.
，
.
.
故①正确.
是关于二次函数对称轴对称，
.
在对称轴的左边，在对称轴的右边，如图所示，
.
故②正确.
图象与轴交于点，
，.
.
.
故③正确.
，
.
当时，，
.
，
，
.
故④不正确.
综上所述，正确的有①②③.
故选：C.
【点睛】本题考查了二次函数图像与系数之间的关系，解题的关键在于通过图像判断对称轴，开口方向以及与轴交点.
3．（2023·广东汕头·校联考一模）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：
①；②；③函数的最大值为；
④当时，． 其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．l C．2 D．3
【答案】D
【分析】由已知可得，由抛物线的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点坐标，从而可完成解答．
【详解】解：∵二次函数的图象经过点，其对称轴为直线，
∴，
∴；
由图象知，抛物线开口向下，则，
∴，
∴，故①正确；
∵，
∴②正确；
∵，，
∴抛物线有最大值，且最大值为，
故③正确；
由抛物线的对称性知，抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
结合图象知：当时，，故④错误；
即正确的结论有3个；
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子的符号，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
4．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】根据抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，可得，根据和点可得抛物线的对称轴为直线，即可判断②；推出，即可判断①；根据函数图象即可判断③④；根据当时，抛物线有最大值，即可得到，即可判断⑤．
【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，
∴，
∵抛物线与x轴交于点和点，
∴抛物线对称轴为直线，故②正确；
∴，
∴，
∴，故①错误；
由函数图象可知，当时，抛物线的函数图象在x轴上方，
∴当时，，故③正确；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，y随x的增大而减小，即当时，y随x的增大而减小，故④错误；
∵抛物线对称轴为直线且开口向下，
∴当时，抛物线有最大值，
∴，
∴，故⑤正确；
综上所述，正确的有②③⑤，
故选C．
【点睛】本题主要考查了抛物线的图象与系数的关系，抛物线的性质等等，熟练掌握抛物线的相关知识是解题的关键．
考查题型二 一次函数与二次函图象的综合判断
1．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据一次函数与二次函数的性质判断即可．
【详解】解：∵，
∴经过一、三象限；
当时，二次函数开口向上，与y轴的交点在负半轴上，
当时，二次函数开口向下，与y轴的交点在正半轴上，
∴只有选项C符合题意；
故选：C．
【点睛】题目主要考查一次函数与二次函数图象的判断，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解题关键．
2．（2023·安徽六安·校考二模）已知抛物线和直线分别交于A点和B点，则抛物线的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】求出求出交点、的坐标，根据已知图象确定，与点的横坐标的正负，进而推断新抛物线的图象的开口方向，对称轴位置，从而确定答案．
【详解】解：由，得，
解得，或，
抛物线和直线分别交于点和点，
，的横坐标为：，
抛物线的开口向上，交点在第三象限内，
，，
抛物线中，，对称轴，
此抛物线的开口向下，对称轴在轴的左边，
符合此条件的图象是C，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，一次函数的图象与性质，关键是由已知条件确定和点横坐标的取值．
3．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】令，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解．
【详解】解：时，两个函数的函数值，
所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误；
由A、C选项可知，抛物线开口方向向上，
所以，，
所以，一次函数经过第一三象限，
所以，A选项错误，C选项正确．
故选：C．
【点睛】本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．
4．（2023·四川成都·统考二模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】先由二次函数的图像得到字母系数的正负，再与一次函数的图像相比较看是否一致．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
B、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项符合题意；
C、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意；
D、由抛物线可知，，，，则，由直线可知，，，故本选项不合题意．
故选：B．
【点睛】本题考查二次函数和一次函数的图像，解题的关键是明确一次函数和二次函数性质．
考查题型三 把y=ax2+bx+c化成顶点式
1．（2023·宁夏吴忠·校考二模）将抛物线化为的形式是 ．
【答案】
【分析】利用配方法把二次函数的一般式化成顶点式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是把二次函数的一般式化为顶点式，掌握“配方法化顶点式”是解题的关键．
2．（2023·北京海淀·校考一模）将二次函数化成的形式，结果为 ．
【答案】
【分析】利用配方法整理即可得解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查二次函数的三种形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．
3．（2023·四川成都·统考一模）将二次函数化成的形式为 ．
【答案】
【分析】根据配方法将一般式转化成顶点式，即可解答．
【详解】解：
．
故答案为：
【点睛】本题考查了把一般式化成顶点式，熟练运用配方法是解题的关键．
