1.4.2.2 用空间向量研究夹角问题 课件（共19张PPT）

(共19张PPT)
1.4 空间向量的应用
1.4.2.2 用空间向量研究夹角问题
与距离类似，角度是立体几何中另一个重要的度量。下面我们用向量的方法研究直线与直线所成的角、直线与平面所成的角以及平面与平面的夹角。
角度是对两个方向差的度量
向量是有方向的量
例 如图，在棱长为1的正四面体（四个面都是正三角形）中， ， 分别为 ，的中点．
（1）求直线 与夹角的余弦值；
（2）求直线 与平面所成角的正弦值.
新知探究
问题1 如何用空间向量求两条直线的夹角？
l1
两条直线l1，l2夹角的范围：
l2
l1
l2
问题1 如何用空间向量求两条直线的夹角？
l1
两条直线l1，l2夹角的范围：
[0°,90°]
两个向量夹角的范围：
[0°,180°]
l2
l1
l2
PART 1 异面直线夹角
若异面直线l1，l2所成的角为，其方向向量分别为，则
l1
l2
l1
l2
分析：
直线与夹角
例（1）求直线与夹角的余弦值；
方法1 选择空间的一个基底
方法2 建立空间直角坐标系
例（1）求直线与夹角的余弦值；
解：（1）法1：向量法
用空间向量求两条直线，夹角的步骤与方法：
例题小结1
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①转化为求两直线，的方向
向量，的夹角
③两条直线，夹角的余弦值
向量法
或坐标法
问题2 如何用空间向量求直线与平面的夹角？
l
l
l
l
问题2 如何用空间向量求直线与平面的夹角？
直线与平面夹角的范围：
l
l
问题2 如何用空间向量求直线与平面的夹角？
直线与平面夹角的范围：
[0°,90°]
l
l
PART 2 直线与平面的夹角
若直线AB与平面相交于点B，设直线AB与平面所成的角为，直线AB的方向向量分别为平面的法向量
为，则
l
l
A
B
A
B
例（2）求直线与平面所成角的正弦值；
直线CN与平面BCD所成的角
分析：
问：如何表示平面BCD法向量？
方法1 选择空间的一个基底
方法2 建立空间直角坐标系
例（2）求直线与平面所成角的正弦值；
解:(2)
用空间向量求直线平面所成角的步骤和方法：
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①转化为求直线的方向向量与平面法向量的夹角
③直线平面所成的角的 正弦值
例题小结2
PART 3 平面与平面的夹角
平面与平面相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面与平面的夹角。
α
β
α
β
l
n1
n2
α
β
l
PART 3 平面与平面的夹角
n1
n2
α
β
l