2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）
数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合，B=，则（ ）
A. {－2，－1，1} B. {－2， 0， 1}
C. {－2，－1} D. {－1， 1}
2．已知复数，为z的共轭复数，则（ ）
A. B. 2 C. D.
3．已知向量，且，则（ ）
A. B. C. 2 D. －2
4．已知函数f(x)＝loga(6－ax)(a>0，且a≠1)在(0,2)上单调递减，则实数a的取值范围是( )
A．(1,3] B．(1,3)
C．(0,1) D．(1，＋∞)
5．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（ ）
A. 2 B. 4 C. D.
6．已知直线是圆C： 的对称轴，过点A作圆C的一条切线，切点为B，则|AB|=（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 8
7．等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，设甲：，乙：{Sn}是递增数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
8．已知sin＋cos α＝，则sin等于( )
A. B. C．－ D．－
多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．维生素C又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素，现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克维生素的含量（单位：mg），得到数据如下.则下列说法不正确的是（）
猕猴桃
柚子
A. 每100克柚子维生素C含量的众数为121
B. 每100克柚子维生素C含量的75%分位数为121
C. 每100克猕猴桃维生素C含量的平均数高于每100克柚子维生素C含量的平均数
D. 每100克猕猴桃维生素C含量的方差高于每100克柚子维生素C含量的方差
10．牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是（单位：），环境温度是（单位：），其中则经过分钟后物体的温度将满足且）.现有一杯的热红茶置于的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（ ）（参考数值
A．若，则
B．若，则红茶下降到所需时间大约为7分钟
C．若，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟的速率下降
D．红茶温度从下降到所需的时间比从下降到所需的时间多
11．已知定义在R上的函数f(x)的导函数为，且，，则下列结论正确的有（）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若f(x)是增函数，则是减函数
D. 若f(x)是减函数，则是增函数
12．我们把所有棱长都相等的正棱柱（锥）叫“等长正棱柱（锥）”，而与其所有棱都相切的称为棱切球，设下列“等长正棱柱（锥）”的棱长都为1，则下列说法中正确的有（ ）
A.正方体的棱切球的半径为
B.正四面体的棱切球的表面积为
C.等长正六棱柱的棱切球的体积为
D.等长正四棱锥的棱切球被棱锥5个面（侧面和底面）截得的截面面积之和为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．现从4名男志愿者和3名女志愿者中，选派2人分别去甲、乙两地担任服务工作，若被选派的人中至少有一名男志愿者，则不同的选派方法共有___________种.(用数字作答)
14．《九章算术》中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为______.
15．设函数f(x)＝sin在区间(0，π)上恰有三个极值点、两个零点，则ω的取值范围是
16．已知F为双曲线的右焦点，A、B是双曲线C的一条渐近线上关于原点对称的两点，且线段的中点在双曲线C上，则双曲线C的离心率 .
四、解答题：共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．
（1）求B的大小；
（2）若，△ABC的面积为，求△ABC的周长．
18．如图,在四棱锥中,底面为直角梯形,,,平面底面,为的中点,是棱(不与端点重合)上的点,,.
(1)求证:平面平面;
(2)当的长为何值时,平面与平面所成的角的大小为
19．已知函数f(x)＝ex－ax－a，a∈R.
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)当a＝1时，令g(x)＝.证明：当x>0时，g(x)>1.
20．已知数列是以d为公差的等差数列，为的前n项和．
(1)若，求数列的通项公式；
(2)若中的部分项组成的数列是以为首项，4为公比的等比数列，且，求数列的前n项和．
21．甲、乙两选手进行一场体育竞技比赛，采用局胜制
的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜. 已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.
(1)若，结束比赛时，比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
(2)若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即.
(i)求的取值范围；
(ii)证明数列单调递增，并根据你的理解说明该结论的实际含义.
22.已知圆，定点是圆上的一动点，线段的垂直平分线交半径于点.
