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22.3《实际问题与二次函数》
分层练习
考查题型一 销售问题
1．（2022·辽宁·统考中考真题）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x（元） …… 20 22 24 ……
日销售量y（千克） …… 66 60 54 ……
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
【答案】(1)y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126
(2)当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【分析】（1）运用待定系数法求解即可；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，然后根据总利润等于每千克的利润×销售量，然后根据二次函数的性质解答即可．
【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为y＝kx+b（k≠0），
由表中数据得：，
解得：，
∴y与x之间的函数关系式为y＝﹣3x+126；
（2）设批发商每日销售这批山野菜所获得的利润为w元，
由题意得：w＝（x﹣18）y＝（x﹣18）（﹣3x+126）＝﹣3x2+180x﹣2268＝﹣3（x﹣30）2+432，
∵市场监督部门规定其售价每千克不高于28元，
∴18≤x≤28，
∵﹣3＜0，
∴当x＜30时，w随x的增大而增大，
∴当x＝28时，w最大，最大值为420，
∴当每千克山野菜的售价定为28元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大，最大利润为420元．
【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式以及二次函数的性质．
2．（2022·广西贺州·统考中考真题）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
【答案】(1)；
(2)每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
【分析】（1）根据 “该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．”列出函数关系式，即可求解；
（2）根据利润等于每件的利润乘以销售量，可得到函数关系式，再利用二次函数的性质，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意，得
与x之间的函数关系式是．
（2）解：根据题意，得
∴抛物线开口向下，W有最大值
当时，
答：每套售价为91元时，每天销售套件所获利润最大，最大利润是6498元．
【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，二次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．
3．（2022·山东滨州·统考中考真题）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【答案】(1)
(2)价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元
【分析】（1）设，把，和，代入求出k、b的值，从而得出答案；
（2）根据总利润=每件利润×每月销售量列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得答案．
【详解】（1）解：设，把，和，代入可得
，
解得，
则；
（2）解：每月获得利润
．
∵，
∴当时，P有最大值，最大值为3630．
答：当价格为21元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为3630元．
【点睛】本题主要考查了一次函数解析式的求法和二次函数的应用，解题的关键是理解题意找到其中蕴含的相等关系，并据此得出函数解析式及二次函数的性质，然后再利用二次函数求最值．
4．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
【答案】(1)种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元
(2)当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元
【分析】（1）根据已知数量关系列二元一次方程组，即可求解；
（2）设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，列出关于的函数关系式，求出函数的最值即可．
【详解】（1）解：设种品牌粽子每袋的进价是元，种品牌粽子每袋的进价是元，
根据题意得，，
解得，
故种品牌粽子每袋的进价是25元，种品牌粽子每袋的进价是30元；
（2）解：设品牌粽子每袋的销售价降低元，利润为元，
根据题意得，
，
∵，
∴当品牌粽子每袋的销售价降低10元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大，最大利润是980元．
【点睛】本题考查二次函数和二元一次方程的实际应用，根据已知数量关系列出函数解析式和二元一次方程组是解题的关键．
考查题型二 图形问题
1．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．
【答案】(1)AB的长为8厘米或12厘米．
(2)150
【分析】（1）设AB的长为x厘米，则有厘米，然后根据题意可得方程，进而求解即可；
（2）由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S，则有，然后根据二次函数的性质可进行求解．
【详解】（1）解：设AB的长为x厘米，则有厘米，由题意得：
，
整理得：，
解得：，
∵，
∴，
∴都符合题意，
答：AB的长为8厘米或12厘米．
（2）解：由（1）可设矩形框架ABCD的面积为S平方厘米，则有：
，
∵，且，
∴当时，S有最大值，即为；
故答案为：150．
【点睛】本题主要考查一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是找准题干中的等量关系．
2．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）如图，已知二次函数与轴交于、两点（点位于点的左侧），与轴交于点，已知的面积是6．
（1）求的值；
（2）在抛物线上是否存在一点，使．存在请求出坐标，若不存在请说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，点的坐标为或或．
【分析】（1）根据求出A,B,C的坐标，再由的面积是6得到关于a的方程即可求解；
（2）根据得到点的纵坐标为±3，分别代入解析式即可求解．
【详解】（1）∵，
令，则，
∴，
令，即
解得，
由图象知：
∴，
∵
∴
解得：，（舍去）；
（2）∵，
∴，
∵.
