2024届新高三开学摸底考试卷（北京卷）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1．若，则复数z的虚部为（ ）
A．-5 B．5 C．7 D．-7
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．或
3．设，则（ ）
A． B． C．1 D．2
4．设，为两个不同的平面，则∥的一个充分条件是（ ）
A．内有无数条直线与平行 B．，垂直于同一个平面
C．，平行于同一条直线 D．，垂直于同一条直线
5．已知双曲线的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线的左右两支于两点，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．记为数列的前项和，设甲：为等差数列；乙：为等差数列，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件
B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
7．已知函数则下列结论正确的是（ ）．
A．， B．，
C．函数在上单调递增 D．函数的值域是
8．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知圆的半径为3，直线，互相垂直，垂足为，且与圆相交于，两点，与圆相交于，两点，则四边形的面积的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
9．已知函数在区间单调递增，直线和为函数的图像的两条对称轴，则（ ）
A． B． C． D．
10．随着科技的不断发展，人民消费水平的提升，手机购物逐渐成为消费的主流，当我们打开购物平台时，会发现其首页上经常出现我们喜欢的商品，这是电商平台推送的结果．假设电商平台第一次给某人推送某商品，此人购买此商品的概率为，从第二次推送起，若前一次不购买此商品，则此次购买的概率为；若前一次购买了此商品，则此次仍购买的概率为．记第n次推送时不购买此商品的概率为，当时，恒成立，则M的最小值为（ ）
A． B． C． D．
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.
11．已知点在抛物线C：上，则A到C的准线的距离为______.
12．如图，是半径为3的圆的两条直径，，则__________．
13．农业技术员进行某种作物的种植密度试验，把一块试验田划分为8块面积相等的区域（除了种植密度，
其它影响作物生长的因素都保持一致），种植密度和单株产量统计如下：
根据上表所提供信息，第________号区域的总产量最大．
14．已知函数，，若时，恒成立，则实数的取值范围是____.
15．在数列中各项均为正数，且，给出下列四个结论：
①对任意的，都有
②数列不可能为常数列
③若，则数列为递增数列
④若，则当时，
其中所有正确结论的序号是___________.
三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.
16．的内角的对边分别为，，且______．
在①，②，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求的面积；
(2)若，求．
17．某中学为了解高二年级中华传统文化经典阅读的情况，从高二年级随机抽取10名学生进行了两轮测试，并把两轮测试成绩的平均分作为该名学生的考核成绩.记录的数据如下：
1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号
第一轮测试成绩 96 89 88 88 92 91 87 90 92 90
第二轮测试成绩 90 90 91 88 88 87 96 92 89 92
(1)从该校高二年级随机选取一名学生，试估计这名学生考核成绩大于90分的概率；
(2)为进一步研究这10名同学的成绩，从考核成绩小于90分的学生中随机抽取两人，记这两人中两轮测试至少有一次大于90分的人数为，求的分布列与数学期望；
(3)记抽取的10名学生第一轮测试的平均数和方差分别为，考核成绩的平均数和方差分别为，试比较与与的大小.（只需写出结论）
18．如图，在四棱锥中，平面，，，，.为的中点，点在上，且.
(1)求证：平面平面；
(2)求平面与平面所成角的余弦值；
(3)若棱上一点，满足，求点到平面的距离.
19．已知椭圆过点，长轴长为.
(1)求椭圆的方程及其焦距；
(2)直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与直线交于点，为坐标原点且，求证：直线过定点，并求出定点坐标.
20．已知函数.
(1)若，求在处切线方程；
(2)求的极大值与极小值；
(3)证明：存在实数，当时，函数有三个零点.
21．已知为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.
设.例如当时，，，，所以.
(1)若，求的值；
(2)设是由3个正实数组成的集合且，证明：为定值；
(3)若是一个各项互不相同的无穷递增正整数数列，对任意，设，.已知，且对任意，求数列的通项公式.2024届新高三开学摸底考试卷（北京卷）
数学·答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A C D D C C D B D A
11． （5分）
12． （5分）
13．5 （5分）
14． （5分）
15．①③④
16．（1）若选①:
因为，由余弦定理得，整理得，则，（3分）
又，则，，（5分）
则；（6分）
若选②:
因为，即，则，（2分）
又，则，
又，得，（4分）
则；（6分）
（2）由正弦定理得：，则，（10分）
则，．（13分）
17．（1）这10名学生的考核成绩（单位：分）分别为：
93，89.5，89.5，88，90，89，91.5，91，90.5，91．
其中大于90分的有1号、7号、8号、9号、10号，共5人, （2分）
所以样本中学生考核成绩大于90分的频率是.
从该校高二年级随机选取一名学生，估计这名学生考核成绩大于90分的概率为0.5；（4分）
（2）由题知，考核成绩小于90分的学生共4人，其中两轮测试至少有一次大于90分学生有2人.
所以可取0,1,2，则
，，，（7分）
所以的分布列为
0 1 2
所以；（9分）
（3）由题可得，
，
（12分）
，
所以；.（13分）
18．（1）如图，以为原点，分别以，为轴，轴，过作平行线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，，（1分）
所以，，因为，所以，
所以，即，
所以，，
设平面的法向量为，则，（3分）
令，则，所以，
平面的法向量为，则，（5分）
令，则，所以，
所以，所以，
所以平面平面. （6分）
（2）易知平面的一个法向量，
设平面与平面所成角为，则，
所以平面与平面所成角的余弦值为. （9分）
（3）因为棱上一点，满足，所以，
所以，（12分）
所以点到平面的距离. （14分）
19．（1）由题得，
所以椭圆的方程为，焦距为.（5分）
（2）如图，
直线与椭圆方程联立，
化简得， （7分）
，即.
设,，,，则，．
直线的方程为，则，（9分）
直线的方程为，则，
因为，所以+=0，（11分）
所以，
所以，
把韦达定理代入整理得或，
当时，直线方程为，过定点，（13分）
即点，不符合题意，所以舍去.
当时，直线方程为，
过定点.
所以直线经过定点. （15分）
20．（1）当时，，，
所以， （3分）
又，
所以切线方程为，即. （5分）
（2），
当时，，解得，
故时，，单调递减；时，，单调递增， （6分）
故时，的极小值为，无极大值；
当时，令，解得，，
故当或时，，单调递增， （7分）
当时，，单调递减，
故的极大值为，极小值为；
当时，令，解得，，
故当或时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故的极大值为，极小值为； （10分）
综上，当时，的极小值为，无极大值；当时，的极大值为，极小值为. （11分）
（3）当时，由（2）知， 在和上单调递增，
在上单调递减，且时，恒成立， （12分）
时，，
又的极大值为，极小值为，
所以存在实数时，函数有三个零点. （15分）
21．（1）当时，，，
，所以， （2分）
（2）设，其中，
则，
（4分）
因，
，
因，
所以，，，，
又 ，
，，
所以， （6分）
因，，，
，
因，，，，
所以，，，，
，，，
所以
所以为定值. （8分）
（3），
若，
则，
,
故，
，
此时，不符合题意， （10分）
故，
猜想，下面给予证明，
当时，显然成立，
假设当，时，都有成立，即，
此时，，
故，，
，符合题意， （12分）
，
则，
，
若，
的元素个数小于
的元素个数
则有，
不符合题意，故， （14分）
综上，对于任意的，都有
故数列的通项公式. （15分）
公众号：高中试卷君
