2021-2022学年高二（上）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（每小题4分，共48分）
1．（4分）已知α＝，则点P（sinα，tanα）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】直接由α所在的象限得到sinα，tanα的符号，则答案可求．
【解答】解：∵α＝为第二象限角，
∴sinα＞0，tanα＜0．
∴点P（sinα，tanα）所在的象限是第四象限．
故选：D．
2．（4分）函数y＝3cos2x﹣4cosx+1，x的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先把函数的关系式变形成二次函数的形式，进一步利用函数的定义域求出函数的值域，最后求出函数的最大值．
【解答】解：由于x，
则：cosx．
所以：数y＝3cos2x﹣4cosx+1，
＝﹣，
＝．
当cosx＝﹣时，
＝．
故选：D．
3．（4分）已知一个圆柱的底面半径和高相等，且体积为1000π，那么此圆柱的侧面积S等于（ ）
A．100π B．200π C．300π D．400π
【答案】B
【分析】设圆柱的底面半径为R，由圆柱的体积求出R的值，再计算圆柱的侧面积．
【解答】解：设圆柱的底面半径为R，则高也是R，
所以圆柱的体积为V圆柱＝πR2 R＝1000π，
解得R＝10，所以圆柱的侧面积S＝2πR R＝2π×10×10＝200π．
故选：B．
4．（4分）设，是非零向量，则“⊥”是“函数f（x）＝（x+） （x﹣）为一次函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据充分必要条件的定义以及向量的运算和性质分别判断即可．
【解答】解：f（x）＝（x） （x﹣）
＝ x2+（﹣）x﹣ ，
若⊥，则 ＝0，
如果同时有||＝||，则函数恒为0，
不是一次函数，故不充分；
如果f（x）是一次函数，则 ＝0，
故⊥，该条件必要；
故选：B．
5．（4分）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）＝sinx，则f（）的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【答案】D
【分析】要求f（），则必须用f（x）＝sinx来求解，那么必须通过奇偶性和周期性，将变量转化到区间[0，]上，再应用其解析式求解．
【解答】解：∵f（x）的最小正周期是π
∴f（）＝f（﹣2π）＝f（﹣）
∵函数f（x）是偶函数
∴f（）＝f（）＝sin＝．
故选：D．
6．（4分）如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y＝Asin（ωx+φ）+2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝5 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝3
【答案】A
【分析】先根据h的最大和最小值求得A和k，利用周期求得ω．
【解答】解：∵水轮的半径为3，水轮圆心O距离水面2m，
A＝3，k＝2，
又水轮每分钟旋转4圈，故转一圈需要15秒，
∴T＝15＝，
∴ω＝．
故选：A．
7．（4分）在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】B
【分析】利用cos2＝可得sinBsinC＝，再利用两角和差的余弦可求．
【解答】解：由题意sinBsinC＝，
即sinBsinC＝1﹣cosCcosB，
亦即cos（C﹣B）＝1，
∵C，B∈（0，π），
∴C＝B，
故选：B．
8．（4分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】类比平面几何结论，推广到空间，则有结论：“＝3”．设正四面体ABCD边长为1，易求得AM＝，又O到四面体各面的距离都相等，所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，则有r＝，可求得r即OM，从而可验证结果的正确性．
【解答】解：推广到空间，则有结论：“＝3”．
设正四面体ABCD边长为1，易求得AM＝，又O到四面体各面的距离都相等，
所以O为四面体的内切球的球心，设内切球半径为r，
则有r＝，可求得r即OM＝，
所以AO＝AM﹣OM＝，所以 ＝3
故选：C．
9．（4分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（ ）
A．点P到平面QEF的距离
B．三棱锥P﹣QEF的体积
C．直线PQ与平面PEF所成的角
D．二面角P﹣EF﹣Q的大小
【答案】C
【分析】根据线面平行的性质可以判断A答案的对错；根据等底同高的三角形面积相等及A的结论结合棱锥的体积公式，可判断B的对错；根据线面角的定义，可以判断C的对错；根据二面角的定义可以判断D的对错，进而得到答案．
【解答】解：A中，∵QEF平面也就是平面A1B1CD，既然P和平面QEF都是固定的，∴P到平面QEF的距离是定值．∴点P到平面QEF的距离为定值；
B中，∵△QEF的面积是定值．（∵EF定长，Q到EF的距离就是Q到CD的距离也为定长，即底和高都是定值），
再根据A的结论P到QEF平面的距离也是定值，∴三棱锥的高也是定值，于是体积固定．∴三棱锥P﹣QEF的体积是定值；
C中，∵Q是动点，EF也是动点，推不出定值的结论，∴就不是定值．∴直线PQ与平面PEF所成的角不是定值；
D中，∵A1B1∥CD，Q为A1B1上任意一点，E、F为CD上任意两点，∴二面角P﹣EF﹣Q的大小为定值．
故选：C．