∴点的纵坐标为±3，
把代入得，
解得或，
把代入得，
解得或，
∴点的坐标为或或．
【点睛】此题主要考查二次函数的图像与性质，解题的关键是熟知待定系数法的应用．
3．（2023·陕西西安·校考二模）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB边的长为m，面积为ym2．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
【答案】（1）（1）.（）；（2）当x为时，小花园的面积最大，最大面积是
【分析】（1）首先根据矩形的性质，由花园的AB边长为x m，可得BC=(40-2x)m，然后根据矩形面积即可求得y与x之间的函数关系式，又由墙长25m，即可求得自变量的x的范围；
（2）用配方法求最大值解答问题．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，AD=BC，
∵AB=x m，
∴BC=(40-2x)m，
∴花园的面积为：y=AB BC=x (40-2x)=-2x2+40x，
∵40-2x≤25，x+x<40，
∴x7.5，x<20，
∴7.5≤x<20，
∴y与x之间的函数关系式为：y=-2x2+40x（7.5≤x<20）；
（2）∵ ，()
∴ 当时，．
答：当x为10m时，小花园的面积最大，最大面积是200m2．
【点睛】本题考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题的关键是明确题意，列出函数解析式．
4．（2023·广东肇庆·校考一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)求的面积最大值．
【答案】(1)抛物线的解析式为
(2)
(3)的面积最大值为
【分析】（1）把点，代入抛物线，利用待定系数法即可求解；
（2）根据抛物线的解析式，令，可求出抛物线与轴的交点，根据待定系数法即可求解；
（3）如图所示，过点作轴交于，设，则，用含的式子表示的面积，根据抛物线的顶点式即可求出最大值．
【详解】（1）解：将，代入，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为．
（2）解：令，则，解得，，
∴，且，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为．
（3）解：如图所示，过点作轴交于，
设，则，
∴，
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值为，
∴的面积最大值为．
【点睛】本题主要考查二次函数，一次函数的综合，掌握待定系数法求解析式，函数图像的性质特点及面积的计算方法是解题的关键．
考查题型三 拱桥问题
1．（2023·河南郑州·校考三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
【答案】(1)该抛物线的解析式；
(2)水面宽度为米．
【分析】（1）由题意可以写出A点坐标，设抛物线解析式为，把点A的坐标代入求出a，c的值即可；
（2）把代入抛物线解析式，求出对应函数值y，再把代入计算即可求解．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为，
∴桥下水面宽度为20米，拱顶距离水面高度为4米，
∴点，
∴，解得：，
∴该抛物线的解析式；
（2）解：∵船宽5米，
∴当时，，
若该渔船能安全通过，此时水面高为米，
∴当时，，
解得，
∴水面宽度为米．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式的运用，运用二次函数解实际问题的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
2．（2023·陕西西安·统考一模）图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)为迎接新年，管理部门在桥下以为水平距离对称的悬挂了11个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全．
【答案】(1)
(2)现在的悬挂方式是安全的，理由见解析
【分析】（1）根据题意得：顶点的坐标为，可设抛物线的表达式为：，再把代入，即可求解；
（2）根据题意可得最右侧灯笼悬挂点到点的水平距离，从而得到它的横坐标为，再代入（1）中解析式，即可求解．
【详解】（1）解：根据题意得：顶点的坐标为，
令抛物线的表达式为：，
将点代入得：，
解得：，
（2）解：由题意得：最右侧灯笼悬挂点到点的水平距离为：，
所以它的横坐标为，
当时，．
因为，
所以现在的悬挂方式是安全的．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键．
3．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽．
(1)求该抛物线表示的二次函数解析式；
(2)当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？
【答案】(1)
(2)水面宽度增加
【分析】（1）先求出，然后利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求出，．得到，由此即可得到答案．
【详解】（1）解：设该抛物线表示的二次函数解析式为，
∵，
∴抛物线经过点．
∴．
∴．
∴该抛物线表示的二次函数解析式为．
（2）解：∵当水面下降到达时，
∴．即．
∴．
∴，．
∴．
∴水面宽度增加．
【点睛】本题主要考查了二次函数的实际应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键．
4．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度．
【答案】米
【分析】以的中垂线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出坐标，设出抛物线的解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令，求出的值即可．
【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系．
此时，抛物线与x轴的交点为C(-100,0), D(100,0)．
设这条抛物线的解析式为
∵ 抛物线经过点B (50,150)，)
可得
解得．
∴．
顶点坐标是（0，200）
∴ 拱门的最大高度为200米．
【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，解题关键是正确建立坐标轴和熟练掌握待定系数法求解析式．