4．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）将二次函数化为的形式是 ．
【答案】
【分析】利用配方法先提出二次项系数，再加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数的三种形式的知识点，解题的关键是掌握配方法．
考查题型四 二次函数的平移
1．（2020秋·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．
【详解】解：由抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，可知平移后的解析式为；
故答案为．
【点睛】本题主要考查二次函数的平移，熟练掌握二次函数的平移是解题的关键．
2．（2023·河南驻马店·统考三模）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得的抛物线的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数图象的平移规律即可得．
【详解】解：将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得的抛物线的解析式为，即，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题的关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律“左加右减，上加下减”．
3．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【答案】2或4/4或2
【分析】先求出抛物线向下平移1个单位长度后与的交点坐标，然后再求出新抛物线经过原点时平移的长度．
【详解】解：抛物线向下平移1个单位长度后的解析式为，
令，则，
解得，，
∴抛物线与的交点坐标为和，
∴将抛物线向右平移2个单位或4个单位后，新抛物线经过原点．
故答案为：2或4．
【点睛】此题考查了二次函数图象的平移与几何变换，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键．
4．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到．
【答案】 右 3 下 1
【分析】根据二次函数图象“上加下减，左加右减”的平移规律进行求解即可．
【详解】解：函数的图象可由函数的图象沿轴向右平移3个单位，再沿轴向下平移1个单位得到，
故答案为：右，3，下，1．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，熟知二次函数图象的平移规律是解题的关键．
考查题型五 已知抛物线上对称的两点求对称轴
1．（2023·山东济宁·校联考三模）某二次函数图象经过，，，那么该图象的对称轴的解析式为 ．
【答案】
【分析】根据二次函数的对称性可知，点 和点 关于二次函数的对称轴对称，根据对称轴，即可求得答案．
【详解】解：∵点 和点 关于二次函数的对称轴对称，
∴对称轴．
故答案为：．
【点睛】此题考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求二次函数的对称轴，注意抓住图象上点的特征，选用适当的方法解答．
2．（2023春·江苏常州·九年级校考期末）二次函数的图象经过点，则 ．
【答案】2
【分析】根据题意可得二次函数的对称轴为直线，从而得到，即可求解．
【详解】解：∵二次函数，
∴二次函数的对称轴为直线，
∵二次函数的图象经过点，
∴A、B关于对称轴对称，
∴，
∴，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握的图象和性质是解题的关键．
3．（2023·上海松江·统考一模）如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线 ．
【答案】
【分析】根据的坐标，利用二次函数的性质求出抛物线的对称轴，即可得出．
【详解】解：∵抛物线经过点和，
∴抛物线的对称轴是直线，
故答案为：
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，根据抛物线的对称轴，求出抛物线的对称轴是解题的关键．
4．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）已知二次函数的x、y的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
则该二次函数图象的对称轴为直线 ．
【答案】
【分析】根据图表找出函数值相等时对应的自变量即可求出对称轴．
【详解】解：由图表可知：时，，时，，
二次函数的对称轴为，
故答案为：．
【点睛】题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练运用二次函数的性质，本题属于基础题型．
考查题型六 根据二次函数的对称性求函数值
1．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）点均在二次函数的图象上，则的大小关系是 ．
【答案】
【分析】先确定抛物线的开口方向和对称轴，然后根据二次函数的对称性和增减性即可得出结论．
【详解】解：∵点在二次函数的图象上，
∴对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴时，y随x的增大而减小，
∵均在二次函数的图象上，
∴关于对称轴的对称点也在二次函数的图象上，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．
2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）点，，均在二次函数的图像上，则，，的大小关系是 ．
【答案】
【分析】根据二次函数得到对称轴为直线，结合，得到的对称点，根据抛物线开口向下时，对称轴的右侧y随x的增大而减小，结合，得到．
【详解】因为二次函数，
所以对称轴为直线，
因为，
所以的对称点，
根据抛物线开口向下时，对称轴的右侧y随x的增大而减小，且，
所以．
故答案为：．
【点睛】本题考查了抛物线的对称轴，对称点，增减性，熟练掌握对称性和增减性是解题的关键．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知抛物线的对称轴为，若点，，，请比较，，的大小 ．（用“<”连接）
【答案】
【分析】先求出C关于对称轴的对称点，再根据二次函数的图象开口向下，对称轴是直线，则当时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：设C关于对称轴的对称点为，
则，
解得：，
