5.1.2 弧度制 课件（共35张PPT）

(共35张PPT)
5.1.2　弧度制
5.1 任意角和弧度制
1.理解弧度制的概念；
2.能进行角度与弧度的互化；
3.会利用弧度制证明并应用扇形周长及面积公式.
学习目标
1
自主学习
1.生活中在度量时，会用到不同的单位制，有哪些例子？
2.角的度量是否也能用不同的单位制呢？
比如，度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，
度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.
我们学过用度作为单位来度量角，这种单位制叫做角度制.
探究一：弧度制

如图，射线OA绕端点O旋转到OB形成角α.
在旋转过程中，射线OA上的一点P（不同于点O）的轨迹是一条圆弧，
这条圆弧对应圆心角α.

圆心角α所对的弧长与半径的比值，只与α的大小有关.
思考：我们是否可以利用圆的弧长与半径的关系来度量圆心角？
我们规定：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，
弧度单位用符号rad表示，读作弧度.
半径为1的圆叫单位圆，如图，在单位圆O中， 的长为1，
∠AOB就是1弧度的角.
因此，在半径为r的圆中，弧长为l的弧所对的圆心角为α rad，那么

正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
1.度量角的两种制度
角度制 定义 用 作为单位来度量角的单位制
1度的角 1度的角等于周角的______
弧度制 定义 以 作为单位来度量角的单位制
1弧度的角 长度等于 的圆弧所对的圆心角
度
弧度
半径长
2.弧度数的计算
正
负
0
探究二：
在度量零角时，角度制与弧度制单位不同，但量数相同，都为0；
在度量任一非零角时，单位不同，量数也不同.

学习了弧度，那么角度制与弧度制之间如何换算呢？
3.角度与弧度的互化
角度化弧度 弧度化角度
360°＝ rad 2π rad＝ ____
180°＝ rad π rad＝_____
1°＝ rad≈0.017 45 rad 1 rad＝ ≈57.30°
度数× ＝弧度数 弧度数× ＝度数
2π
360°
180°
π
√
×
√
√
小试牛刀
2
经典例题
例1（课本P173例4，例5）　
题型一 角度制与弧度制的互化
总结：角度与弧度互化技巧
1、在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad＝180°是关键，由它可以得到：
2、角度化弧度时，将分，秒化成度，再化成弧度
今后在用弧度制表示角时，“弧度”二字或“rad”通常略去不写，而只写该角对应的弧度数。
填写下列特殊角的度数和弧度数的对应表：
角的概念推广后，在弧度制下，
角的集合和实数集R之间建立了一一对应的关系；
每一个角都有唯一的一个实数与它对应；
反过来，每一个实数也都有唯一的一个角与它对应。
例2　将－1 125°写成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判断它是第几象限角？
题型二 用弧度制表示有关的角
所以－1 125°是第四象限角.
总结：用弧度制表示终边相同角的两个关注点
(1)用弧度制表示终边相同的角2kπ＋α(k∈Z)时，其中2kπ是π的偶数倍，而不是整数倍.
(2)注意角度制与弧度制不能混用.
跟踪训练 2 用弧度制表示终边落在如图所示阴影部分内的角θ的集合.
解　终边落在射线OA上的角为θ＝135°＋k·360°，k∈Z，
终边落在射线OB上的角为θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，
题型三 利用弧度制证明并利用扇形公式
例3（课本P174例6）　
四.　弧度制下的弧长与扇形面积公式
设扇形的半径为R，弧长为l，α(0<α<2π)为其圆心角，则
(1)弧长公式：l＝ .
αR
思考　扇形的面积公式与哪个平面图形的面积公式类似？对应的图形是否也类似？
答案　扇形的面积公式与三角形的面积公式类似.实际上，扇形可看作是一曲边三角形，弧是底，半径是底上的高.
总结：扇形的弧长和面积的求解策略
(1)记公式：弧度制下扇形的面积公式是S＝
(其中l是扇形的弧长，R是扇形的半径，α是扇形圆心角的弧度数，0<α<2π).
(2)找关键：涉及扇形的半径、周长、弧长、圆心角、面积等的计算问题，关键是分析题目中已知哪些量、求哪些量，然后灵活运用弧长公式、扇形面积公式直接求解或列方程(组)求解.
跟踪训练 3　(1)已知一扇形的圆心角是72°，半径为20，求扇形的面积.
解　设扇形弧长为l，
(2)已知扇形的周长为10 cm，面积为4 cm2，求扇形圆心角的弧度数.
解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l cm，半径为R cm，
①代入②得R2－5R＋4＝0，解得R1＝1，R2＝4.
当R＝1时，l＝8，此时，θ＝8 rad>2π rad舍去.
3
当堂达标
√
√
解析　A，B中弧度与角度混用，不正确；
√
－315°＝－360°＋45°，
660°
4.已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？
解　设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，弧长为l，半径为r，面积为S，
所以当r＝1时，S最大，且Smax＝1，
1.(1)弧度制的概念.
(2)弧度与角度的相互转化.
(3)扇形的弧长与面积的计算.
2.方法归纳：消元法.
3.常见误区：弧度与角度混用.
课堂小结
课堂作业
作业：完成对应练习