考查题型四 投球问题
1．（2023·河南周口·统考三模）科技进步促进了运动水平的提高．某运动员练习定点站立投篮，他利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．图1所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知篮球每一次投出时的出手点到地面的距离都为．当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守队员前来盖帽，已知防守队员的最大摸球高度为3.05m，则他应在运动员前面什么范围内跳起拦截才能盖帽成功？
【答案】(1)
(2)应在运动员前面范围内跳起拦截才能盖帽
【分析】（1）根据题意得出，，设，待定系数法求解析式即可求解．
（2）根据题意，令，解方程即可求解．
【详解】（1）解：∵到地面的距离都为．当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为
∴，，
设抛物线解析式为，
将点代入得，，
解得：，
∴抛物线解析式为，
（2）将代入解析式，，
解得：或（舍去），
答：应在运动员前面范围内跳起拦截才能盖帽．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
2．（2020秋·广东中山·九年级中山市华侨中学校考期中）如图，某足球运动员站在点处练习射门，将足球从离地面的处正对球门踢出（点在轴上），足球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系，已知足球飞行时，离地面的高度为．
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，已知球门的高度为，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为，他能否将球直接射入球门？
【答案】(1)飞行的时间是2秒时，足球离地面最高，最大高度是米
(2)不能
【分析】（1）由题意得：函数的图象经过，，于是得到，求得抛物线的解析式为：，即可得到最值；
（2）把代入得，当时，，于是得到他不能将球直接射入球门．
【详解】（1）解：由题意得：函数的图象经过，，
，
解得：，
抛物线的解析式为：，
当时，，
∴飞行的时间是2秒时，足球离地面最高，最大高度是米；
（2）把代入得，
当时，，
他不能将球直接射入球门．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，以及二次函数的应用，正确求得解析式是解题的关键．
3．（2023·河南洛阳·统考二模）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分17分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
【答案】(1)
(2)该生在此项考试中得不到满分，理由见解析
【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，且过点，设抛物线解析式为，将代入，求解即可；
（2）将代入抛物线解析式，求得，即可判断．
【详解】（1）解：（1）根据题意可得抛物线的顶点坐标为，且过点，
设y关于x的函数表达式为：，
把代入解析式得：
解得：，
∴所求解析式：；
（2）解：该生在此项考试中得不到满分，理由：
当，则，
解得：，（舍去），
∵，
∴该生在此项考试中得不到满分．
【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，理解题意，正确求得函数解析式．
4．（2023·河南三门峡·统考一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
【答案】(1)
(2)小丽的判断是正确的，计算过程见解析
(3)张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功
【分析】（1）由题意可知，抛物线的顶点坐标为，球出手时的坐标为，设抛物线的解析式为，由待定系数法求解即可；
（2）求得当时的函数值，与比较即可说明小丽判断的正确性；
（3）将代入函数的解析式求得x的值，进而得出答案．
【详解】（1）抛物线顶点坐标为，
设抛物线的解析式为．
把代入，得．
；
（2）把代入抛物线解析式
得．
，
此球不能投中，小丽的判断是正确的．
（3）当时，，
解之，得或．
，．
答：张亮应在李明前面1米范围内处跳起拦截才能盖帽成功．
【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
考查题型五 喷水问题
1．（2023·甘肃兰州·统考一模）如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图．
(1)求表示该抛物线的函数表达式：
(2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．
【答案】(1)抛物线函数表达式为或
(2)m
【分析】（1）根据顶点坐标，设该抛物线的函数表达式为,由题意得，该抛物线经过点，待定系数法求解析式即可求解．
（2）当时，代入解析式，解得．
【详解】（1）解：由于点为抛物线的顶点，
因此可设该抛物线的函数表达式为，
由题意得，该抛物线经过点，可得，
解得，
∴该抛物线函数表达式为或．
（2）当时，，解得．
答：柱形喷水装置的高度为m．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，根据题意求得解析式是解题的关键．
2．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
(1)求喷出的水流最高处距离地面多少米？
(2)若喷水池的半径为，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
【答案】(1)喷出的水流最高处距离地面4米；
(2)喷出的水流不会落在池外．理由见解析
【分析】（1）求得抛物线的顶点坐标即可求得最大高度；
（2）令，则可以求得最大水平距离．
【详解】（1）解：，
∵，
∴当时，y最大，
最大值为，
∴喷出的水流最高处距离地面4米；
（2）解：令，则，
整理得，即，
解得或（舍去），
∵，
∴喷出的水流不会落在池外．
【点睛】本题主要考查二次函数在生活中的实际应用，掌握抛物线顶点、与x轴交点的实际意义是解题的关键．
3．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系（单位长度为），点A在轴上，水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．