∴．
∵抛物线图象的开口向上，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小．
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解答此题的关键．
4．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）设是抛物线上的三点，则、、的大小关系为 （用＜号连接）．
【答案】
【分析】把点的坐标分别代入可求得、、的值，比较大小可求得答案．
【详解】∵是抛物线上的三点，
∴，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次函数图象上点的坐标特征，掌握函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题的关键．
考查题型七 用待定系数法求二次函数解析式
1．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知抛物线经过三点．求这条抛物线的表达式．
【答案】
【分析】用待定系数法求解即可．
【详解】解：把点，，代入得：
，
解得：，
∴这条抛物线的解析式为：．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
2．（2020秋·广东东莞·九年级东莞市光明中学校考阶段练习）抛物线与y轴交于点．
(1)求m的值；
(2)判断点是否在抛物线上，并说明理由．
【答案】(1)
(2)点不在抛物线上．
【分析】（1）利用待定系数法求出m的值即可；
（2）把点的坐标代入即可判断．
【详解】（1）解：把代入得，
，
则m的值是．
（2）解：点不在抛物线上．
理由如下：把代入得，
，
把代入得，
，
所以点不在抛物线上．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数图象上点的坐标特征，掌握待定系数法是解题的关键．
3．（2023·广东深圳·统考三模）如图，抛物线经过点，点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据已知得出点，进而待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据解析式化为顶点式求得，待定系数法求得直线的解析式，过点作轴于点，交于点，则，进而根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点，点，且．
∴，
即，
设抛物线解析式为，将代入得，
解得：，
∴抛物线解析式为
（2）解：∵，
∴,
如图所示，过点作轴于点，交于点，
设直线的解析式为，将代入得，
解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点代入可求出b，从而得解；
（2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出n的值．
【详解】（1）解：把点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）抛物线向下平移n个单位后得：，
把点代入得：
解得：
即n的值为1．
【点睛】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键．
考查题型八 y=ax2+bx+c的最值
1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，抛物线的图象与x轴交于点A，，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若当，取得最大值时，求m的值．
【答案】(1)
(2)1
【分析】（1）根据待定系数法可进行求解；
（2）根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：把点，代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）解：由（1）可知抛物线解析式为，则有抛物线开口向下，对称轴为直线，
∴当时，抛物线有最大值，即为；
∴．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
2．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期末）已知二次函数经过和．
(1)求该二次函数的表达式和对称轴．
(2)当时，求该二次函数的最大值和最小值．
【答案】(1) ；对称轴直线
(2)当时，有最大值；当时，有最小值
【分析】（1）先将和分别代入求出二次函数的表达式，再根据对称轴公式作答即可；
（2）先确定开口方向，再根据对称轴确定最大值和最小值即可．
【详解】（1）∵经过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
∴对称轴为直线；
（2）由（1）可知的开口向上，
∵二次函数的对称轴为直线在内，
∴当时，有最小值；
∵直线距直线最远，
∴当时，有最大值．
【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．
3．（2023秋·广西河池·九年级统考期末）已知k是常数，抛物线的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值；
(2)当时，函数的最大值与最小值分别为多少？
【答案】(1)
(2)当时，函数的最大值为0，当时，函数的最小值为
【分析】（1）由对称轴是y轴得：，解出的值，再根据与x轴有两个交点，选择合适的值即可．
（2）开口向上，判断出对称轴在中，故在对称轴处取最小值，端点处取最大值．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴是y轴，
∴，解得，
又∵抛物线与x轴有两个交点，
∴，
∴．
（2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为，
∴抛物线的开口向上，
与y轴交于，，
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，函数的最大值为0，
当时，函数的最小值为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练运用二次函数的性质释解题关键．
4．（2023秋·四川南充·九年级统考期末）二次函数的图象经过点，开口向上．
(1)求二次函数的解析式．
(2)此二次函数有最______值（填“大”或“小”）为______．
【答案】(1)
(2)小；4
【分析】（1）把点坐标代入解析式求解即可；
（2）将（1）中结果化为顶点式即可求解.