10．（4分）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
【答案】B
【分析】由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值．
【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，
要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB，
即有QO＝2，Q到线段AB的距离为2+2cosβ，
AB＝2 2sinβ＝4sinβ，
扇形AOB的面积为 2β 4＝4β，
△ABQ的面积为（2+2cosβ） 4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β，
S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β﹣ 2 2sin2β＝4sinβ，
即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ．
故选：B．
11．（4分）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先确定△ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，然后在Rt△ABC和Rt△AOO1中，利用勾股定理求出OO1，再利用锥体的体积公式求解即可．
【解答】解：因为AC⊥BC，AC＝BC＝1，
所以底面ABC为等腰直角三角形，
所以△ABC所在的截面圆的圆心O1为斜边AB的中点，
所以OO1⊥平面ABC，
在Rt△ABC中，AB＝，则，
在Rt△AOO1中，，
故三棱锥O﹣ABC的体积为．
故选：A．
12．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查平面向量的基本运算与解三角形的基础知识，属于难题．从要求的结论入手，用公式写出数量积，根据正弦定理变未知为已知，代入数值，得到结果，本题的难点在于正弦定理的应用．
【解答】解：＝|＝||sinB＝．
故选：D．
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知f（x）的定义域为（0，1]，则f（sinx）的定义域是 （2kπ，2kπ+π），k∈Z． ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可．
【解答】解：由0＜sinx≤1，得：2kπ＜x＜2kπ+π（k∈Z），
故答案为：（2kπ，2kπ+π），k∈Z．
14．（5分）若将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】根据函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换规律可得所得函数的解析式为y＝sin2（x﹣φ），再由题意结合正弦函数的对称性可得2×﹣2φ＝kπ+，k∈z，由此求得φ的最小值．
【解答】解：将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得函数y＝sin2（x﹣φ）的图象，
再根据得到的图象关于直线x＝对称，可得2×﹣2φ＝kπ+，k∈z，
即 ﹣φ＝+，k∈z，即 φ＝﹣﹣，k∈z，
再根据φ＞0，可得φ的最小值为，
故答案为：．
15．（5分）关于函数f（x）＝4sin（2x+）（x∈R）有下列命题，其中正确的是 ①② ．
①y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos（2x﹣）；
②y＝f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；
③y＝f（x）的最小正周期为2π；
④y＝f（x）的图象的一条对称轴为x＝﹣．
【答案】见试题解答内容
【分析】利用三角函数的图象和性质分别判断即可．
【解答】解：4sin（2x+）＝4sin[+（2x﹣）]＝4cos（2x﹣），
又f（﹣）＝4sin[2×（﹣）+]＝4sin0＝0，
最小正周期为π，
对称轴方程为x＝，k∈Z，
故①②正确，③④错误．
故答案为：①②．
16．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA＝3．PB＝2，PC＝1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）＝（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M﹣PAB、三棱锥M﹣PBC、三棱锥M﹣PCA的体积．若f（M）＝（，x，y），且≥8恒成立，则正实数a的最小值为 1 ．
【答案】见试题解答内容
【分析】先根据三棱锥的特点求出其体积，然后利用基本不等式求出的最小值，建立关于a的不等关系，解之即可．
【解答】解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA＝3．PB＝2，PC＝1．
∴VP﹣ABC＝××3×2×1＝1＝+x+y
即x+y＝则2x+2y＝1
＝（）（2x+2y）＝2+2a++≥2+2a+4≥8
解得a≥1
∴正实数a的最小值为1
故答案为：1
三、解答题：本大题共6小题，共52分
17．（9分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx+φ 0 π 2π
x
y＝Asin（ωx+φ） 0 2 0 0
（1）请将如表数据补充完整；函数f（x）的解析式为f（x）＝ 2sin（2x+） （直接写出结果即可）；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
