2024届新高三开学摸底考试卷（天津专用）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知全集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休．”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来研究函数图象的特征．我们从这个商标中抽象出一个如图所示的图象，其对应的函数解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
4．某城市在进行创建文明城市的活动中，为了解居民对“创建文明城”的满意程度，组织居民给活动打分（分数为整数，满分100分），从中随机抽取一个容量为120的样本，发现所给数据均在[40，100]内．现将这些分数分成以下6组并画出样本的频率分布直方图，但不小心污损了部分图形，如图所示．观察图形则下列说法中有错误的是（ ）
A．第三组的频数为18人
B．根据频率分布直方图估计众数为75分
C．根据频率分布直方图估计样本的平均数为75分
D．根据频率分布直方图估计样本的中位数为75分
5．设，，则（ ）
A． B． C． D．
6．若所有棱长都是3的直三棱柱的六个顶点都在同一球面上，则该球的表面积是（ ）
A． B． C． D．
7．已知是抛物线的焦点，抛物线的准线与双曲线的两条渐近线交于，两点，若为等边三角形，则的离心率（ ）
A． B． C． D．
8．将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若在区间上单调递增，且函数的最大负零点在区间上，则的取值范围是
A． B． C． D．
9．如图，在四边形ABCD中，M为AB的中点，且，．若点N在线段CD（端点除外）上运动，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二 填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。）
10．已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的虚部为______________．
11．在的展开式中，的系数是______________．
12．已知圆的圆心与点关于直线对称，直线与圆相交于、两点，且，则圆的方程为______________．
13．已知，，，则的最小值为______________．
14．某校高三1班第一小组有男生4人，女生2人，为提高中学生对劳动教育重要性的认识，现需从中抽取2人参加学校开展的劳动技能学习，恰有一名女生参加劳动学习的概率则为______________；在至少有一名女生参加劳动学习的条件下，恰有一名女生参加劳动学习的概率______________．
15．已知函数，若存在实数.满足，且，则___________，的取值范围是______________．
三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤。）
16．（15分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．（15分）已知如图，四边形为矩形，为梯形，平面平面，，，．
（1）若为中点，求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）在线段上是否存在一点（除去端点），使得平面与平面所成锐二面角的大小为？若存在，请说明点的位置；若不存在，请说明理由．
18．（15分）已知过点的椭圆的离心率为. 如图所示，过椭圆右焦点的直线（不与轴重合）与椭圆相交于两点，直线与轴相交于点，过点A作，垂足为.
(1)求四边形为坐标原点的面积的最大值；
(2)求证：直线过定点，并求出点的坐标.
19．（15分）已知为等差数列，数列满足，且，，.
(1)求和的通项公式；
(2)若，求数列的前项和；
(3)设的前项和为，证明：.
20．（15分）已知函数，．
(1)讨论函数的单调性；
(2)记，设，为函数图象上的两点，且．
（ⅰ）当，时，若在点处的切线相互垂直，求证：；
（ii）若在点处的切线重合，求的取值范围．2024届新高三开学摸底考试卷（天津专用）
数学·参考答案
一、选择题（本题共9小题，每小题5分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1 2 3 4 5 6 7 8 9
D A C C C C D D A
二 填空题：（本题共6小题，每小题5分，共30分。试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分。）
10、 11、 12、 13、 14、 ． 15、 ．
三、解答题（本题共5小题，共75分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤。）
16．（15分）
【详解】（1）由及正弦定理，得，.......................2分
因为，
所以，且........................4分
又，可得........................6分
（2）因为，
由余弦定理，得，......................8分
即，解得(负值舍去)........................9分
（3）由（1）及，，，得，.......................10分
从而........................11分
由（1）得........................13分
，，
所以
........................15分
（15分）
【详解】（1）证明：如图，设与交于点，连接，
∵四边形为矩形，
∴为的中点，又因为为的中点，........................2分
∴，而平面，平面，
∴平面；........................4分
（2）解：因为平面平面，平面平面，，平面，
所以平面，........................6分
因为平面，所以，
因为，........................7分
所以，，两两垂直，
所以如图，分别以为坐标原点，以，，为，，轴建立空间直角坐标系，
根据题意，则有，，，，
所以，，，........................8分
假设平面的一个法向量为，
则有，
设直线与平面所成角的平面角为，
则有．........................10分
（3）解：假设存在点，满足题意，且此时，
即得，
则有，，........................12分
假设平面的一个法向量为，
则有，
又因为平面的一个法向量为，.......................13分
根据题意，则有，
解之可得，，.......................14分
即得，即点为线段上靠近点的一个三等分点，坐标为．.......................15分
（15分）
【详解】（1）由题意可得：，解得：，所以椭圆的方程为，则椭圆的右焦点为，.......................2分
当直线的斜率等于时不符合题意；
设直线斜率不为0时，直线方程为，，，
由可得：，
则，，，.......................4分
所以，.......................6分
所以四边形的面积为
，
设，则，所以，
因为，当且仅当即，时，最小值为，.......................8分
所以，因为，可得
所以四边形（为坐标原点）的面积的最大值为；......................9分
（2）因为，，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为：........................10分
令可得：........................12分
由（1）知：，，则
所以，则直线过定点........................15分
（15分）
【详解】（1）解：由及可知，数列是以为公比的等比数列，
所以，，故，........................2分
设等差数列的公差为，由，可得，，
所以，.........................4分
（2）解：，设数列的前项和为，
，
记，，
所以，，........................6分
，①
，②
①②可得........................8分
，所以，，
因此，.........................9分
（3）证明：先证明柯西不等式，
构造函数，
显然且，
所以，，
即，
当且仅当时，等号成立，........................11分
本题中，由（1）可得，
所以，，且，........................12分
所以，，
，........................13分
所以，，........................14分
但不恒为常数，所以等号不成立，
则.........................15分
（15分）
【详解】（1），则，........................1分
当即时，，在上单调递减，........................2分
当时即时，，
令，得或；令，得；........................4分
此时在和上单调递减，在上单调递增；........................5分
（2）（ⅰ），据题意有，又，
则且，........................7分
所以，
当且仅当，即，时取等号．........................8分
（ii）要在点处的切线重合，首先需要在点处的切线的斜率相等，
而时，，则必有，即，，
处的切线方程是：，........................9分
处的切线方程是：，即，........................10分
据题意则，，........................11分
设，，，
令，在上恒成立,
则在上单调递增,
则在上，在上单调递增，
则,........................13分
令，则在上单调递增,
所以，故在恒成立
即当时的值域是，
故，即为所求．........................15分