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点．
∴，
∴，
∵开口向上，
∴，
∴二次函数的解析式为：；
（2）∵，抛物线开口向上，
∴二次函数有最小值为4，
故答案为：小；4．
【点睛】本题考查了抛物线解析式的确定，一般式与顶点式的转化，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
考查题型九 利用二次函数对称性求最短路径
1．（2023·陕西西安·校考二模）如图，抛物线经过点，与轴交于点过点且平行于轴的直线交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）6；（3）存在，，理由见解析．
【分析】（1）将点代入函数解析式求解即可确定函数解析式；
（2）当时，，可确定点B的坐标，然后由对称轴及轴，可得点C的坐标，据此得出，，然后根据三角形面积公式求解即可；
（3）根据B、C关于抛物线的对称轴对称，可得点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，此时，的周长最小，设直线AC的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，然后联合对称轴求解即可确定点P的坐标．
【详解】解：（1）将代入中，
得：，
解得：
抛物线的解析式：；
当时，，
∴，
由（1）知，抛物线的对称轴：，
∵轴，
∴点、关于对称轴对称，则，
，，
；
（3）如图所示：点B、C关于抛物线的对称轴对称，
∴点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，此时，的周长最小，
设直线AC的解析式为，代入、，得：
，
解得 ，
直线：；
点P为直线AC与抛物线对称轴的交点，
∴，
解得 ，
．
【点睛】题目主要考查利用待定系数法确定一次函数与二次函数解析式，二次函数与一次函数交点及二次函数的基本性质等，熟练掌握运用二次函数的基本性质是解题关键．
2．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．
【答案】（1）A（﹣2，0），B（1，0），C（0，﹣2）．（2）P（，）
【分析】（1）利用二次函数图像与x轴交点时，y=0，代入式子即可求出x值，即可求出A、B两点坐标，图像与y轴相交，x=0，带入可以求出y值，即可求出C点坐标；
（2）有题可知本问考查的是“两定一动”，故需要利用“将军饮马”的方法进行解题，B点关于对称轴的对称点为A点，连接AC，AC与对称轴的交点即为P点，求出AC所在直线解析式，之后求出与对称轴交点即为P点坐标．
【详解】解：（1）由 y＝0，得 x2+x-2＝0 解得 x＝-2，x＝1，
∴A（-2，0），B（1，0），
由 x＝0，得 y＝-2，
∴C（0，-2）．
（2）连接AC与对称轴的交点即为点P．
设直线 AC 为 y＝kx+b，
则﹣2k+b＝0，b＝﹣2：
得 k＝﹣1，
y＝﹣x﹣2．
对称轴为 x＝，
当 x＝时，
y＝-2＝，
∴P（，）．
【点睛】本题主要考查二次函数图像的基本性质，以及“两定一动”的动点问题，熟练掌握二次函数中的综合运用是解题的关键．
3．如图是抛物线的一部分，该部分与轴、轴分别交于点
(1)求的值；
(2)若点是该抛物线的对称轴上的点，则的最小值为___________，此时点的坐标为___________．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵与轴、轴分别交于点
∴，
解得，
∴；
（2）解：∵，
∴对称轴为直线，
∵,设关于对称的点为，连接，
∴，，
∴，
∴当三点共线时最小，最小值为，
∵，
设经过的直线解析式为，
∴，
解得，
∴，
令，解得，
即．
故答案为：，．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，根据抛物线的对称性求线段和的最小值，勾股定理，求一次函数解析式，掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为___________；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点，使得﹖若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)存在，或
【分析】（1）设抛物线的解析式为，再把代入求出的值即可；
（2）连接交于点，点即为所求，设，代入直线即可求解；
（3）根据（1）中抛物线的解析式，求出抛物线的对称轴及顶点坐标，设出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，求出点的坐标，所以可得出的面积，进而得出点的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点，
∴设抛物线的解析式为，
∵过点，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为，即；
（2）如图，连接交于点，连接
∵点是抛物线对称轴上的一个动点，
，
∴对称轴为，
根据对称轴可得关于对称轴,
∴，
当三点共线时，最小，
∵，，设直线的解析式为，
,
解得,
∴直线的解析式为，
设，
当时，，
∴,
∴当的值最小时，点的坐标为;
（3）解：∵抛物线的解析式为；