【答案】（1）f（x）＝2sin（2x+）．
（2）[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
【分析】（1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．
（2）利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
【解答】解：（1）把表格填完整：
ωx+φ 0 π 2π
x ﹣
y＝Asin（ωx+φ） 0 2 0 ﹣2 0
根据表格可得 ＝﹣，
∴ω＝2．
再根据五点法作图可得2×+φ＝，
∴φ＝，
∴函数的解析式为：f（x）＝2sin（2x+）．
（2）令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得 kπ﹣≤x≤kπ+，可得函数f（x）的单调递增区间为[﹣+kπ，+kπ]，k∈Z．
故答案为：2sin（2x+）．
18．（9分）已知向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若5cos（θ﹣φ）＝3cosφ，0＜φ＜，求φ的值．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由两向量的坐标及两向量垂直，利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，再由同角三角函数间的基本关系列出关系式，联立两关系式即可求出sinθ和cosθ的值；
（2）利用两角和与差的余弦函数公式化简已知等式的左边，将sinθ和cosθ的值代入求出tanφ的值，由φ的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出φ的度数．
【解答】解：（1）由向量＝（sin θ，﹣2）与向量＝（1，cos θ）互相垂直，
得sinθ﹣2cosθ＝0，又sin2θ+cos2θ＝1，其中θ∈（0，），
解得：sinθ＝，cosθ＝；
（2）由5cos（θ﹣φ）＝3cosφ，得5cosθcosφ+5sinθsinφ＝3cosφ，
将sinθ＝，cosθ＝代入，得sinφ＝cosφ，即tanφ＝1，
又0＜φ＜，所以φ＝．
19．（9分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin＝bsinA．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；
（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．
【解答】解：（1）asin＝bsinA，即为asin＝acos＝bsinA，
可得sinAcos＝sinBsinA＝2sincossinA，
∵sinA＞0，
∴cos＝2sincos，
若cos＝0，可得B＝（2k+1）π，k∈Z不成立，
∴sin＝，
由0＜B＜π，可得B＝；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，
由余弦定理可得b＝＝，
由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2﹣a+1＞1且1+a2﹣a+1＞a2，且1+a2＞a2﹣a+1，
解得＜a＜2，
可得△ABC面积S＝a sin＝a∈（，）．
20．（9分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）由线面垂直的性质可得B1C1⊥BE，结合BE⊥EC1利用线面垂直的判定定理可证明BE⊥平面EB1C1；
（2）由条件可得AE＝AB＝3，然后得到E到平面BB1C1C的距离d＝3，在求四棱锥的体积即可．
【解答】解：（1）证明：由长方体ABCD﹣A1B1C1D1，可知
B1C1⊥平面ABB1A1，BE 平面ABB1A1，
∴B1C1⊥BE，
∵BE⊥EC1，B1C1∩EC1＝C1，
∴BE⊥平面EB1C1；
（2）由（1）知∠BEB1＝90°，由题设可知Rt△ABE≌Rt△A1B1E，
∴∠AEB＝∠A1EB1＝45°，∴AE＝AB＝3，AA1＝2AE＝6，
∵在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1∥平面BB1C1C，E∈AA1，AB⊥平面BB1C1C，
∴E到平面BB1C1C的距离d＝AB＝3，
∴四棱锥E﹣BB1C1C的体积V＝×3×6×3＝18．
21．（8分）如图，在多面体ABCDEF中平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，BC＝2．
（Ⅰ）求证：AF⊥CD；
（Ⅱ）若M为线段BD的中点，求证：CE∥平面AMF；
（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．
【答案】见试题解答内容
【分析】（Ⅰ）由四边形ADEF为正方形，得AF⊥AD，再由平面ADEF⊥平面ABCD，结合面面垂直的性质可得AF⊥平面ABCD，从而得到AF⊥CD；
（Ⅱ）延长AM，交BC于G，证明△BGM≌△DAM，得到BG＝AD＝1，再由已知证明四边形GCEF为平行四边形，得到CE∥GF，然后利用线面平行的判定可得CE∥平面AMF；
（Ⅲ）设G为BC中点，连接DG，EG，分别证明DG∥平面AFB，DE∥平面AFB，可得平面DEG∥平面AFB．进一步证明AD⊥平面ABF，得到多面体AFB﹣DEG为直三棱柱．然后利用三棱柱AFB﹣DEG与三棱锥E﹣DGC的体积和求求多面体ABCDEF的体积．
【解答】（Ⅰ）证明：∵四边形ADEF为正方形，∴AF⊥AD，
