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22.2《二次函数与一元二次方程》
分层练习
考查题型一 利用函数图象确定不等式的解集
1．（2023·山东济宁·统考一模）如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据图像解答即可．
【详解】解：由图象可知，当时，x的取值范围．
故选C．
【点睛】本题考查了利用函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键．
2．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与轴的另一个交点坐标为，然后结合二次函数图象，写出抛物线在轴上方所对应的自变量的范围即可．
【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，
抛物线开口向下，
当时，．
故选：C．
【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数的性质以及图象法解一元二次方程．
3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期末）如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
【答案】A
【分析】由求不等式的解集即求二次函数的图象在x轴上方时x的取值范围，再结合图象即可得出答案．
【详解】解：∵求不等式的解集即求二次函数的图象在x轴上方时x的取值范围，
又∵当时，二次函数的图象在x轴上方，
∴不等式的解集为．
故选：A．
【点睛】本题考查图象法解一元二次不等式．利用数形结合的思想是解题关键．
4．（2022·辽宁葫芦岛·统考二模）图示为抛物线y＝ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x＝2，若其与x轴的一交点为B（6，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．x＞6 B．0＜x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6
【答案】D
【分析】由抛物线与x轴的一个交点（6，0）和对称轴x=2可以确定另一交点坐标为（-2，0），又＞0时，图象在x轴上方，由此可以求出x的取值范围．
【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点（6，0）
而对称轴x＝2
∴抛物线与x轴的另一交点（﹣2，0）
当＞0时，图象在x轴上方
此时x＜﹣2或x＞6
故选D
【点睛】本题考查的是二次函数与不等式的关系，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，本题锻炼了学生数形结合的思想方法．
考查题型二 利用不等式求自变量或函数值的范围
1．（2023·湖南岳阳·统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点旋转后得到抛物线，在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意先求得旋转后的抛物线的解析式，然后确定旋转后的抛物线的开口方向和对称轴，最后根据在旋转后的抛物线上，当时，随的增大而增大，可得到关于的不等式，从而求解得的取值范围．
【详解】∵由题意得旋转后的抛物线的解析式为：，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，
∵在抛物线上，当时，随的增大而增大，
∴可得：，
解得：，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的图象与性质及函数图象的变换，确定旋转后的函数解析式是解题的关键．
2．（2023·福建福州·福建省福州杨桥中学校考模拟预测）点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据列出关于m的不等式即可解得答案．
【详解】解：∵点，都在二次函数的图象上，
∴，
，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是根据已知列出关于m的不等式．
3．（2023·江苏镇江·校联考一模）在二次函数图像上的两点、，若，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将、代入二次函数求解即可．
【详解】将、代入二次函数，
∴，，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式．
4．（2022秋·浙江温州·九年级统考期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（ ）
A． B．y≤2 C．y＜2 D．y≤3
【答案】A
【分析】根据待定系数求解析式，进而求得顶点坐标，即的最大值，进而即可求得答案
【详解】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c图象的对称轴为，与轴的交点为，与轴的一个交点为，
∴另一交点为
设抛物线解析式为，将点代入得
解得
抛物线解析式为
则顶点坐标为
当x＞0时，函数值y的取值范围是
故选A
【点睛】本题考查了待定系数法求抛物线解析式，化为顶点式是解题的关键．
考查题型三 根据交点确定不等式的解集
1．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】根据已知图象，确定交点横坐标,再找出直线在抛物线上方的部分，即可得到答案．
【详解】解：由图象可知，抛物线与直线交点的横坐标分别为0、3，
当时，直线在抛物线上方，
不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与不等式的关系，利用数形结合的思想解决问题是解题关键．
2．（2023·吉林长春·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点和点．若点的横坐标是3，则的解集为 ．
【答案】/
【分析】根据题意可得是方程的一个解，据此求出，则不等式可以化简为，由此求解即可．
【详解】解：∵抛物线和直线交于点和点，点的横坐标是3，
∴是方程的一个解，
∴，
∴，
∴即为，
∴
∵抛物线开口向上，
∴，
∴，即，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式，二次函数与一元二次方程，正确推出是解题的关键．
3．（2023·广西梧州·统考一模）如图，直线与抛物线交于两点，则关于x的不等式的解集是 .