(1)求喷水管高．
(2)身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？
【答案】(1)
(2)不会
【分析】（1）当时，代入求解即可；
（2）令，得出y值，与身高比较即可．
【详解】（1）解：当时，，
∴点A的坐标为，
∴喷水管高高．
（2）对于，
令，则，
∴小明不会被水喷到．
【点睛】题目主要考查二次函数的应用，理解题意，求出相应的函数值比较是解题关键．
4．（2022秋·广西百色·九年级统考期中）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上如图1，建立直角坐标系如图2，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间的关系式是．
(1)求喷出的水流距水平面的最大高度；
(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
【答案】(1)2.25米
(2)2.5米
【分析】（1）把抛物线解析式的化成顶点式，求顶点坐标，即可求解；
（2）求出抛物线与x轴的交点，即可解决问题．
【详解】（1）解：，
顶点是，
故喷出的水流距水面的最大高度是2.25米；
（2）解：解方程，
得，，
点坐标为，
．
故不计其他因素，水池的半径至少要2.5米，才能使喷出的水流不至于落在水池外．
【点睛】本题考查抛物线的实际应用，解题词关键是掌握抛物线顶点，与轴交点的实际意义．
考查题型六 增长率问题
1．（2022秋·河北保定·九年级统考期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用经过两次降价后的价格原价每次降价的百分率，即可找出与之间了函数关系式；
（2）根据该芯片经过两次降价后每块芯片单价为元，即可得出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．
【详解】（1）∵每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）
∴依题意得：，
∴与之间的函数关系式为；
（2）依题意得：，
解得：，（不符合题意，舍去），
∴每次降价的百分率为20%．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及二次函数关系式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，找出y关于x的函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
2．（2023·广东广州·校考二模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
【答案】（1）20%；（2）6125000（元）
【分析】（1）设平均增长率为x，根据题意列式求解即可；
（2）设多改造y户，最高投入费用为w元，根据题意列式，然后根据二次函数的性质即可求出最大值．
【详解】解：（1）设平均增长率为x，则x>0，
由题意得：，
解得：x=0.2或x=-2.2（舍），
答：该市这两年旧房改造户数的平均年增长率为20%；
（2）设多改造a户，最高投入费用为w元，
由题意得：，
∵a=-50，抛物线开口向下，
∴当a-50=0，即a=50时，w最大，此时w=612500元，
答：旧房改造申报的最高投入费用为612500元．
【点睛】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确读懂题意列出式子，然后根据二次函数的性质进行求解．
3．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
【答案】(1)
(2)①每件应张价5元；②每件涨价应为8元
【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，利用第三天的销售量=第一天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；
（2）①设每件应张价y元，则每件盈利（毛利润）为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润列方程求解即可；
②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，每天总纯利润为元，根据每天总纯利润要达到5100元，列方程求解即可．
【详解】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得： ， (不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元．
【点睛】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，设恰当未知数，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
4．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
【答案】（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；（2）A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时所需资金最少，最少为767万元
【分析】(1)设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，根据等量关系，列出方程，即可求解；
(2)设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元，列不等式，求出a的范围，再求出的函数解析式，进而可求出答案.
【详解】（1）设从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为x，
根据题意得：，
解得:，（舍去）.
答：从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为50%；
（2）设安装A型充电桩a个，则安装B型充电桩个，所需资金为万元.
根据题意，得:，
解得:，
，
∵，
∴随a的增大而减小.
∵a为整数，
∴当时，最小，最小值为（万元）.
此时，.
答：A、B两种型号充电桩分别安装66个，134个时，所需资金最少，最少为767万元.
【点睛】本题主要考查一次函数，二次函数以及一元一次不等式的实际应用，找到数量关系，列出函数解析式和一元一次不等式，是解题的关键.
