11.2平面基本事实与推论 教学设计
文档属性
| 名称 | 11.2平面基本事实与推论 教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 435.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-07-26 15:22:09 | ||
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文档简介
11.2 平面的基本事实与推论
【教学目标】
1、了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三个基本事实和三个推论的地位与作用
2、会用平面的基本事实证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换
3、培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理能力
【教学重点】平面的基本事实和推论
【教学难点】
符号语言、文字语言、图形语言之间的转换
一、情境引入：
用短片抽象本节学习的问题：如何把一个平面固定在空间中？
二、新知探究：
在初中几何中，观察得到了如下的点与直线的基本事实：
（1）连接两点的线中，线段最短；
（2）过两点有一条直线，并且只有一条直线.
结论（2）也可以简单地说成“两点确定一条直线”，事实上，通过指定的一个点可以作无数条直线，通过指定的三个点，不一定能作一条直线。
问题1：如何把一个平面固定在空间中，至少需要几个点？
做实验，验证一个点，两个点，三个点，四个点---------总结概念
基本事实1：
文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.
符号表示：A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
图形表示：
总结：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”
(2)过不共线的3点A，B，C的平面，通常记作平面ABC，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示.
(3)如图的平面可以看成由不共线的3点A，B，C确定的，此时显然有： (4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面.
作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面
基本事实2：
如何固定置物架在墙壁上，抽象数学问题，固定一条直线在平面内，至少需要几个点？
文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
符号表示：A∈α，B∈α AB α
图形表示：
作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面
注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上.
基本事实3：
文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号表示：A∈α，且A∈β α∩β＝m，且A∈m
图形表示：
注：（1）基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有；
（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；
作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上
问题2：除了用点固定平面的位置外，是否可以用直线固定平面的位置？
做实验发现：
（1）一条直线与直线外一点 （2）两条相交直线 （3）两条平行直线
总结得出推论：
推论1：
文字表示：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.
符号表示：A m 存在唯一的平面α，使A∈α，且m α
图形表示：
注：(1)这是由基本事实1与基本事实2得到的，
(2)推论1可以简单地说成：直线和直线外一点确定一个平面.
推论2：
文字表示：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
符号表示：m∩n＝A 存在唯一的平面α，使m α，且n α
图形表示：
推论3：
文字表示：经过两条平行直线，有且只有一个平面
符号表示：m∥n 存在唯一的平面α，使m α，且n α
图形表示：
注：（1）推论2与推论3可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面”，“两条平行直线确定一个平面”。
（2）推论2可以说明，三角形是平面图形，因此初中有关三角形全等，相似，以及前面我们学习的解三角形等结论，在空间中也是成立的。
（3）推论3可以说明平行四边形，梯形也是平面图形，初中有关平行四边形、梯形的判定与性质等结论，在空间中也成立.
三、例题讲解：
例1：已知三条直线两两相交，且不共点，求证：三线共面.
例2：如图所示，长方体中，F是上的一点（不与重合）试说明三个点确定的平面与平面ABCD相交，并画出这两个平面的交线.
课堂检测：
第1题图示 第2题图示
第3题图示解析
课堂小结：
作业布置： 与PPT上的课后思考
板书设计：
11.2平面的基本事实与推论 一：基本事实 ------------------------------ ----------------------------- ----------------------------- 二、推论 PPT展示 ---------------------- ---------------------- ---------------------- 证明：---------------------- ------------------------------- -------------------------------
教学设计反思：
本节课是人教B版必修第四册《立体几何初步》的第二大节内容，主要内容是平面的三个基本性质和推论。本节课通过大量的生活实例，促使学生理解平面的基本事实和推论，然而学生从图像上和文字对基本事实和推论表达是容易的，但是从数学符号上来表达和应用都是相对较难的，此外，对于学生来说，如何理解这三条公理之所以被称为“基本事实”比较难。由于运用数学符号进行逻辑推.理，理解数学概念的基础性，即“数学抽象”和“逻辑推理”能力是一-种高层次的.数学素养，因此，学生暂时只能停留在“理解”层面，若要培养学生对数学抽象进行“分析”“综合”乃至“评价”的高阶能力，则需要在之后的课程中进行强化，引导学生反复体会。
【教学目标】
1、了解平面的基本事实与推论，能用图形、文字、符号三种语言描述三个基本事实和三个推论，理解三个基本事实和三个推论的地位与作用
2、会用平面的基本事实证明点共线、线共点、点线共面三个典型问题，熟悉符号语言、文字语言、图形语言之间的转换
3、培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理能力
【教学重点】平面的基本事实和推论
【教学难点】
符号语言、文字语言、图形语言之间的转换
一、情境引入：
用短片抽象本节学习的问题：如何把一个平面固定在空间中？
二、新知探究：
在初中几何中，观察得到了如下的点与直线的基本事实：
（1）连接两点的线中，线段最短；
（2）过两点有一条直线，并且只有一条直线.