又∵平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD＝AD，AF 平面ADEF，
∴AF⊥平面ABCD，
又CD 平面ABCD，∴AF⊥CD；
（Ⅱ）证明：延长AM，交BC于G，
∵AD∥BC，M为BD的中点，∴△BGM≌△DAM，
∴BG＝AD＝1，
∵BC＝2，∴GC＝1，
由已知FE＝AD＝1且FE∥AD，
又∵AD∥GC，∴FE∥GC，且FE＝GC．
∴四边形GCEF为平行四边形，则CE∥GF，
∵CE 平面AMF，GF 平面AMF，
∴CE∥平面AMF；
（Ⅲ）解：设G为BC中点，连接DG，EG，
由已知DG∥AB，∴DG∥平面AFB，
又∵DE∥AF，∴DE∥平面AFB，
∴平面DEG∥平面AFB．
∵AD⊥AB，AD⊥AF，∴AD⊥平面ABF，
∴多面体AFB﹣DEG为直三棱柱．
∵AB＝AF＝AD＝1，且∠BAF＝90°，
∴V1＝V三棱柱AFB﹣DEG＝S△AFB AD＝，
由已知DG∥AB，且DG＝AB，
∴DG⊥GC且DG＝GC＝1，
又∵DE∥AF，AF⊥平面CDG，
∴DE⊥平面CDG，
∵DE＝AF＝1，
∴＝．
∴．
22．（8分）若定义域R的函数f（x）满足：
① x1，x2∈R，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，② T＞0， x∈R，f（x+T）＝f（x）+1．则称函数f（x）满足性质P（T）．
（Ⅰ）判断函数f（x）＝2x与g（x）＝sinx是否满足性质P（T），若满足，求出T的值；
（Ⅱ）若函数f（x）满足性质P（2），判断是否存在实数a，使得对任意x∈R，都有f（x+a）﹣f（x）＝2021，并说明理由；
（Ⅲ）若函数f（x）满足性质P（4），且f（﹣2）＝0．对任意的x∈（﹣2，2），都有f（﹣x）＝﹣f（x），求函数的值域．
【答案】（Ⅰ）函数f（x）＝2x满足性质P（）．g（x）＝sinx满足性质P（T）．
（Ⅱ）存在，理由见解答；
（Ⅲ）{1}∪（2，6]．
【分析】（Ⅰ）利用定义分别判断即可求解得结论；
（Ⅱ）由②计算可得f（x+2n）＝f（x）+n，即f（x+2n）﹣f（x）＝n，令n＝2021即可求得a的值；
（Ⅲ）根据已知可得任意的x∈[﹣2，2），f（x）＝0，递推可得任意的x∈[4k﹣2，4k+2），k∈Z，有f（x）＝k，由f（t）≠0，可得t [﹣2，2），分t＝2，|t|＞2两种情况分别求出g（t）的值域即可得解．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）＝2x为增函数，满足性质①，
对于②，由 x∈R，f（x+T）＝f（x）+1有2（x+T）＝2x+1，
所以2T＝1，T＝，
所以函数f（x）＝2x满足性质P（）．
函数g（x）＝sinx显然不满足①，所以不满足性质P（T）．
（Ⅱ）存在，理由如下：
由 x∈R，f（x+2）＝f（x）+1．
可得f（x+2n）＝f（x+2n﹣2）+1＝f（x+2n﹣4）+2＝f（x+2n﹣6）+3＝…＝f（x）+n（n∈N*），
即f（x+2n）﹣f（x）＝n，
令n＝2021，得a＝2n＝4042．
（Ⅲ）依题意，对任意的x∈（﹣2，2），都有f（﹣x）＝﹣f（x），所以f（0）＝0，
因为函数f（x）满足性质P（4），
由①可得，在区间[﹣2，0]上有f（﹣2）≤f（x）≤f（0），
又因为f（﹣2）＝0，所以0≤f（x）≤0，可得任意x∈[﹣2，0]，f（x）＝0，
又因为对任意的x∈（﹣2，2），都有f（﹣x）＝﹣f（x），
所以任意的x∈[﹣2，2），f（x）＝0，
递推可得任意的x∈[4k﹣2，4k+2），k∈Z，有f（x）＝k，
函数g（t）＝，因为f（t）≠0，所以t [﹣2，2），
由②及f（﹣2）＝0，可得f（2）＝1，
所以当t＝2时，g（2）＝＝1，
当|t|＞2时，∈（﹣2，2），所以f（）＝0，
即|t|＞2时，g（t）＝，
所以当t∈[4k﹣2，4k+2）（k∈Z，k≠0，t≠2）时，g（t）＝，
当k≥1时，g（t）∈[，）＝[4﹣，4+）（当k＝1时，g（t）≠2，需要排除），
此时随k的增大而减小，所以[4﹣，4+） [4﹣，4+），
所以求值域，只需取k＝1，得g（t）∈[4﹣，4+）＝[2，6），
当k＜0时，g（t）∈（，]＝（4+，4﹣]，
此时随k的增大而减小，所以（4+，4﹣] （4+，4﹣]，
只需取k＝﹣1，得g（t）∈（4+，4﹣]＝（2，6]．
综上，函数g（t）的值域为{1}∪（2，6]．2021-2022学年高二（上）开学数学试卷
一、选择题：（每小题4分，共48分）
1．（4分）已知α＝，则点P（sinα，tanα）所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（4分）函数y＝3cos2x﹣4cosx+1，x的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）已知一个圆柱的底面半径和高相等，且体积为1000π，那么此圆柱的侧面积S等于（ ）
A．100π B．200π C．300π D．400π
4．（4分）设，是非零向量，则“⊥”是“函数f（x）＝（x+） （x﹣）为一次函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（4分）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）＝sinx，则f（）的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
6．（4分）如图一半径为3米的水轮，水轮的圆心O距离水面2米，已知水轮每分钟旋转4圈，水轮上的点P到水面的距离y（米）与时间x（秒）满足函数关系y＝Asin（ωx+φ）+2，则有（ ）