1．（2023·四川成都·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，当存在时，求，运动多少秒使的面积最大，最大面积是多少？
(3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在下方的抛物线上存在一点，使？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)时，
(3)，
【分析】（1）把点、的坐标分别代入抛物线解析式，列出关于系数、的解析式，通过解方程组求得它们的值；
（2）设运动时间为秒．利用三角形的面积公式列出与的函数关系式．利用二次函数的图象性质进行解答；
（3）利用待定系数法求得直线的解析式为．由二次函数图象上点的坐标特征可设点的坐标为，．如图，过点作轴，交于点．结合已知条件和中的结果求得．则根据图形得到：，把相关线段的长度代入推知：．易求得，．
【详解】（1）解：把点、分别代入，得解得
∴该抛物线的解析式为：；
（2）解：方法一：设运动时间为秒，则，．
由题意得，点的坐标为．
在中，．
如图，过点作于点．
∴，
∴
∴，即解得．
∴
当存在时，．
∴当时，．
方法二：设运动时间为秒，则，，．
由题意得，点的坐标为．
∵，
∴
过点作于点．则，
∵，
∴
∴
∴当时，．
（3）解：方法一：设直线的解析式为．
把，代入，得解得
∴直线的解析式为．
∵点在抛物线上，
∴设点的坐标为
如图，过点作轴，交于点，则点的坐标为．
∴
当的面积最大时，，．
∴
而
∴．解得，．
∴，．
方法二：如图，过点作轴，交于点．
∵，，
∴
设，
∴，解得，．
∴，．
【点睛】本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有待定系数法求二次函数解析式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意该点的运动范围，即自变量的取值范围．
2．（2023·山东青岛·统考二模）如图1，在菱形中，、交于点E，厘米，点F在上，厘米．点P、Q分别从A、E两点同时出发，点P以k厘米/秒的速度沿向点E匀速运动，用时8秒到达点E；点Q以m厘米/秒的速度沿向点E匀速运动，设运动的时间为x秒，的面积为平方厘米，的面积为平方厘米．
(1)图2中的线段是与x的函数图象，则与x的函数关系式为________，m的值为________；
(2)图2中的抛物线是与x的函数图象，其顶点坐标是，求点P的速度及对角线的长；
(3)在图2中，点G是x轴正半轴上一点（，过G作垂直于x轴，分别交抛物线和线段于点M、N．
①直接写出线段的长在图1中所表示的意义；
②当时，求线段长的最大值．
【答案】(1)，；
(2)，；
(3)①线段的长表示与的差；②当时，线段长最大，最大值为．
【分析】（1）根据函数图象利用待定系数法求解的解析式即可，再根据面积求解的长，从而可得的值；
（2）由抛物线的顶点坐标是，可得当时，面积最大，最大为，此时，，可得，则，从而可得答案；
（3）①根据的长度等于两点纵坐标之差可得其含义；②由线段长为，而，再利用二次函数的性质可得答案．
【详解】（1）解：设，把代入可得：，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，，，
∴，解得：；
（2）∵抛物线的顶点坐标是，
设抛物线为：，
把代入可得：，
解得：，
∴抛物线为：；
当时，面积最大，最大为，
此时，，
∴，则，
∴，，
∴；
（3）①线段的长表示与的差；
②∵，，
∴线段长为
，而，
∴对称轴为直线，
∴当时，线段长最大，最大值为．
【点睛】本题考查的是菱形的性质，动点问题的函数图象，二次函数的性质，理解题意，建立函数模型是解本题的关键．
3．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图1，抛物线的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线解析式；
(2)点M是直线上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)如图2，，连接，将绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转得到，O、B、D的对应点分别为．若点两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，S的最大值为
(3)
【分析】（1）先求出点A坐标，再运用待定系数法求解即可；
（2）过M作y轴的平行线，与直线交于点N．先求出直线的解析式，待定点M，N的坐标，用m表示线段的长度，进而求出S的最大值；
（3）根据中心对称的性质，明确与平行且相等，待定点的坐标，代入抛物线解析式求解即可得出的坐标，而后运用中点公式求出中心的坐标即可．
【详解】（1）解：由，且可得，
设抛物线解析式为，
将代入解析式得，，解得，
∴抛物线解析式为．
（2）如图1，
设直线解析式为，
∵，
∴，
解得，
∴直线解析式为，
设，则，
则，
，
∴，
，
∴时，此时S最大，
∴四边形的最大面积．
（3）如图2中，旋转后，对应线段互相平行且相等，则与互相平行且相等．
∵，
设，则，
∵在抛物线上，则，
解得，，则的坐标为，
P是点和点的对称中心，
，，
∴．
【点睛】此题主要考查二次函数综合问题，会用待定系数法求解析式，能运用二次函数模型分析线段的最值问题，会运用旋转的性质合理的待定点的坐标并结合方程求解时解题的关键．
