江西省龙南实验中学2014～2015学年度高三上学期第一次月考数学文试题

龙南实验中学2014～2015学年度上学期
高三第一次月考数学（文）试题 2014年9月
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1.设集合M＝{x|x2－3x－4<0}，N＝{x|0≤x≤5}，则M∩N＝(　　)
A．(0，4] B．[0，4) C．[－1，0) D．(－1，0]
2.复数，则
A.5 B. C.25 D.
3.函数f(x)＝的定义域为(　　)
A．(0，2) B．(0，2] C．(2，＋∞) D．[2，＋∞)
4．设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5. 设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)
A．b6．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a>0，a≠1)的图像如图1-1所示，则下列结论成立的是(　　　)
图1-1
A．a>1，x>1 B．a>1，01 D．07 ．若函数的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，得数据如下：
那么方程的一个最接近的近似根为（ ）
A． B． C． D．
8．等差数列中的、是函数的极值点，则=（ ）
A. B. C. D.
9．设等差数列的前项和为，若，则等于（ ）
A. B. C. D.
10．若在数列中，对任意正整数，都有（常数），则称数列为“等方和数列”，称 为“公方和”，若数列为“等方和数列”，其前项和为，且“公方和”为，首项，则的最大值与最小值之和为（ ）
A、 B、 C、 D、
二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。
11．已知点在第二象限，则角的终边在第__________象限.
12． 若满足，则的值为?????? .
13．已知，则______.
14． 已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝.若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________．
15. 有一个奇数组成的数阵排列如下：


则第30行从左到右第3个数是 ．
三．解答题：本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16. (本小题满分12分) 已知角的终边经过点，且，试判断角所在的象限，并求和的值.
17. (本小题满分12分) 在等比数列{an}中，a2＝3，a5＝81.
(1)求an；
(2)设bn＝log3an，求数列{bn}的前n项和Sn.
18. (本小题满分12分)已知{an}是等差数列，满足a1＝3，a4＝12，数列{bn}满足b1＝4，b4＝20，且{bn－an}为等比数列．
(1)求数列{an}和{bn}的通项公式；
(2)求数列{bn}的前n项和．
19．(本小题满分12分) 已知数列的前n项和为满足：．
（Ⅰ）求证：数列是等比数列；
（Ⅱ）令，对任意，是否存在正整数m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．
20. (本小题满分13分) 数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝(n＋1)an＋n(n＋1)，n∈N*.
(1)证明：数列是等差数列；
(2)设bn＝3n·，求数列{bn}的前n项和Sn.
21．(本小题满分14分) 已知函数f(x)＝2x3－3x.
(1)求f(x)在区间[－2，1]上的最大值；
(2)若过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切，求t的取值范围；
(3)问过点A(－1，2)，B(2，10)，C(0，2)分别存在几条直线与曲线y＝f(x)相切？(只需写出结论)
高三第一次月考数学答案
1—10:BACDB DCABD 11. 四 12. 13.-2 14.  15.1051
16.解：?由得，.
若在第二象限，，此时；
若在第三象限，，此时.
17．解：(1)设{an}的公比为q，依题意得
解得
因此，an＝3n－1.
(2)因为bn＝log3an＝n－1，
所以数列{bn}的前n项和Sn＝＝.
18．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，由题意得
d＝＝＝3.
所以an＝a1＋(n－1)d＝3n(n＝1，2，…)．
设等比数列{bn－an}的公比为q，由题意得
q3＝＝＝8，解得q＝2.
所以bn－an＝(b1－a1)qn－1＝2n－1.
从而bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．
(2)由(1)知bn＝3n＋2n－1(n＝1，2，…)．
数列{3n}的前n项和为n(n＋1)，数列{2n－1}的前n项和为1×＝2n－1，
所以，数列{bn}的前n项和为n(n＋1)＋2n－1.
20.解： (1)证明：由已知可得＝＋1，即－＝1，所以是以＝1为首项，1为公差的等差数列．
(2)由(1)得＝1＋(n－1)·1＝n，所以an＝n2，
从而可得bn＝n·3n.
Sn＝1×31＋2×32＋…＋(n－1)×3n－1＋n×3n，①
3Sn＝1×32＋2×33＋…＋(n－1)3n＋n×3n＋1.②
①－②得－2Sn＝31＋32＋…＋3n－n·3n＋1＝－n·3n＋1＝，
所以Sn＝.
21.
解：(1)由f(x)＝2x3－3x得f′(x)＝6x2－3.
令f′(x)＝0，得x＝－或x＝.
因为f(－2)＝－10，f＝，f＝－，f(1)＝－1，
所以f(x)在区间[－2，1]上的最大值为f＝.
(2)设过点P(1，t)的直线与曲线y＝f(x)相切于点(x0，y0)，
则y0＝2x－3x0，且切线斜率为k＝6x－3，
所以切线方程为y－y0＝(6x－3)(x－x0)，
因此t－y0＝(6x－3)(1－x0)，
整理得4x－6x＋t＋3＝0，
设g(x)＝4x3－6x2＋t＋3，
则“过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切”等价于“g(x)有3个不同零点”．
g′(x)＝12x2－12x＝12x(x－1)．
当x变化时，g(x)与g′(x)的变化情况如下：
x
(－∞，0)
0
(0，1)
1
(1，＋∞)
g′(x)
＋
0
－
0
＋
g(x)
?
t＋3
?
t＋1
?
所以，g(0)＝t＋3是g(x)的极大值，g(1)＝t＋1是g(x)的极小值．
结合图像知，当g(x)有3个不同零点时，有解得－3故当过点P(1，t)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切时，t的取值范围是(－3，－1)．
(3)过点A(－1，2)存在3条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点B(2，10)存在2条直线与曲线y＝f(x)相切；
过点C(0，2)存在1条直线与曲线y＝f(x)相切．