【答案】
【分析】根据题意得出当时，则，进而结合函数图象得出x的取值范围．
【详解】解：根据题意得出当时，则，
则从图象看，关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，解答该题时，要具备很强的读图能力．
4．（2022秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，则关于x的不等式的解集为 ．
【答案】
【分析】找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可．
【详解】解：由图象可知，关于x的不等式的解集为，
故答案为：．
【点睛】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在下方的部分对应的函数值较小．
考查题型四 抛物线与X轴的交点问题
1．已知二次函数，其与x轴有 个交点．
【答案】2/两
【分析】二次函数的图象与x轴交点个数只需要判断方程根的情况，也就是判断即可．
【详解】当时，
∵
∴方程有两个不相等的实数根
∴二次函数与x轴有两个交点
故答案为：2
【点睛】本题考查二次函数与一元二次方程得关系，二次函数与x轴交点问题转换成求是解题的关键．
2．（2023·江苏镇江·统考二模）二次函数的图像与x轴只有一个交点，则 ．
【答案】1
【分析】根据二次函数的图像与x轴只有一个交点，得，求解即可．
【详解】解：∵二次函数的图像与x轴只有一个交点，
∴，即，
解得：
故答案为：1．
【点睛】本题考查二次函数与x轴交点问题，熟练掌握“二次函数与x轴有两个交点，则；二次函数与x轴只有一个交点，则；二次函数与x轴无交点，则”是解题的关键．
3．（2023·山东青岛·统考三模）已知关于x的函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是______．
【答案】
【分析】由于函数是二次函数还是一次函数不能确定，故应分类讨论，即当时，此函数是一次函数，由一次函数的性质可知函数图象与x轴有交点：当时，根据的取值范围即可判断．
【详解】解：当，即时，此函数可化为，此函数为一次函数与x轴必有交点；
当，即时，，
解得且，综上所述，m的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点问题及一次函数的性质，解答此题时一定要分函数是一次函数与二次函数两种情况讨论．
4．（2023·山东淄博·校考二模）若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ．
【答案】或
【分析】根据和两种情况，根据一次函数的性质、二次函数与方程的关系解答．
【详解】解：当，即时，函数解析式为：是一次函数，图象与x轴有且只有一个交点，
当即时，函数为二次函数，
∵函数的图象与x轴有且只有一个交点，
∴有1个实数根，
∴，
解得．
故答案为：或．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，以及二次函数与x轴的交点问题，掌握二次函数与一元二次方程的关系、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．
考查题型五 求抛物线与X轴的交点坐标
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模）抛物线与轴交点坐标为 ．
【答案】
【分析】令，求出x的值，进而抛物线与x轴的交点坐标．
【详解】解：令，即，
解得
则抛物线与x轴的交点坐标为,
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，是基础题，掌握抛物线与坐标轴的交点的求法是解题的关键．
2．（2022秋·广东肇庆·九年级校考期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ．
【答案】或
【分析】把代入，即可求出与x轴的交点坐标．
【详解】解：令代入，
得
解得，
所以抛物线与x轴的交点坐标为或，
故答案为：或．
【点睛】本题是对二次函数与坐标轴交点的考查，令，可求抛物线与x轴的交点坐标，掌握交点的求法是解题关键．
3．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）二次函数的图象与直线的交点坐标是 ．
【答案】
【分析】联立两个函数解析式求解即可．
【详解】解：由题意，得
，
解得，
∴次函数的图象与直线的交点坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次函数与直线的交点问题，联立函数解析式求解是解答本题的关键．
4．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）二次函数的图象交x轴于点A，B．则点的距离为 ．
【答案】10
【分析】令，可得方程，解方程即可求解．
【详解】解：令，则，
解得，，
∴，，
∴．
故答案为：10．
【点睛】本题考查了二次函数与x轴交点坐标的问题，掌握一元二次方程的求解方法是解答本题的关键．
考查题型六 求X轴与抛物线的截线长
1．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）已知抛物线经过点和点，
(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，再把解析式化为顶点式，即可求解；
（2）令，可得，即可求解．
【详解】（1）解：把点和点代入得：
，
解得：，
∴这个抛物线的解析式为，
∵，
∴这个抛物线的顶点坐标为；
（2）解：当时，，
解得：，
∴抛物线与x轴两个交点坐标为，
∴抛物线与x轴两个交点之间的距离为．
【点睛】本题主要考查了求二次函数的解析式，抛物线与x轴的交点问题，利用待定系数法求出抛物线的解析式是解题的关键．
2．（2022秋·山东德州·九年级统考期中）抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．
(1)求线段的长；
(2)判断的形状．
【答案】(1)2
(2)等腰直角三角形
【分析】（1）根据题意，可以求出点和点的坐标，从而可以得到的长；
（2）先求出点的坐标，再根据勾股定理可以得到和的长，再根据勾股定理的逆定理即可判断的形状．
【详解】（1）解：抛物线，
当时，，
抛物线与轴交于、两点在的右侧），
点的坐标为，点的坐标为，
，
即线段的长为2；
（2）抛物线，
当时，，
抛物线与轴交于点，
点的坐标为，
