2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）
数 学
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知全集，集合，，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足（为虚数单位），是的共轭复数，则（ ）
A．5 B． C．10 D．
3．已知复数z在复平面内对应的点为M，在复平面内对应的点为N，i是虚数单位，则“点M在第一象限”是“点N在第四象限”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．木升在古代多用来盛装粮食作物，是农家必备的用具，如图为一升制木升，某同学制作了一个高为40的正四棱台木升模型，已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧面与底面所成二面角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
5．若数列的首项，且满足，则（ ）
A． B． C． D．
6．函数的部分图象为（ ）
A． B．
C． D．
7．我国东汉末数学家赵爽在《周髀算经》中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.在“赵爽弦图”中，若，则（ ）
A． B． C． D．
8．设是定义在上的周期为3的函数，当时，，则（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．某省年美术联考约有名学生参加，现从考试的科目素描满分分中随机抽取了名考生的考试成绩，记录他们的分数后，将数据分成组：，，，并整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法不正确的是（ ）
A．由频率分布直方图可知，全省考生的该项科目分数均不高于分
B．用样本估计总体，全省该项科目分数小于分的考生约为人
C．若样本中分数小于的考生有人，则可估计总体中分数在区间内约人
D．用样本估计总体，全省考生该项科目分数的中位数为分
10．已知函数的图象过点和，的最小正周期为T，则（ ）
A．T可能取
B．在上至少有3个零点
C．直线可能是曲线的一个对称轴
D．若函数的图象在上的最高点和最低点共有4个，则
11．如图所示，有一个棱长为4的正四面体容器，D是PB的中点，E是CD上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若E是CD的中点，则直线AE与PB所成角为
B．的周长最小值为
C．如果在这个容器中放入1个小球（全部进入），则小球半径的最大值为
D．如果在这个容器中放入10个完全相同的小球（全部进入），则小球半径的最大值为
12．下列命题中正确的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．在的展开式中x的系数为______．
14．现有一圆桌，周边有标号为1，2，3，4的四个座位，甲、乙、丙、丁四位同学坐在一起探讨一个数学课题，每人只能坐一个座位，甲先选座位，且甲、乙不能相邻，则所有选座方法有____种．（用数字作答）
15．已知抛物线C：（p>0）的焦点为F，过点F且斜率为1的直线与抛物线C相交于A，B两点，与抛物线C的准线交于点E，若，则p＝________.
16．设，定义的差分运
算为.用表示对a进行次差分运算，显然，是一个维数组.称满足的最小正整数的值为的深度.若这样的正整数不存在，则称的深度为.
（1）已知，则的深度为__________.
（2）中深度为的数组个数为__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤
17．设数列满足，.求的通项公式.
18．已知锐角的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量，，且．
(1)求角C的值；
(2)若，求周长的取值范围．
19．如图，在圆锥中，已知底面，，的直径，是的中点，为的中点.
(1)证明：平面平面；
(2)求三棱锥的体积；
(3)求二面角的余弦值.
20．已知椭圆上一点与它的左、右两个焦点，的距离之和为，且它的离心率与双曲线的离心率互为倒数．
(1)求椭圆的方程；
(2)如图，点A为椭圆上一动点（非长轴端点），的延长线与椭圆交于点B，AO的延长线与椭圆交于点C．
①当直线AB的斜率存在时，求证：直线AB与BC的斜率之积为定值；
②求△ABC面积的最大值，并求此时直线AB的方程．
21．已知函数.
(1)若是奇函数，且有3个零点，求的取值范围；
(2)若在处有极大值，求当时的值域.
22．已知函数，．
(1)当时，求函数的最小值；
(2)当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）
数学·答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
B C C A C C A D AD BCD ACD BD
13．-200 14．8
15．2 16．4
17．
【答案】
【详解】=
.（10分）
18．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用向量垂直的坐标表示得，应用正余弦定理的边角关系化简，结合锐角三角形求角C；
（2）法一：将用的三角函数表示出来，结合求周长范围；法二：首先得到，再用表示周长，利用函数的单调性求范围.