4．（2022·山东济南·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BD翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，设抛物线与y轴交于点Q，连接BQ、DQ，点P为抛物线上的一个动点(点P与点Q不重合)，且，请求出所有满足条件的点P的横坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)当点P的横坐标为3或或时，
【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；
（2）设对称轴与的交点为E，先求出点C，点E坐标，可求，，由折叠的性质可得的长，由勾股定理可求的长，即可求解；
（3）根据平行线间的距离相等，分两种情况讨论，若点Q，点P在的同侧时，若点P与点Q在的两侧时，结合图象及题意分别求解即可．
【详解】（1）解：将代入中，
可得，
∴，
∴；
（2）如图，设对称轴与的交点为E，
∵，，
∴对称轴为直线，
∴，
∵点D在抛物线的对称轴上，
∴，
∵将沿直线翻折得到，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点；
（3）如图，设交y轴于点F，
∵点，点，
设直线的解析式为，
代入得：，
解得：
∴直线解析式为：，
当时，
∴点，
∵抛物线的解析式为：与y轴交于点Q，
∴点，
直线经过点，，
设直线的解析式为，
代入得：，
解得：
∴直线解析式为：，
当时，
∴，
若点Q，点P在的同侧时，
∵，
∴点P与点Q到直线BD的距离相等，即，
∴设直线解析式为：，
∵点，
∴直线解析式为：，
∴，
∴（与点Q重合，舍去），（与点C重合，符合题意），
∴点P的横坐标为3；
若点P与点Q在的两侧时，
∵，
∴点P与点Q到直线的距离相等，
∵点，点，
∴，
在y轴上截取，过点H作的平行线交抛物线于点和，
∴，
∴
∴点H坐标，
∴直线解析式为：，
∴，
∴，
综上所述：当点P的横坐标为3或或时，．
【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，轴对称的性质及平行线间的距离相等等知识，综合性较强，有一定的难度．
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22.3《实际问题与二次函数》
分层练习
考查题型一 销售问题
1．（2022·辽宁·统考中考真题）某蔬菜批发商以每千克18元的价格购进一批山野菜，市场监督部门规定其售价每千克不高于28元．经市场调查发现，山野菜的日销售量y（千克）与每千克售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
每千克售价x（元） …… 20 22 24 ……
日销售量y（千克） …… 66 60 54 ……
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当每千克山野菜的售价定为多少元时，批发商每日销售这批山野菜所获得的利润最大？最大利润为多少元？
2．（2022·广西贺州·统考中考真题）2022年在中国举办的冬奥会和残奥会令世界瞩目，冬奥会和残奥会的吉祥物冰墩墩和雪容融家喻户晓，成为热销产品，某商家以每套34元的价格购进一批冰墩墩和雪容融套件，若该产品每套的售价是48元时，每天可售出200套；若每套售价提高2元，则每天少卖4套．
(1)设冰墩墩和雪容融套件每套售价定为x元时，求该商品销售量y与x之间的函数关系式；
(2)求每套售价定为多少元时，每天销售套件所获利润W最大，最大利润是多少元？
3．（2022·山东滨州·统考中考真题）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y是销售价格x（单位：元）的一次函数．
(1)求y关于x的一次函数解析式；
(2)当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
4．（2022·江苏淮安·统考中考真题）端午节前夕，某超市从厂家分两次购进、两种品牌的粽子，两次进货时，两种品牌粽子的进价不变．第一次购进品牌粽子100袋和品牌粽子150袋，总费用为7000元；第二次购进品牌粽子180袋和品牌粽子120袋，总费用为8100元．
(1)求、两种品牌粽子每袋的进价各是多少元；
(2)当品牌粽子销售价为每袋54元时，每天可售出20袋，为了促销，该超市决定对品牌粽子进行降价销售．经市场调研，若每袋的销售价每降低1元，则每天的销售量将增加5袋．当品牌粽子每袋的销售价降低多少元时，每天售出品牌粽子所获得的利润最大？最大利润是多少元？
考查题型二 图形问题
1．（2022·辽宁沈阳·统考中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．
(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？
(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．
2．（2020·黑龙江鹤岗·统考中考真题）如图，已知二次函数与轴交于、两点（点位于点的左侧），与轴交于点，已知的面积是6．
（1）求的值；
（2）在抛物线上是否存在一点，使．存在请求出坐标，若不存在请说明理由．
3．（2023·陕西西安·校考二模）为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形小花园ABCD，小花园一边靠墙，另三边用总长40m的栅栏围住，如下图所示．若设矩形小花园AB边的长为m，面积为ym2．
（1）求与之间的函数关系式；
（2）当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？
