黑龙江省牡丹江市2023届高三上学期期中数学试题（含解析）

2022-2023学年度高三第四次阶段性测试
数学
注意事项：
1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米，黑色，墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷 草稿纸上作答无效.
3.本试卷命题范围：集合与逻辑 函数与导数 三角函数 解三角形 平面向量 数列 不等式 空间向量与立体几何 直线与圆 统计概率 复数.
一 选择题：本大题共8小题；每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.如图，一个水平放置的图形的直观图是一个等腰直角三角形，斜边长，那么原平面图形的面积是（ ）
A.2 B. C. D.
3.以下四个选项中的函数，其函数图象最适合如图的是（ ）
A. B.
C. D.
4.若命题：”是假命题，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.为庆祝中国共产党成立100周年，某校以班级为单位组织开展“走进革命老区，学习党史文化”研学活动.该校高一年级6个班级分别去3个革命老区开展研学游，每个班级只去一个革命老区，每个革命老区至少安排一个班级，则不同的安排方法共有（ ）
A.540种 B.480种 C.360种 D.288种
6.在等腰梯形中，是腰上的动点，则的最小值为（ ）
A. B.3 C. D.
7.如图，已知在中，，点在边上，且满足，则（ ）
A. B. C. D.
8.设，则（ ）
A. B.
C. D.
二 多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知是虚数单位，若，且，则的值可以为（ ）
A.1 B.2 C.-1 D.-2
10.若且，则直线经过（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
11.将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A.
B.函数的图象关于点成中心对称
C.函数的最小正周期为
D.函数的一个单调递增区间为
12.已知函数若关于的方程有四个不等实根，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.的最小值为10
三 填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的定义域为__________.
14.已知，则__________.
15.过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为__________.
16.已知正四面体内接于半径为的球中，在平面内有一动点，且满足，则的最小值是__________；直线与直线所成角的取值范围为__________.
四 解答题：共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤.
17.（12分）
在中，角所对的边分别是，若，且.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
18.（12分）
已知公比的等比数列和等差数列满足，其中，且是和的等比中项.
（1）求数列与的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
19.（12分）
已知圆，直线.
（1）证明直线总与圆相交；
（2）当直线被圆所截得的弦长为时，求直线的方程；
（3）当时，直线与圆交于两点，求过两点在轴截得弦长为的圆的方程.
20.如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，是等边三角形，平面分别是的中点.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面的夹角的大小；
（3）线段上是否存在点，使得直线与平面所成角为，若存在，求线段的长；若不存在，说明理由.
21.（12分）
某校为了普及环保知识，增强学生的环保意识，在全校组织了一次有关环保知识的竞赛.经过初赛 复赛，甲 乙两个代表队（每队3人）进入了决赛，规定每人回答一个问题，答对为本队赢得10分，答错得0分.假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人回答正确与否相互之间没有影响，用表示乙队的总得分.
（1）求的分布列和数学期望；
（2）求甲 乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率.
22.（12分）
已知函数.
（1）若在上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，对，恒有成立，求实数的取值范围.
2022-2023学年度高三第四次阶段性测试 数学
参考答案 提示及评分细则
1.D ，故.
2.B 根据斜二测画法可得原图形为如图所示，因为是等腰直角三角形，根据斜二测画法可得为直角三角形，，所以原平面图形的面积是.
3.C 对于A：当时，，且为奇函数图象关于原点对称，不符合题意，故选项不正确；对于：当时，，不符合题意，故选项不正确；对于：当时，，故选项不正确.
4.B 命题“”是假命题，则命题“”是真命题，当时，恒成立.当时，不恒成立.当时，则解得.故的取值范围为.
5.A 据题意可把6个班分成3组后再安排所去的革命老区.分组可按分组.所以不同安排方法数为.
6.C 如图，以为原点，射线为轴正半轴建立直角坐标系，则由题意可得，设，其，则，，所以，所以，所以当时，取最小值.
7.B 在中，，则，因为，所以，在中，由余弦定理得：，即.在中，由正弦定理得：，所以.
8.D .设，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，，即，即.
9.BD 由题意，，可得.
10.ABC 且，所以，又直线可化为，斜率为，在轴截距为，因此直线过第一 二 三象限，不过第四象限.
11.ACD 将函数的图象向左平移个单位长度的，根据函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，所以可得，故A正确；由，所以，令，所以，所以的对称中心为，点不满足，故B错误；函数的最小正周期为，故C正确；当是正弦函数的一个单调递增区间，故D正确.故选ACD.
12.AD 画出函数图象，
如图所示.根据图象知：，故，A正确；当时，
错误；，化简得到.
又
由双勾函数
性质可知在上单调递减，，且，当时取等号，，C错误；当，即，即，当，即时等号成立，D正确.故选AD.
13. 函数解析式为，则解得.因此函数的定义域为.
14. .
15. 根据题意，圆即，其圆心为，半径，过原点作圆的两条切线，设切点分别为，则，又点在圆上，则直线的方程为圆与圆的公共弦所在的直线，又由，有，即直线的方程为.
16.； 设在面内的投影为，则为三角形的中心，设正四面体的棱长为，球的半径为.则，依题可得，球心在上，，代入数据可得，则，又，故的轨迹为平面内以为圆心，为半径的圆，三点共线时，且在之间时，取得最小值.过点作，当为圆的切线时，此时直线与直线所求角为，当交圆于两点时，即为直线与直线所成角，且，又.综上，直线与直线所成角的取值范围是.
17.解：（1）可得：，
.
则.
（2）由（1）可得，在中，由正弦定理，得：，则.
18.解：（1）设等差数列的公差为，
，且是和的等比中项，
，解得或（舍）.
.
（2），①
，②
②-①得，.
，即对恒成立，.
当为偶数时，；
当为奇数时，，即，
综上可得.
19.（1）证明：依题意得，，令且，得直线过定点，把点代入圆的方程左侧，可得，知点在圆内部，可得直线总与圆相交.
（2）解：依题意，得，化简，得，
解得或1，代入直线的方程，得或.
（3）解：当时，直线.则经过的圆的方程为.取，可得，
由，解得，代入.可得所求圆的方程为和.
20.（1）证明：因为是正三角形，是的中点，所以.
又因为平面平面，所以.
平面，所以面.
（2）解：如图，以点为原点，分别以所在直线为轴 轴 轴建立空间直角坐标系.
则，.
设平面的法向量为，
所以
令，则，又平面的法向量，
所以.
所以平面与平面所成角为.
（3）解：假设线段上存在点，使得直线与平面所成角为，
则直线与平面法向量所成的角为.
设，
所以，
所以
，
整理得，方程无解，所以不存在这样的点.
21.解：（1）由题意知，的可能取值为，
由于乙队中3人答对的概率分别为，
，
，
，
，
的分布列为：
0 10 20 30
.
（2）由表示“甲队得分等于30乙队得分等于0”，表示“甲队得分等于20乙队得分等于10”，可知互压.
又
则甲 乙两队总得分之和等于30分且甲队获胜的概率为
.
22.解：（1），
因为在上单调递增，所以在恒成立，
即在恒成立，当时，上式成立，，
当，有，需，
而，故，
综上，实数的取值范围是.
（2）设，
则，
令在单调递增，
即在单调递增，所以.
当，即时，（当且仅当时等号成立），不符合题意；
当，即时，（当且仅当时等号成立），符合题意，
当，即时，
根据零点存在定理，，使，
有时，在单调递减，
时，在单调递增，成立，
故只需即可，有，
得，符合题意.综上得，.