∴其对称轴，顶点的坐标为，
∵点在抛物线的对称轴上，
∴设，
∵，，
∴设过点、的直线解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∴直线与轴的交点的坐标为，
∴，
∴，
∵，
∴，解得，
当点在点上方时，，解得，
∴此时；
当点在点下方时，，解得，
∴此时，
综上所述，可得：或．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、求二次函数解析式、根据轴对称的性质求求线段和的最小值，三角形的面积公式，解本题的关键在明确题意，利用二次函数性质和数形结合思想解答问题．
考查题型十 二次函数综合应用
1．（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，拋物线与轴的两个交点分别为点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，当的面积为时，直接写出点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）将点，的坐标分别代入，求出，；
（2）以为底，求出的高，即点的纵坐标的绝对值，进而将的纵坐标代入抛物线的表达式，求解其横坐标．
【详解】（1）解：点，在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（2）解：，，
．
又，
，即．
①令，该方程无解，不符合题意；
②令，解得，．
或．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数与三角形面积的综合，熟练掌握相关知识是解题的关键．
2．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）已知抛物线经过点，，顶点为C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)求以A、B、C为顶点的的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解；
（2）过点C作轴于点D，先求出点C的坐标，再根据，即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入得：
，解得：，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：如图，过点C作轴于点D，
∵，
∴点C的坐标为，
∴，
∵，，
∴，
∴
．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．
3．（2023春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，二次函数 的图像经过坐标原点，与x轴交于．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)在抛物线上有一点P，满足，求P点的坐标．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）把、代入解析式，可得出二次函数解析式；
（2）利用三角形的面积可得出P点的纵坐标，再代入二次函数解析式可求出点P的横坐标，即可得出点P的坐标．
【详解】（1）将、代入解析式得
，
解得，，
所以二次函数解析式：；
（2）∵，，
∴P点的纵坐标为：，
当，解得：，此时
当时，
解得：，此时或
∴点P的坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式与图象上点的坐标特征，解题的关键是正确求出二次函数的表达式．
4．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)或或
【分析】（1）把，两点代入解析式即可求解；
（2）先求出C点坐标，再根据求出，代入解析式即可求解．
【详解】（1）把，两点代入，
得，解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）当时，，所以，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴或，
把代入抛物线表达式得，
解得（舍去）或2；
把代入抛物线表达式得，
解得，
综述所述，点的坐标为或或．
【点睛】此题主要考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟知待定系数法及三角形的面积公式的应用．
1．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)①；②；③或
【分析】（1）根据题意得出点，,待定系数法求解析式即可求解；
（2）①根据平移的性质得出，根据点的对应点落在抛物线上，可得，进而即可求解；
②根据题意得出，求得中点坐标，根据题意即可求解；
③连接，过点作于点，勾股定理求得，设点的坐标为，则，将代入，求得，求得，进而根据落在抛物线上，将代入，即可求解．
【详解】（1）解：依题意，点的横坐标为，点的横坐标为，代入抛物线
∴当时，，则，
当时，，则,
将点，,代入抛物线，
∴
解得：
∴抛物线的解析式为；
（2）①解：∵轴交抛物线另一点为点，
当时，，
∴，
∵矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上
∴，
整理得