4．（2023·广东肇庆·校考一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点为直线上方抛物线上的动点，连接，直线与抛物线的对称轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线的解析式；
(3)求的面积最大值．
考查题型三 拱桥问题
1．（2023·河南郑州·校考三模）一座抛物线型拱桥如图所示，当桥下水面宽度为20米时，拱顶点O距离水面的高度为4米．如图，以点O为坐标原点，以桥面所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
(1)求抛物线的解析式；
(2)汛期水位上涨，一艘宽为5米的小船装满物资，露出水面部分的高度为3米（横截面可看作是长为5米，宽为3米的矩形），若它恰好能从这座拱桥下通过，求此时水面的宽度（结果保留根号）．
2．（2023·陕西西安·统考一模）图（1）是一座拱桥，图（2）是以左侧桥墩与水面接触点为原点建立的平面直角坐标系下，其抛物线形桥拱的示意图，经测量得水面宽度，拱顶到水面的距离为．
(1)求这条抛物线的函数表达式；
(2)为迎接新年，管理部门在桥下以为水平距离对称的悬挂了11个长为的灯笼，中间的灯笼正好悬挂在处，为了安全，要求灯笼的最低处到水面的距离不得小于．根据气象局预报，过年期间将会有一定量的降雨，桥下水面会上升，请通过计算说明，现在的悬挂方式是否安全．
3．（2022秋·辽宁大连·九年级统考期末）如图，是一个抛物线形拱桥，以拱顶O为坐标原点建立平面直角坐标系，当拱顶O离水面的高时，水面宽．
(1)求该抛物线表示的二次函数解析式；
(2)当水面下降到达时，求水面宽度增加多少？
4．（2023秋·北京通州·九年级统考期末）如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度．
考查题型四 投球问题
1．（2023·河南周口·统考三模）科技进步促进了运动水平的提高．某运动员练习定点站立投篮，他利用激光跟踪测高仪测量篮球运动中的高度．图1所示抛物线的一部分是某次投篮训练中篮球飞行的部分轨迹，建立如图2所示的平面直角坐标系．已知篮球每一次投出时的出手点到地面的距离都为．当球运行至点处时，与出手点的水平距离为，达到最大高度为．
(1)求该抛物线的表达式．
(2)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽，但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守队员前来盖帽，已知防守队员的最大摸球高度为3.05m，则他应在运动员前面什么范围内跳起拦截才能盖帽成功？
2．（2020秋·广东中山·九年级中山市华侨中学校考期中）如图，某足球运动员站在点处练习射门，将足球从离地面的处正对球门踢出（点在轴上），足球的飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间满足函数关系，已知足球飞行时，离地面的高度为．
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，已知球门的高度为，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为，他能否将球直接射入球门？
3．（2023·河南洛阳·统考二模）掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．如图①是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系如图②所示，掷出时起点处高度为2m，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)根据该市2023年中考体育考试评分标准（男生），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分17分．按此评分标准，该生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
4．（2023·河南三门峡·统考一模）如图，在某中学的一场篮球赛中，李明在距离篮圈中心（水平距离）处跳起投篮，球出手时离地面，当篮球运行的水平距离为时达到离地面的最大高度．已知篮球在空中的运行路线为一条抛物线，篮圈中心距地面．
(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求篮球运动路线所在抛物线的函数解析式；
(2)场边看球的小丽认为，李明投出的此球不能命中篮圈中心．请通过计算说明小丽判断的正确性；
(3)在球出手后，未达到最高点时，被防守队员拦截下来称为盖帽．但球到达最高点后，处于下落过程时，防守队员再出手拦截，属于犯规．在（1）的条件下，防守方球员张亮前来盖帽，已知张亮的最大摸球高度为，则他应该在李明前面多少米范围内跳起拦截才能盖帽成功？
考查题型五 喷水问题
1．（2023·甘肃兰州·统考一模）如图为某居民小区计划修建的圆形喷水池的效果图，在池中心需安装一个柱形喷水装置，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高高度为．水柱落地处离池中心的水平距离为．小刚以柱形喷水装置与地面交点为原点，原点与水柱落地处所在直线为轴，柱形喷水装置所在的直线为轴，建立平面直角坐标系．水柱喷出的高度y()与水平距离x()之间的函数关系如图．
(1)求表示该抛物线的函数表达式：
(2)若不计其他因素，求柱形喷水装置的高度．