【详解】（1），
（法一），，，
∴，则，又为锐角三角形，故.
（法二）则，，
∴，且为锐角三角形，故.（6分）
（2），，
由于为锐角三角形，则，且，解得，
（法一）周长
，而，即，
∴，故的周长l的取值范围为．
（法二）由上，由余弦定理得，
周长，
记，则在单调递增，
∴的周长l的取值范围为．（12分）
19．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）连接，先根据是等腰直角三角形证出中线，再结合证出，利用平面与平面垂直的判定定理，可证出平面平面；
（2）依题意可得，则，再根据计算可得.
（3）过分别作于，于，再连接，根据三垂线定理证明为二面角的平面角，最后分别在、、中计算出、和，最后求出所求二面角的余弦值．
【详解】（1）连接，
，是的中点，
，
又底面，底面，
，
，平面，
平面，而平面，
平面平面.（5分）
（2）因为是的中点，是的直径，所以，
所以，
所以.（7分）
（3）在平面中，过作于，由（1）知，平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，
又平面，
，
在平面中，过作于，连接，，平面，
所以平面，又平面，从而．
故为二面角的平面角，
在中，，
在中，，
在中，，
在中，，
所以，
故二面角的余弦值为.（12分）
20．
【答案】(1)
(2)①证明见解析；②最大值为，．
【分析】（1）根据双曲线与椭圆的离心率，结合椭圆的定义求解即可；
（2）①设，BA的方程为，再联立椭圆的方程，利用韦达定理表达化简即可；
②同①，根据弦长公式结合点到线的距离公式，代入韦达定理化简可得的表达式，结合的范围求解面积范围即可.
（1）
由椭圆的定义知，双曲线的离心率为，
故椭圆的离心率，故，，，故椭圆的方程为．（3分）
（2）
①证明：设，则．
设直线BA的方程为，联立方程化简得，
，∴，
，
∴；
②当直线AB的斜率不存在时，可知，，，故，当直线AB的斜率存在时，由①知，，，
，
，
点C到直线AB的距离，
故.
故△ABC面积的最大值为，此时AB的方程为．（12分）
21．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据函数为奇函数得到，故，求出，分与两种情况，结合单调性，列出不等式，求出的取值范围；
（2）根据，，求出或，分两种情况，利用导函数得到单调性和极值情况，得到时的值域.
【详解】（1）是定义域为的奇函数，
∴，即，
故，
，且.
.
当时，，此时在上单调递减，
在上只有1个零点，不合题意.
当时，令，解得，
令，解得或，
在，上单调递减，在上单调递增.
在上有3个零点，
且，
由函数为奇函数，故只需，
即，.
实数的取值范围是.（6分）
（2），
由已知可得，且，
解得或，
当，时，，.
令，即，解得，
易知是的极小值点，与题意不符；
当，时，，.
令，即，解得，
易知是的极大值点，符合题意，故，.
，
在上单调递增，在上单调递减.
又，，.
在上的值域为.（12分）
22．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用导数研究的单调性求最值；
（2）令，问题化为恒成立，利用导数研究单调性，讨论参数a及定义域判断符号，即可求范围.
【详解】（1）由题意，，
令，则，当时，当时．
所以．（5分）
（2）由，
所以，
记，即恒成立，且，
当时，当，令，则，
所以在单调递增，且，，
（令且，则，故在上递增，则，所以，以上成立），
故存在唯一，使得，
当时，递减，所以，此时，不合题意．
当时，（ⅰ）若，由上知，则递增，
（令且，则，故在上递增，则，所以，以上成立），
所以恒成立，即成立，符合题意．
（ⅱ），若，则单调递增，
，，所以存在唯一使，
当时，递减，当时，递增，
又，，故存在唯一，使，
故时，递增，时，递减，
又，，
所以时，则递增，故，即恒成立．
综上，.（12分）
【点睛】关键点点睛：第二问，注意构造中间函数研究单调性并确定零点，进而判断的符号求参数范围.