∵
∴
∴；
②如图所示，
∵,
∴,
∵
∴，
由①可得，
∴,的横坐标为，分别代入 ，
∴，
∴
∴的中点坐标为
∵点为线段的中点，
∴
解得：或（大于4，舍去）
③如图所示，连接，过点作于点，
则，∵
∴，
设点的坐标为，则，
将代入，
，
解得：，
当，
∴，
将代入
解得：，
∴或．
【点睛】本题考查了二次函数综合运用，矩形的性质，平移的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2023·广东阳江·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，抛物线经过A、两点，与轴的另一交点为点．
(1)填空：___________，___________；
(2)点为直线上方抛物线上一动点．
①连接、，设直线交线段于点，求的最大值；
②过点作于点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)①最大值为；②
【分析】（1）根据线求出点A，，代入到抛物线即可求解；
（2）①过作轴交于点，过作轴交于点，根据抛物线和直线解析式可求出点B、N的坐标，从而求出，再表示出点D、M的坐标，根据即可求出；②过点作轴，交y轴于点，交直线于点G，根据条件证明，利用求解即可．
【详解】（1）解：∵直线与轴交于点A，与轴交于点，
当时，，当时，，
∴，，
把，代入抛物线得：，
解得；
（2）①解：过作轴交于点，过作轴交于点，如图，
由（1）得：抛物线解析式为，
令，解得：，，
∴，
在中，令，得，
∴，，
设，则，
∴，
∵轴，轴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴当时，取最大值，最大值为；
②存在点，使得中的，
过点作轴，交y轴于点，交直线于点G，如图，
∵轴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
设，
∴，，
∵，，
∴， ，
∴，
∴，解得：，
∴；
【点睛】本题考查二次函数综合应用，掌握待定系数法，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用等知识是关键．
3．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：关于的函数．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)0或2或
(2)①6，②存在，
【分析】（1）根据函数与坐标轴交点情况，分情况讨论函数为一次函数和二次函数的时候，按照图像的性质以及与坐标轴交点的情况即可求出值．
（2）①根据和的坐标点即可求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，结合即可求出点坐标，从而求出长度，最后利用面积法即可求出的面积．
②观察图形，用值表示出点坐标，再根据平行线分线段成比例求出长度，利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
【详解】（1）解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述，或0．
故答案为：0或2或．
（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．
依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到函数与坐标轴交点问题，二次函数与面积问题，平行线分线段成比例，解题的关键在于分情况讨论函数与坐标轴交点问题，以及二次函数最值问题．
4．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
(3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
【答案】(1)
(2)当时，有最大值为
(3)能，
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（2）设，进而分别表示出，得出关于的二次函数，根据二次函数的性质，，即可求得最大值；
（3）由（1）知，向左平移后的抛物线为，由（2）知，设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．根据中点坐标公式，分类讨论即可求解，①当以为对角线时，②当以为对角线时，③当以为对角线时．
【详解】（1）解： 抛物线的顶点横坐标为
对称轴为
与x轴另一交点为
∴设抛物线为
∴抛物线的表达式为
（2）在抛物线上
∴设
在第一象限
∴当时，有最大值为
（3）由（1）知，向左平移后的抛物线为
由（2）知
设，假设存在以、、、为顶点的平行四边形．
①当以为对角线时，
平行四边形对角线互相平分
，即
在抛物线上
的坐标为
②当以为对角线时
同理可得，即
则
的坐标为
③当以为对角线时
，即
则
的坐标为
综上所述：存在以、、、为顶点的平行四边形．
的坐标为
【点睛】本题考查了二次函数综合，二次函数的平移，待定系数法求解析式，线段最值问题，平行四边形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
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22.1.4《二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质》