(1)求的轨迹的方程；
(2)若过的直线分别交轨迹与和，且直线的斜率之积为，求四边形面积的取值范围2024届新高三开学摸底考试卷（新高考专用）
数学·参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
A C D A D C B D BC BC BD BCD
13．36
14．
15．
16．
17．(1)
(2).
【详解】（1）由正弦定理得，所以
，
得，因为，所以，
得，又，
所以．
（2）由，得，
由余弦定理，得，
得，
得，
所以的周长为．
18．(1) 略 (2)
【解析】(1),为的中点,,
,,
四边形为平行四边形,.
,.
,,.
又平面平面,平面平面,
平面,.又,平面.
平面,平面平面.
(2)由(1)可知平面.如图,以为原点,分别以,,所在直线为轴,轴,轴,建立空间直角坐标系,
则,,,,,
,,,,
.
设,则,且,得,
.
设平面的法向量为,
则,即,
令,则,,
平面的一个法向量为.
设平面的法向量为,
则,即
令,则,,
平面的一个法向量为.
平面与平面所成的锐二面角的大小为,
,
.
.
即当时,平面与平面所成的角大小为
19．【答案】(1)a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增
(2)见解析
【详解】(1)解 函数f(x)＝ex－ax－a的定义域为R，求导得f′(x)＝ex－a，
当a≤0时，f′(x)>0恒成立，即f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
当a>0时，令f′(x)＝ex－a>0，解得x>ln a，令f′(x)<0，解得x即f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增，
所以当a≤0时，f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增，
当a>0时，f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增．
(2)证明 当a＝1时，g(x)＝，
当x>0时，>1 ex>1＋x＋ <1，
令F(x)＝－1，x>0，F′(x)＝<0恒成立，则F(x)在(0，＋∞)上单调递减，
F(x)所以当x>0时，g(x)>1，即原不等式得证．
20．【答案】(1)
(2)
【详解】（1））因为，所以，
所以.
所以.
则数列的通项公式为.
（2）因为数列是以首项为，公比为4等比数列.
所以.
因为数列是等差数列，所以.
化简得.
因为，所以，即.
所以.
因为，所以数列是以为首项．4为公比的等比数列
所以.
所以.
则数列的前n项和为：.
21．【答案】(1)分布列见解析，
(2)（i）；（ii）证明见解析，比赛局数越多，对实力较强者越有利
【详解】（1），即采用3局2胜制，所有可能取值为，
，
的分布列如下表：
2 3
所以的数学期望为.
（2）采用3局2胜制：不妨设赛满3局，用表示3局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：
，
采用5局3胜制：不妨设赛满5局，用表示5局比赛中甲胜的局数，则，甲最终获胜的概率为：
，
，
得.
（ii）由（i）知.
局比赛中恰好甲赢了局的概率为，
局比赛中恰好甲赢了局的概率为，
则局比赛中甲至少赢局的概率为.
考虑局比赛的前局：
如果这局比赛甲至少赢局，则无论后面结果如何都胜利，其概率为，
如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场至少赢一局，其概率为，
如果这局比赛甲赢了局，则需要后两场都赢，其概率为，
因此局里甲最终获胜的概率为：，
因此，即数列单调递增.
该结论的实际意义是：比赛局数越多，对实力较强者越有利.
22．【答案】(1)
(2)
【详解】（1）
因为线段的垂直平分线交半径与点，
所以，
所以是定值，，
所以点轨迹为椭圆，其长轴为4，焦距为2，
所以的轨迹的方程.
（2）解法一
设.由已知得：直线的方程为；
设，.由已知得：直线的方程为
又因为AC、BD斜率之积为，所以，
由得，即，
所以，
.
故
同理联立BD与椭圆方程，可得，
所以，
故
设分别为点到直线的距离，
则.
又在直线在异侧，则
所以，
令
易知，所以，
所以
解法二
设，所以，设圆心为，
因为直线的斜率之积为，
所以，
设直线方程，
点到的距离为，
所以，
同理，
设四边形面积为，
则，
令，则，
所以，
所以，
设四边形面积为S，因为，
所以.