A．ω＝，A＝3 B．ω＝，A＝5 C．ω＝，A＝5 D．ω＝，A＝3
7．（4分）在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
8．（4分）已知结论：“在正三角形ABC中，若D是边BC的中点，G是三角形ABC的重心，则”，若把该结论推广到空间，则有结论：“在棱长都相等的四面体ABCD中，若△BCD的中心为M，四面体内部一点O到四面体各面的距离都相等，则＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（4分）如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值b，则下面的四个值中不为定值的是（ ）
A．点P到平面QEF的距离
B．三棱锥P﹣QEF的体积
C．直线PQ与平面PEF所成的角
D．二面角P﹣EF﹣Q的大小
10．（4分）如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，∠APB是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）
A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ
11．（4分）已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且AC⊥BC，AC＝BC＝1，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．（4分）如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，，则＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：（每小题5分，共20分）
13．（5分）已知f（x）的定义域为（0，1]，则f（sinx）的定义域是 ．
14．（5分）若将函数y＝sin2x的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为 ．
15．（5分）关于函数f（x）＝4sin（2x+）（x∈R）有下列命题，其中正确的是 ．
①y＝f（x）的表达式可改写为y＝4cos（2x﹣）；
②y＝f（x）的图象关于点（﹣，0）对称；
③y＝f（x）的最小正周期为2π；
④y＝f（x）的图象的一条对称轴为x＝﹣．
16．（5分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA＝3．PB＝2，PC＝1．设M是底面ABC内一点，定义f（M）＝（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M﹣PAB、三棱锥M﹣PBC、三棱锥M﹣PCA的体积．若f（M）＝（，x，y），且≥8恒成立，则正实数a的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共52分
17．（9分）某同学用“五点法”画函数在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：
ωx+φ 0 π 2π
x
y＝Asin（ωx+φ） 0 2 0 0
（1）请将如表数据补充完整；函数f（x）的解析式为f（x）＝ （直接写出结果即可）；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．
18．（9分）已知向量＝（sinθ，﹣2）与＝（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，）
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若5cos（θ﹣φ）＝3cosφ，0＜φ＜，求φ的值．
19．（9分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c．已知asin＝bsinA．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c＝1，求△ABC面积的取值范围．
20．（9分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，点E在棱AA1上，BE⊥EC1．
（1）证明：BE⊥平面EB1C1；
（2）若AE＝A1E，AB＝3，求四棱锥E﹣BB1C1C的体积．
21．（8分）如图，在多面体ABCDEF中平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且AD∥BC，∠BAD＝90°，AB＝AD＝1，BC＝2．
（Ⅰ）求证：AF⊥CD；
（Ⅱ）若M为线段BD的中点，求证：CE∥平面AMF；
（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积．
22．（8分）若定义域R的函数f（x）满足：
① x1，x2∈R，（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]≥0，② T＞0， x∈R，f（x+T）＝f（x）+1．则称函数f（x）满足性质P（T）．
（Ⅰ）判断函数f（x）＝2x与g（x）＝sinx是否满足性质P（T），若满足，求出T的值；
（Ⅱ）若函数f（x）满足性质P（2），判断是否存在实数a，使得对任意x∈R，都有f（x+a）﹣f（x）＝2021，并说明理由；
（Ⅲ）若函数f（x）满足性质P（4），且f（﹣2）＝0．对任意的x∈（﹣2，2），都有f（﹣x）＝﹣f（x），求函数的值域．