分层练习
考查题型一 根据二次函数的图象判断式子的符号
1．（2023·四川达州·统考中考真题）如图，拋物线（为常数）关于直线对称．下列五个结论：①；②；③；④；⑤．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
2．（2023·四川广安·统考中考真题）如图所示，二次函数为常数，的图象与轴交于点．有下列结论：①；②若点和均在抛物线上，则；③；④．其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（2023·广东汕头·校联考一模）如图，二次函数（a，b，c为常数，）的图象经过点，其对称轴为直线，有下列结论：
①；②；③函数的最大值为；
④当时，． 其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．l C．2 D．3
4．（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图．抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．下列说法：①；②抛物线的对称轴为直线；③当时，；④当时，y随x的增大而增大；⑤（m为任意实数）其中正确的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考查题型二 一次函数与二次函图象的综合判断
1．（2023春·福建福州·八年级福建省福州延安中学校考期末）函数与在同一直角坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·安徽六安·校考二模）已知抛物线和直线分别交于A点和B点，则抛物线的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
3．（2023春·广东梅州·九年级校考开学考试）在同一坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（2023·四川成都·统考二模）如图，在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图像可能是（ ）
A． B． C． D．
考查题型三 把y=ax2+bx+c化成顶点式
1．（2023·宁夏吴忠·校考二模）将抛物线化为的形式是 ．
2．（2023·北京海淀·校考一模）将二次函数化成的形式，结果为 ．
3．（2023·四川成都·统考一模）将二次函数化成的形式为 ．
4．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）将二次函数化为的形式是 ．
考查题型四 二次函数的平移
1．（2020秋·广东广州·九年级广州白云广雅实验学校校考阶段练习）把抛物线向右平移1个单位，再向上平移2个单位，平移后的抛物线的解析式为 ．
2．（2023·河南驻马店·统考三模）将抛物线先向右平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度所得的抛物线的解析式为 ．
3．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）将抛物线向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
4．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到．
考查题型五 已知抛物线上对称的两点求对称轴
1．（2023·山东济宁·校联考三模）某二次函数图象经过，，，那么该图象的对称轴的解析式为 ．
2．（2023春·江苏常州·九年级校考期末）二次函数的图象经过点，则 ．
3．（2023·上海松江·统考一模）如果一条抛物线经过点和，那么该抛物线的对称轴是直线 ．
4．（2022秋·贵州黔东南·九年级统考期末）已知二次函数的x、y的部分对应值如下表所示：
x … 0 1 2 …
y … 0 4 6 6 4 …
则该二次函数图象的对称轴为直线 ．
考查题型六 根据二次函数的对称性求函数值
1．（2022秋·新疆乌鲁木齐·九年级校考阶段练习）点均在二次函数的图象上，则的大小关系是 ．
2．（2022秋·辽宁鞍山·九年级统考期中）点，，均在二次函数的图像上，则，，的大小关系是 ．
3．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）已知抛物线的对称轴为，若点，，，请比较，，的大小 ．（用“<”连接）
4．（2023秋·江苏扬州·九年级校考期末）设是抛物线上的三点，则、、的大小关系为 （用＜号连接）．
考查题型七 用待定系数法求二次函数解析式
1．（2022秋·甘肃平凉·九年级校考阶段练习）已知抛物线经过三点．求这条抛物线的表达式．
2．（2020秋·广东东莞·九年级东莞市光明中学校考阶段练习）抛物线与y轴交于点．
(1)求m的值；
(2)判断点是否在抛物线上，并说明理由．
3．（2023·广东深圳·统考三模）如图，抛物线经过点，点，且．
(1)求抛物线的表达式；
(2)如图，点是抛物线的顶点，求的面积．
4．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
考查题型八 y=ax2+bx+c的最值
