2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）
数 学
本试卷共22题。全卷满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数满足，则（ ）
A．2 B． C． D．
3．“”是“函数在区间上为减函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面向量，，向量与的夹角为，则（ ）
A．2或 B．3或 C．2或0 D．3或
6．已知双曲线的上 下焦点分别为，，过的直线与双曲线的上支交于M，N两点，若，，成等差数列，且，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．在棱长为1的正方体中，是棱的中点，点在侧面内，若，则的面积的最小值是( )
A． B． C． D．
8．若函数在上单调递增，则实数m的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．若函数y＝f（x）的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线的斜率之和等于常数t，则称函数y＝f（x）为“t型函数”，下列函数中为“2型函数”的有（ ）
A．y＝x﹣x3 B．y＝x+ex C．y＝sinx D．y＝x+cosx
10．下列在(0，2π)上的区间能使cosx>sinx成立的是（ ）
A．(0，) B．(，) C．(，2π) D．(，)∪(π，)
11．已知函数及其导函数的定义域均为R，若为奇函数，的图象关于y轴对称，则下列结论中一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
12．设数列的前n项和为，且，若，则下列结论正确的有（ ）
A． B．当时，取得最小值
C．当时，n的最小值为7 D．当时，取得最小值
第Ⅱ卷
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则、两点间的距离是______．
14．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦.如果某重卦中恰有3个阴爻，则该重卦可以有___________种.(用数字作答)
15． 的外心为 ，三个内角 所对的边分别为 ， .则 面积的最大值为____________.
16．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设、为两个定点，为非零常数，若，则动点的轨迹为双曲线；
②过定圆上一定点作圆的动弦，为坐标原点，若，则动点的轨迹为椭圆；
③抛物线的焦点坐标是；
④曲线与曲线（且）有相同的焦点.
其中真命题的序号为______写出所有真命题的序号.
四、解答题：本题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程成演算步骤
17．（10分）在平面直角坐标系中，点在角的终边上，点在角的终边上，且.
(1)求的值；
(2)求的值.
18．（12分）已知数列{an}是递增的等比数列，且．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Sn为数列{an}的前n项和，bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn．
19．（12分）如图，在四棱锥中，且，其中为等腰直角三角形，，且平面平面.
(1)求的长；
(2)若平面与平面夹角的余弦值是，求的长.
20．（12分）已知圆是圆上任意一点，线段的垂直平分线与半径相交于点，当点运动时，点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)过点的直线与曲线相交于点，与轴相交于点，过点的另一条直线与相交于两点，且的面积是面积的倍，求直线的方程．
21．（12分）已知函数，.
(1)求函数的极值；
(2)证明：当时，在上恒成立.
22．（12分）已知是单调递增的等差数列，其前项和为.是公比为的等比数列..
(1)求和的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）
数学·答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B A C A B B D CD AC ABD ABD
13．5 14．20
15．12 16．③④
17．【详解】（1）由题意可知，，
所以，（2分）
又因为，
所以，解得，
所以.（4分）
（2）由（1）可知，，所以，，（5分）
所以由三角函数的定义可得，，
，，（8分）
所以.（10分）
18． 【详解】（1）根据题意，设该等比数列的公比为q，
若，（2分）
则有或或.（4分）
又由数列{a}是递增的等比数列，则，则有，
则数列{a}的通项公式；（6分）
（2）由（1）可得，则，
则，（8分）
则
.（12分）
19．【详解】（1）取的中点，则，（1分）
又平面平面，平面平面平面，
平面，平面，
，（3分）
，平面，
平面，平面，
，（5分）
又.（6分）
（2）在平面内过作的垂线
以为坐标原点，正方向为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，
则，
，（7分）
设平面的法向量为，
，取.（8分）
设，
设平面的法向量为，
，（10分）
平面与平面夹角的余弦值是，
，
，
或（舍），
.（12分）
20．【详解】（1）因为点为线段的垂直平分线与半径的交点，
所以，所以，（2分）
所以点的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，在椭圆中，
所以曲线的方程为．（4分）
（2）由已知得，所以直线的方程为，所以点的坐标为．（5分）
当直线的斜率不存在时，，
或都与已知不符；（6分）
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
易知，则，（8分）
，
由的面积是面积的倍可得，
化简得，即，（10分）
又，所以，即，也就是，
所以，
解得，
所以直线的方程为．（12分）
21．【详解】（1）解：由函数，可得定义域为，（1分）
且，（2分）
令，可得，所以单调递增，（3分）
又因为，（4分）
所以当时，，可得，单调递减；
当时，，可得，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，极小值为，无极大值. （5分）
（2）解：由，因为且，
可得，（6分）
令，
可得，
因为，即或，
又因为方程的两根都是负数根（舍去），
所以，可得；（8分）
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以当时，函数取得极小值，同时也为在上的最小值，（10分）
即，所以，
所以，所以，
故当时，在恒成立. （12分）
22．【详解】（1）设等差数列的公差为，
由题意可得：，解得或（舍去），
所以.（4分）
（2）由（1）可得，（5分）
当为奇数时，则，
设，
则，（6分）
两式相减得
，所以；
当为偶数时，则，
设，
所以；（8分）
综上所述：，（10分）
当为奇数时，则
；
当为偶数时，则
；
综上所述：.（12分）