又点的坐标为，点的坐标为，
，，，
，，
是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点、二次函数的性质、勾股定理、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和勾股定理的逆定理解答．
3．（2022秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）已知抛物线．
(1)求出它的顶点坐标和对称轴；
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
【答案】(1)，对称轴为x=1
(2)
【分析】（1）将解析式化为顶点式即可求解；
（2）令，解方程得交点坐标，进而即可求解．
【详解】（1）解：
∴顶点坐标为；对称轴为x=1；
（2）解：令，即，
解得，
∴的长为．
【点睛】本题考查了二次函数的性质，抛物线与轴的截线的长，掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=2x2-4x-6．
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A、B，且它的顶点为点P，求△ABP的面积．
【答案】（1）见解析；（2）16．
【分析】（1）根据b2-4ac与0的关系即可判断出二次函数y=2x2-4x-6的图象与x轴交点的个数；
（2）先求出抛物线y=2x2-4x-6与x轴的两个交点A、B的坐标，再求出顶点P的坐标，根据三角形的面积公式即可得出结论．
【详解】（1）证明：△=b2-4ac
=（-4）2-4×2×（-6）
=64
∵△＞0，
∴该抛物线一定与x轴有两个交点．
（2）当y=0时得：2x2-4x-6=0
解得：x1=-1，x2=3
即A（-1，0），B（3，0），
∴AB=4，
∵y=2x2-4x-6=2（x2-2x）-6=2 (x-1)2-8
∴P(1，-8)
∴△ABP的面积=
【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，可以通过判别式△的符号判断抛物线与x轴的交点个数，当△＞0时，抛物线与x轴有两个不同交点，当△=0时，有一个交点，即顶点在x轴上，当△＜0，抛物线与x轴没有交点．
1．（2023·山西大同·校联考三模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)当的面积等于的面积的时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)3
(3)存在，或或或
【分析】（1）令和求解即可；
（2）过点C作交的延长线于F，首先求出，求出直线BC的函数表达式为：，得到，，然后根据列方程求解即可；
（3）首先得到，然后设，，然后根据题意分3种情况讨论：是平行四边形的边，是平行四边形的边，是平行四边形的对角线，分别根据平行四边形的性质列方程求解即可．
【详解】（1）由，得．
解，得，．
∴点A，B的坐标分别为，，
由，得．
∴点C的坐标为．
（2）如图，过点D作轴于E，交BC于G，
过点C作交的延长线于F．
∵点A的坐标为，点C的坐标为．
∴，．
∴．
∴．
∵点B的坐标为，点C的坐标为，
设直线BC的函数表达式为．则．解得
∴直线BC的函数表达式为：．
∵点D的横坐标为，
∴点D的坐标为，点G的坐标为：．
∴，，．
∴
∴．
解得：（不合题意舍去），，
∴m的值为3．
（3）将代入
∴，
设，，
∵，
∴如图所示，当是平行四边形的边时，
∴由平行四边形的性质可得，
，解得或
∴点M的坐标为或；
当是平行四边形的边时，
∴由平行四边形的性质可得，
，解得或（不合题意，应舍去）
∴点M的坐标为；
如图所示，当是平行四边形的对角线时，
∴由平行四边形的性质可得，
，解得或（不合题意，应舍去）
∴点M的坐标为；
综上所述，点M的坐标为或或或．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及了待定系数法、三角形的面积、解一元二次方程、平行四边形的性质等知识，运用了数形结合思想、分类讨论思想等数学思想，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图1，连接，，点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)如图2，直线l：与抛物线交于点E，F（点E在点F的左边），与抛物线的对称轴交于点N，直线交直线l于点M（点M在点E的左边），使恒成立，求t的值．
【答案】(1)，，
(2)或
(3)4
【分析】（1）分别把、代入解析式求解即可；
（2）① 如图（1），当P点在第三象限时记为，过点B作交于D点，过D点作，证明，可得，，从而可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再联立抛物线，可得，进行求解即可；②如图（2），当P点在第二象限时记为，在上取一点F，使得，
过点F作，且，过点G作，连接，证明，可得，，从而可得，利用待定系数法求得直线的解析式为，再联立抛物线，可得，再进行求解即可；
（3）如图，直线交对称轴于H，过点E作于点T，于点P，过F作于点G，根据平行线段成比例可得，，由，可得，求得，从而可得，整理得，再联立方程组得 ，可得，，再代入求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线交y轴于点C，
∴当时，，
∴，
∵抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），
∴当时，解得：，，
∴，．
（2）解：①如图（1），当P点在第三象限时记为，过点B作交于D点，过D点作，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴D点坐标为，
设直线的解析式为，
将代入得，，
∴直线的解析式为，
联立抛物线，得：，解得：（舍），，
∴点坐标为；
②如图（2），当P点在第二象限时记为，在上取一点F，使得，
过点F作，且，过点G作，连接，
∵，且，
∴，
∵，且，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴G点坐标为，
设直线的解析式为，
将G点坐标为代入，可得：，
∴直线的解析式为，
联立抛物线，得：，解得：（舍），，
即：点坐标为，
综上所得：P点坐标为或．
（3）解：如图，直线交对称轴于H，过点E作于点T，于点P，过F作于点G，则，，
∵，
∴，