1．（2023春·广东广州·九年级统考开学考试）如图，抛物线的图象与x轴交于点A，，与y轴交于点．
(1)求抛物线的解析式．
(2)若当，取得最大值时，求m的值．
2．（2022秋·浙江杭州·九年级杭州市十三中教育集团（总校）校联考期末）已知二次函数经过和．
(1)求该二次函数的表达式和对称轴．
(2)当时，求该二次函数的最大值和最小值．
3．（2023秋·广西河池·九年级统考期末）已知k是常数，抛物线的对称轴是y轴，并且与x轴有两个交点．
(1)求k的值；
(2)当时，函数的最大值与最小值分别为多少？
4．（2023秋·四川南充·九年级统考期末）二次函数的图象经过点，开口向上．
(1)求二次函数的解析式．
(2)此二次函数有最______值（填“大”或“小”）为______．
考查题型九 利用二次函数对称性求最短路径
1．（2023·陕西西安·校考二模）如图，抛物线经过点，与轴交于点过点且平行于轴的直线交抛物线于点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）求的面积；
（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
2．如图，抛物线y＝x2+x﹣2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．
（1）求点A，点B和点C的坐标；
（2）抛物线的对称轴上有一动点P，求PB+PC的值最小时的点P的坐标．
3．如图是抛物线的一部分，该部分与轴、轴分别交于点
(1)求的值；
(2)若点是该抛物线的对称轴上的点，则的最小值为___________，此时点的坐标为___________．
4．如图，已知抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接．
(1)求此抛物线的解析式；
(2)点是抛物线对称轴上的一个动点，当的值最小时，点的坐标为___________；
(3)抛物线对称轴上是否存在一点，使得﹖若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由．
考查题型十 二次函数综合应用
1．（2023·黑龙江佳木斯·统考三模）如图，拋物线与轴的两个交点分别为点，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在该抛物线上，当的面积为时，直接写出点的坐标．
2．（2022秋·江苏扬州·九年级统考期末）已知抛物线经过点，，顶点为C．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)求以A、B、C为顶点的的面积．
3．（2023春·山东济南·九年级校考阶段练习）如图，二次函数 的图像经过坐标原点，与x轴交于．
(1)求此二次函数的表达式；
(2)在抛物线上有一点P，满足，求P点的坐标．
4．（2022秋·江苏苏州·九年级统考期中）已知拋物线与轴交于，两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的表达式；
(2)连接，，抛物线上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
1．（2023·辽宁大连·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线上有两点，其中点的横坐标为，点的横坐标为，抛物线过点．过作轴交抛物线另一点为点．以长为边向上构造矩形．
(1)求抛物线的解析式；
(2)将矩形向左平移个单位，向下平移个单位得到矩形，点的对应点落在抛物线上．
①求关于的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
②直线交抛物线于点，交抛物线于点．当点为线段的中点时，求的值；
③抛物线与边分别相交于点，点在抛物线的对称轴同侧，当时，求点的坐标．
2．（2023·广东阳江·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点A，与轴交于点，抛物线经过A、两点，与轴的另一交点为点．
(1)填空：___________，___________；
(2)点为直线上方抛物线上一动点．
①连接、，设直线交线段于点，求的最大值；
②过点作于点，连接，是否存在点，使得中的，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023·湖北荆州·统考中考真题）已知：关于的函数．
(1)若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
(2)如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
4．（2023·四川巴中·统考中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和，其顶点的横坐标为．
(1)求抛物线的表达式．
(2)若直线与轴交于点，在第一象限内与抛物线交于点，当取何值时，使得有最大值，并求出最大值．
(3)若点为抛物线的对称轴上一动点，将抛物线向左平移个单位长度后，为平移后抛物线上一动点．在（）的条件下求得的点，是否能与、、构成平行四边形？若能构成，求出点坐标；若不能构成，请说明理由．
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