2024届新高三开学摸底考试全国卷
理科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数满足，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．已知，，．．．，的平均数为10，标准差为2，则，，．．．，的平均数和标准差分别为（ ）
A．19和2 B．19和3 C．19和4 D．19和8
4．下列函数中，既是奇函数，又在R上单调递增的函数有（ ）
A． B．
C． D．
5．已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间内的概率为（ ）
（附：若随机变量ξ服从正态分布，则68.27%，95.45%）
A．4.56% B．13.59%
C．27.18% D．31.74%
6．已知圆与圆只有一个公共点，则（ ）
A．1 B．4 C．9 D．1或9
7．的图象大致是（ ）
A． B．C． D．
8．“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．75 B．74 C．73 D．72
9．已知点为坐标原点，直线与抛物线：相交于A，两点，的中点为，若到的准线的距离等于，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，矩形ABCD中，E、F分别为BC、AD的中点，且，现将沿AE向上翻折，使点移到P点，则在翻折过程中，下列结论不正确的是（ ）
A．存在点P，使得
B．存在点P，使得
C．三棱锥的体积最大值为
D．当三棱锥的体积达到最大值时，三棱锥外接球表面积为4π
11．函数在内的值域为,则的取值范围为
A． B． C． D．
12．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．若展开式的二项式系数和为32，则展开式中的常数项为______．（用数字作答）
14．已知数列满足，，若，，则的值为______.
15．已知是双曲线的左焦点，是的右顶点，过点作轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点，连接交另一条渐近线于点.若，则双曲线的离心率为__________.
16．在三棱锥中，PA⊥平面ABC，，当三棱锥的体积最大时，三棱锥外接球的体积为______．
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分
17．已知数列满足，（）.记
(1)求证：是等比数列；
(2)设，求数列的前项和.
18．某体育频道为了解某地电视观众对卡塔尔世界杯的收看情况，随机抽取了该地200名观众进行调查，下表是根据所有调查结果制作的观众日均收看世界杯时间（单位：时）的频率分布表：
日均收看世界杯时间（时）
频率 0.1 0.18 0.22 0.25 0.2 0.05
如果把日均收看世界杯的时间高于2.5小时的观众称为“足球迷”．
(1)根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关；
非足球迷 足球迷 合计
女 70
男 40
合计
(2)将样本的频率分布当作总体的概率分布，现从该地的电视观众中随机抽取4人，记这4人中的“足球迷”人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
参考公式：，其中．
参考数据：
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
19．在图1中，为等腰直角三角形，，，为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且，沿AC将进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得．
(1)证明：平面．
(2)求二面角的余弦值．
20．已知动圆经过点，并且与圆相切．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)动直线过点，且与轨迹分别交于，两点，点与点关于轴对称（点与点不重合），求证：直线恒过定点．
21．已知函数.
(1)讨论的单调性.
(2)若函数有两个零点 ，且，证明：.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[坐标系与参数方程]在直角坐标系中，曲线C的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线l的极坐标方程为．
(1)写出C的普通方程；
(2)写出直线l的直角坐标方程并判断l与C有无交点，如果有，则求出交点的直角坐标；如果没有，写出证明过程．
23．[不等式选讲]已知函数.
(1)求不等式的解集；
(2)若恒成立，求a的取值范围.2024届新高三开学摸底考试全国卷
理科数学·答案及评分标准
1．D 2．C 3．C 4．A 5．B 6．D 7．C 8．C 9．B 10．A 11．A 12．B
13．40
14．或
15．2
16．
17．【详解】（1）由已知，∵，∴，
∵，
∴，（3分）
又∵，∴，（4分）
∴易知数列中任意一项不为，∴，（5分）
∴数列是首项为，公比为的等比数列.（6分）
（2）由第（1）问，，∴，
∴设数列的前项和为，则
①，
①得，
②，（7分）
①②得，
，（9分）
∴，（10分）
∴.（11分）
∴数列的前项和为.（12分）
18．【详解】（1）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为，
则在抽取的人中，“足球迷”有人，
所以列联表如下（表格2分）
非足球迷 足球迷 合计
女 70
男 40
合计
所以，（4分）
所以有的把握认为该地的电视观众是否为“足球迷”与性别有关.（5分）
（2）由频率分布表可知，“足球迷”对应的频率为（6分）
所以从该地的电视观众中随机抽取人，其为“足球迷”的概率，所以，
即的可能取值为、、、、，（7分）
所以，，
，，
，（10分）
所以随机变量的分布列为
（11分）
所以.（12分）
19．【详解】（1）证明：连接OB，
因为为等腰直角三角形，，，
所以，（1分）
因为O为AC边的中点，
所以，
在等边三角形中，，
因为O为AC边的中点，
所以，（2分）
则，（3分）
又，
所以，即，（4分）
因为，平面，平面，
所以平面．（5分）
（2）方法一：因为是等腰直角三角形，，为边中点，
所以，
由（1）得平面，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，
则，，，（建系正确给1分，7分）
所以，，
设平面的法向量为，
由，得，令，得，（9分）
易知平面的一个法向量为，（10分）
设二面角的大小为θ，
则，（11分）
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．（12分）
20．【详解】（1）设动圆与圆相切的切点为，
则，（2分）
所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
设椭圆的方程为，
则，，所以，（3分）
所以椭圆的方程为，
即点的轨迹的方程为．（4分）
（2）由题意可知直线的斜率显然不为0，
不妨设直线的方程为，设，，则，
联立，消去整理得，（5分）
所以，，（6分）
因为，，三点共线，所以，（7分）
所以，（8分）
即，
所以，解得，（11分）
故直线的方程为，所以直线过定点．（12分）
21．【详解】（1）解：函数的定义域为，.（1分）
①当时，令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增.（3分）
②当时，令，得，则在上单调递减；
令，得，则在上单调递增.（5分）
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增.（5分）
（2）证明：因为为的两个零点，所以，，（6分）
两式相减，可得，即，，（7分）
因此，，.（8分）
令，则，（9分）
令，则，（10分）
所以函数在上单调递增，所以（11分）
即.
因为，所以，故得证.（12分）
【详解】（1）由平方可得（1分）
又因为，所以，（3分）
因为，当且仅当即时，取等号，（4分）
所以C的普通方程为；（5分）
（2）由直线l的极坐标方程为可得直线l的直角坐标方程为，（7分）
代入C的普通方程可得，解得，（9分）
因为，所以舍去，无解，
所以l与C没有交点（10分）
23．【详解】（1）因为，（1分）
所以等价于，或或，
解得或或，（4分）
即，即不等式的解集为（5分）
（2）当时，恒成立，所以； （6分）
当时，恒成立， （7分）
因为，（8分）
当且仅当即或时取得等号，（9分）
所以，
综上，的取值范围是.（10分）