∵直线交直线于点M，
∴，
∵对称轴，
∴，整理得：，
∵联立方程组得：，即，
∴，，
∴，解得：．
【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点、用待定系数法求一次函数解析式、全等三角形的判定与性质、解一元二次方程、平行线分线段成比例定理、一次函数与二次函数交点、一元二次方程的系数与根的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．
3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，抛物线 与x轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在直线下方运动，且满足时，求点的坐标；
(3)设的面积为，当为某值时，满足条件的点有且只有三个，不妨设为，，，求的面积．
【答案】(1)
(2)的坐标为
(3)
【分析】（1）待定系数法求解析式；
（2）作关于轴的对称点，连接，根据，关于轴对称，则，结合已知条件得出'，得出，求得直线的解析式为，直线解析式为，联立抛物线解析式，进而即可求解．
（3）过点作轴交直线于点，过作轴交于，求得直线解析式为，设，则，当在下方时，，此时，当在上方时，，得出，进而求得直线解析式为，得出，则，进而根据三角形面积公式即可求解．
【详解】（1）解：把，代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）作关于轴的对称点，连接，如图：
在中，令得，
，
，关于轴对称，
，，
，
'，
，
由，，
设直线的解析式为，
则，
解得：
直线的解析式为，
设直线解析式为，把，代入得：
，
直线解析式为，
联立得：
或，
的坐标为；
（3）过点作轴交直线于点，过作轴交于，如图：
由，，，
设直线的解析式为，
则
解得：
直线解析式为
设，则
当在下方时，，
，
，
当时，取最大值，
此时；
当在上方时，
，
解得或
设直线的解析式为，
，
解得：，
直线解析式为，
在，令得，
，
，
的面积为，
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，角度问题，面积问题，扎实的计算是解题的关键．
4．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点为，对称轴为直线，交轴于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)点是抛物线上的动点，过点作轴于点，点在轴上，且点在点上方，是否存在这样的点、，使得以点、、为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点、的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)存在，、或、或、或、
【分析】（1）根据题意，令，解方程即可得到，，将一般式化为顶点式即可得到定点坐标；
（2）作出图形，根据题意，要求以点、、为顶点的三角形与全等，找出等边或者等角，分类讨论：①与是对应边；②与是对应边，列方程求解即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于、两点，
令，则，解得，，
∴，，
∵抛物线，
∴；
（2）解：如图所示：
∵，
对称轴，
∴交轴于点，则，，
根据题意可得，若以点、、为顶点的三角形与全等，则点与点是对应点，
设点的坐标为，则，
①当与是对应边时，则，，即，
∴或，
当时，；
当时，；
∴、，、；
②当与是对应边时，则，，即，
∴或，
当时，；
当时，；
具体情况，如图所示：
∴、，、，
综上所述，存在这样的点、，使得以点、、为顶点的三角形与全等，点、的坐标为、或、或、或、．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及二次函数图像与坐标轴的交点坐标、二次函数中三角形全等问题，熟练掌握二次函数图像与性质，理解二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．
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22.2《二次函数与一元二次方程》
分层练习
考查题型一 利用函数图象确定不等式的解集
1．（2023·山东济宁·统考一模）如图是二次函数和一次函数的图像，观察图像写出时，x的取值范围（ ）
A． B． C． D．
2．（2023春·四川内江·九年级校考阶段练习）抛物线的部分图象如图所示，则当时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考期末）如图，由二次函数的图象可知，不等式的解集是（ ）
A． B． C．或 D．
4．（2022·辽宁葫芦岛·统考二模）图示为抛物线y＝ax2+bx+c的一部分，其对称轴为直线x＝2，若其与x轴的一交点为B（6，0），则由图象可知，不等式ax2+bx+c＞0的解集是（ ）
A．x＞6 B．0＜x＜6 C．﹣2＜x＜6 D．x＜﹣2或x＞6
考查题型二 利用不等式求自变量或函数值的范围
1．（2023·湖南岳阳·统考二模）在平面直角坐标系中，将抛物线：绕原点旋转后得到抛物线，在抛物线上，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·福建福州·福建省福州杨桥中学校考模拟预测）点，都在抛物线上．若，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·江苏镇江·校联考一模）在二次函数图像上的两点、，若，则t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022秋·浙江温州·九年级统考期末）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，当x＞0时，函数值y的取值范围是（ ）
A． B．y≤2 C．y＜2 D．y≤3
考查题型三 根据交点确定不等式的解集
1．（2023·云南昆明·统考二模）如图，在平面直角坐标中，抛物线和直线交于点和点，则不等式的解集为 ．
2．（2023·吉林长春·校联考三模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线和直线交于点和点．若点的横坐标是3，则的解集为 ．
3．（2023·广西梧州·统考一模）如图，直线与抛物线交于两点，则关于x的不等式的解集是 .