2．（2022秋·浙江杭州·九年级统考期末）要修建一个圆形喷水池，在池中央竖直安装一个柱形喷水装置，顶端安有一个喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是．
(1)求喷出的水流最高处距离地面多少米？
(2)若喷水池的半径为，请判断喷出的水流会不会落在池外，并说明理由．
3．（2022秋·江苏盐城·九年级校考期中）某游乐场的圆形喷水池中心有一喷水管，从点A向四周喷水，喷出的水柱为抛物线，且形状相同．如图，以水平方向为轴，点为原点建立平面直角坐标系（单位长度为），点A在轴上，水柱所在的抛物线（第一象限部分）的函数表达式为．
(1)求喷水管高．
(2)身高为的小明站在距离喷水管的地方，他会被水喷到吗？
4．（2022秋·广西百色·九年级统考期中）某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子，恰好在水面中心，安装在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过的任一平面上如图1，建立直角坐标系如图2，水流喷出的高度（米）与水平距离（米）之间的关系式是．
(1)求喷出的水流距水平面的最大高度；
(2)若不计其他因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？
考查题型六 增长率问题
1．（2022秋·河北保定·九年级统考期中）芯片行业是制约我国工业发展的主要技术之一．经过大量科研、技术人员艰苦攻关，我国芯片有了新突破．某芯片实现国产化后，芯片价格大幅下降．原来每片芯片的单价为元，准备进行两次降价，如果每次降价的百分率都为，经过两次降价后的价格为（元）．
(1)求与之间的函数关系式；
(2)如果该芯片经过两次降价后每片芯片单价为元，求每次降价的百分率．
2．（2023·广东广州·校考二模）为积极响应国家“旧房改造”工程，该市推出《加快推进旧房改造工作的实施方案》推进新型城镇化建设，改善民生，优化城市建设．
（1）根据方案该市的旧房改造户数从2020年底的3万户增长到2022年底的4.32万户，求该市这两年旧房改造户数的平均年增长率；
（2）该市计划对某小区进行旧房改造，如果计划改造300户，计划投入改造费用平均20000元/户，且计划改造的户数每增加1户，投入改造费平均减少50元/户，求旧房改造申报的最高投入费用是多少元？
3．某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
(1)第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
(2)经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
4．为了打造“清洁能源示范城市”，东营市2016年投入资金2560万元用于充电桩的安装，并规划投入资金逐年增加，2018年在2016年的基础上增加投入资金3200万元.
（1）从2016年到2018年，东营市用于充电桩安装的资金年平均增长率为多少？
（2）2019年东营市计划再安装A、B两种型号的充电桩共200个.已知安装一个A型充电桩需3.5万元，安装一个B型充电桩需4万元，且A型充电桩的数量不多于B型充电桩的一半.求A、B两种型号充电桩各安装多少个时，所需资金最少，最少为多少？
1．（2023·四川成都·统考二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、两点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，在线段上以每秒个单位长度的速度向点运动，其中一个点到达终点时另一个点也停止运动，当存在时，求，运动多少秒使的面积最大，最大面积是多少？
(3)在（2）的条件下，当的面积最大时，在下方的抛物线上存在一点，使？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．
2．（2023·山东青岛·统考二模）如图1，在菱形中，、交于点E，厘米，点F在上，厘米．点P、Q分别从A、E两点同时出发，点P以k厘米/秒的速度沿向点E匀速运动，用时8秒到达点E；点Q以m厘米/秒的速度沿向点E匀速运动，设运动的时间为x秒，的面积为平方厘米，的面积为平方厘米．
(1)图2中的线段是与x的函数图象，则与x的函数关系式为________，m的值为________；
(2)图2中的抛物线是与x的函数图象，其顶点坐标是，求点P的速度及对角线的长；
(3)在图2中，点G是x轴正半轴上一点（，过G作垂直于x轴，分别交抛物线和线段于点M、N．
①直接写出线段的长在图1中所表示的意义；
②当时，求线段长的最大值．
3．（2023·广西柳州·统考模拟预测）如图1，抛物线的图象与x轴交于两点，与y轴交于点C，且．
(1)求抛物线解析式；
(2)点M是直线上方的抛物线上一动点，M点的横坐标为m，四边形的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；
(3)如图2，，连接，将绕平面内的某点（记为P）逆时针旋转得到，O、B、D的对应点分别为．若点两点恰好落在抛物线上，求旋转中心点P的坐标．
4．（2022·山东济南·模拟预测）如图，抛物线与轴相交于两点．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将沿直线BD翻折得到，若点恰好落在抛物线的对称轴上，求点和点D的坐标；
(3)在（2）的条件下，设抛物线与y轴交于点Q，连接BQ、DQ，点P为抛物线上的一个动点(点P与点Q不重合)，且，请求出所有满足条件的点P的横坐标．
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