结论（2）也可以简单地说成“两点确定一条直线”，事实上，通过指定的一个点可以作无数条直线，通过指定的三个点，不一定能作一条直线。
问题1：如何把一个平面固定在空间中，至少需要几个点？
做实验，验证一个点，两个点，三个点，四个点---------总结概念
基本事实1：
文字表示：经过不在一条直线上的3个点，有且只有一个平面.
符号表示：A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
图形表示：
总结：（1）可以简单地说成“不共线的3点确定一个平面”
(2)过不共线的3点A，B，C的平面，通常记作平面ABC，用图像直观地表示平面时，为了增加立体感，习惯上讲平面用平行四边形表示.
(3)如图的平面可以看成由不共线的3点A，B，C确定的，此时显然有： (4)如果给定的3个点同在一直线上，那么有无数个平面通过这3个点，也就是说，此时这三个点不能“确定”一个平面，例如，如果给定的3个点都在长方体的一条棱上，那么过这三个点就会有无数个平面.
作用：①确定平面的依据；②判定点、线共面
基本事实2：
如何固定置物架在墙壁上，抽象数学问题，固定一条直线在平面内，至少需要几个点？
文字表示：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内.
符号表示：A∈α，B∈α AB α
图形表示：
作用：①判定直线是否在平面内；②判断一个面是否是平面
注：基本事实2可以作为判断一个面是否是平面的依据：如果一个面内的任意两点所确定的直线都在这个平面内，那么这个面就是平面。例如，球面不是一个平面，因为球面上任意两点所确定的直线中，只有两个点在球面上.
基本事实3：
文字表示：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线
符号表示：A∈α，且A∈β α∩β＝m，且A∈m
图形表示：
注：（1）基本事实3说明，两个不重合的平面，只要有一个公共点，就一定有无数个公共点，而且这无数个公共点能构成一条直线，这条直线通常也称为两个平面的交线，如图所示，有；
（2）在画两个平面相交时，其中一个平面被另一个平面遮住的部分应该画出虚线或不画，如图所示；
作用：①判定两个平面相交的依据；②判定点在直线上
问题2：除了用点固定平面的位置外，是否可以用直线固定平面的位置？
做实验发现：
（1）一条直线与直线外一点 （2）两条相交直线 （3）两条平行直线
总结得出推论：
推论1：
文字表示：经过一条直线与直线外一点，有且只有一个平面.
符号表示：A m 存在唯一的平面α，使A∈α，且m α
图形表示：
注：(1)这是由基本事实1与基本事实2得到的，
(2)推论1可以简单地说成：直线和直线外一点确定一个平面.
推论2：
文字表示：经过两条相交直线，有且只有一个平面.
符号表示：m∩n＝A 存在唯一的平面α，使m α，且n α
图形表示：
推论3：
文字表示：经过两条平行直线，有且只有一个平面
符号表示：m∥n 存在唯一的平面α，使m α，且n α
图形表示：
注：（1）推论2与推论3可以分别简单地说成“两条相交直线确定一个平面”，“两条平行直线确定一个平面”。
（2）推论2可以说明，三角形是平面图形，因此初中有关三角形全等，相似，以及前面我们学习的解三角形等结论，在空间中也是成立的。
（3）推论3可以说明平行四边形，梯形也是平面图形，初中有关平行四边形、梯形的判定与性质等结论，在空间中也成立.
三、例题讲解：
例1：已知三条直线两两相交，且不共点，求证：三线共面.
例2：如图所示，长方体中，F是上的一点（不与重合）试说明三个点确定的平面与平面ABCD相交，并画出这两个平面的交线.
课堂检测：
第1题图示 第2题图示
第3题图示解析
课堂小结：
作业布置： 与PPT上的课后思考
板书设计：
11.2平面的基本事实与推论 一：基本事实 ------------------------------ ----------------------------- ----------------------------- 二、推论 PPT展示 ---------------------- ---------------------- ---------------------- 证明：---------------------- ------------------------------- -------------------------------
教学设计反思：
本节课是人教B版必修第四册《立体几何初步》的第二大节内容，主要内容是平面的三个基本性质和推论。本节课通过大量的生活实例，促使学生理解平面的基本事实和推论，然而学生从图像上和文字对基本事实和推论表达是容易的，但是从数学符号上来表达和应用都是相对较难的，此外，对于学生来说，如何理解这三条公理之所以被称为“基本事实”比较难。由于运用数学符号进行逻辑推.理，理解数学概念的基础性，即“数学抽象”和“逻辑推理”能力是一-种高层次的.数学素养，因此，学生暂时只能停留在“理解”层面，若要培养学生对数学抽象进行“分析”“综合”乃至“评价”的高阶能力，则需要在之后的课程中进行强化，引导学生反复体会。