4．（2022秋·河南信阳·九年级校考阶段练习）如图，一次函数与二次函数的图象相交于、两点，则关于x的不等式的解集为 ．
考查题型四 抛物线与X轴的交点问题
1．已知二次函数，其与x轴有 个交点．
2．（2023·江苏镇江·统考二模）二次函数的图像与x轴只有一个交点，则 ．
3．（2023·山东青岛·统考三模）已知关于x的函数的图象与x轴有交点，则m的取值范围是______．
4．（2023·山东淄博·校考二模）若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值为 ．
考查题型五 求抛物线与X轴的交点坐标
1．（2023·黑龙江哈尔滨·哈尔滨德强学校校考一模）抛物线与轴交点坐标为 ．
2．（2022秋·广东肇庆·九年级校考期中）抛物线与x轴的交点坐标为 ．
3．（2023秋·河南信阳·九年级统考期末）二次函数的图象与直线的交点坐标是 ．
4．（2023·山东枣庄·校考模拟预测）二次函数的图象交x轴于点A，B．则点的距离为 ．
考查题型六 求X轴与抛物线的截线长
1．（2023秋·浙江金华·九年级统考期末）已知抛物线经过点和点，
(1)求这个抛物线的解析式及顶点坐标．
(2)求抛物线与x轴两个交点之间的距离．
2．（2022秋·山东德州·九年级统考期中）抛物线与x轴交于A、B两点（A在B的右侧），与y轴交于点C．
(1)求线段的长；
(2)判断的形状．
3．（2022秋·广东东莞·九年级校考阶段练习）已知抛物线．
(1)求出它的顶点坐标和对称轴；
(2)若抛物线与x轴的两个交点为A、B，求线段AB的长．
4．（2022秋·安徽蚌埠·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=2x2-4x-6．
（1）求证：该抛物线与x轴一定有两个交点；
（2）若该抛物线与x轴的两个交点分别为点A、B，且它的顶点为点P，求△ABP的面积．
1．（2023·山西大同·校联考三模）综合与探究：如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点D是抛物线上一个动点，设点D的横坐标为，连接．
(1)求A，B，C三点的坐标；
(2)当的面积等于的面积的时，求m的值；
(3)在（2）的条件下，若点M是x轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试探究是否存在这样的点M，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形．若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·湖北武汉·统考模拟预测）抛物线交x轴于A，B两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．
(1)直接写出点A，B，C的坐标；
(2)如图1，连接，，点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)如图2，直线l：与抛物线交于点E，F（点E在点F的左边），与抛物线的对称轴交于点N，直线交直线l于点M（点M在点E的左边），使恒成立，求t的值．
3．（2023·四川南充·四川省南充高级中学校考二模）如图，抛物线 与x轴交于，两点，与轴交于点，点是抛物线上一动点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)若点在直线下方运动，且满足时，求点的坐标；
(3)设的面积为，当为某值时，满足条件的点有且只有三个，不妨设为，，，求的面积．
4．（2023·陕西咸阳·统考三模）如图，抛物线与轴交于、两点，抛物线的顶点为，对称轴为直线，交轴于点．
(1)求点、、的坐标；
(2)点是抛物线上的动点，过点作轴于点，点在轴上，且点在点上方，是否存在这样的点、，使得以点、、为顶点的三角形与全等，若存在，请求出点、的坐标；若不存在，请说明理由．
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