2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）
文科数学
本试卷共22题（含选考题）.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2．回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目
1．已知集合,,则（ ）
A． B． C． D．
2．复数在复平面上对应的点位于虚轴上,则实数a的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
3．已知2022年第1季度农村居民人均消费支出为4391元,为本季度农村居民人均可支配收入的76%,本季度农村居民人均可支配收入的来源及其占比的统计数据的饼状图如图所示,根据饼状图,则下列结论正确的是（ ）
A．财产净收入占农村居民人均可支配收入的4%
B．工资性收入占农村居民人均可支配收入的40%
C．经营净收入比转移净收入大约多659元
D．财产净收入约为173元
4．平行四边形中,点在边上,,记,则（ ）
A． B．
C． D．
5．记为等差数列的前n项和,已知,,则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．某个函数的大致图象如图所示,则该函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
7.已知函数,则的图象在处的切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．在2023年3月12日马来西亚吉隆坡举行的Yong Jun KL Speedcubing比赛半决赛中,来自中国的9岁魔方天才王艺衡以4.69秒的成绩打破了“解三阶魔方平均用时最短”吉尼斯世界纪录称号.如图,一个三阶魔方由27个单位正方体组成,把魔方的中间一层转动了之后,表面积增加了（ ）
A．54 B． C． D．
9．设是椭圆的上顶点,是上的一个动点．当运动到下顶点时,取得最大值,则的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,
这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.在平面直角坐标系中作,,点,点,且其“欧拉线”与圆相切.则圆上的点到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．6
11.已知直四棱柱的底面为正方形,,为的中点,过三点作平面,则该四棱柱的外接球被平面截得的截面圆的周长为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数与的定义域均为,为偶函数,且,,则下面判断错误的是( )
A．的图象关于点中心对称
B．与均为周期为4的周期函数
C．
D．
填空题：本题共4小题,每小题5分,共20分.
13．13．若x,y满足约束条件,则的最大值为________．
14．已知是公比为)的等比数列,且成等差数列,则__________．
15．已知,若在上恰有两个不相等的实数、满足,则实数的取值范围是__________．
16．已知抛物线的焦点为F,点在抛物线上,且满足,设弦的中点M到y轴的距离为d,则的最小值为__________．
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17．（12分）．如图,在四棱锥中,底面ABCD是边长为2的菱形,,AC与BD交于点O,底面ABCD,,点E,F分别是棱PA,PB的中点,连接OE,OF,EF．
(1)求证：平面平面PCD；
(2)求三棱锥的体积．
18.（12分）为了检查工厂生产的某产品的质量指标,随机抽取了部分产品进行检测,所得数据统计如下图所示．
(1)求的值以及这批产品质量指标的平均值；
(2)若按照分层的方法从质量指标值在的产品中随机抽取7件,再从这7件中随机抽取2件,求至少有一件的指标值在的概率；
(3)为了调查两个机器与其生产的产品质量是否具有相关性,以便提高产品的生产效率,质检人员选取了部分被抽查的产品进行了统计,所得数据如下表所示,判断是否有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性．
机器生产 机器生产
优质品 200 80
合格品 120 80
附：
0.050 0.010 0.001
3.811 6.635 10.828
．
19.（12分）在中,,点在边上,且,.
(1)求；
(2)求的面积.
20.（12分）已知双曲线的左、右焦点分别为,,是的左顶点,的离心率为2．设过的直线交的右支于、两点,其中在第一象限．
(1)求的标准方程；
(2)若直线、分别交直线于、两点,证明：为定值；
(3)是否存在常数,使得恒成立？若存在,求出的值；否则,说明理由．
21.（12分）设函数.
(1)从下面两个条件中选择一个,求实数的取值范围；
①当时,；
②在上单调递增.
(2)当时,证明：函数有两个极值点,且随着的增大而增大.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中,曲线的方程为．曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)求曲线和曲线的极坐标方程；
(2)若射线（,）交曲线于点P,直线与曲线和曲线分别交于点M、N,且点P、M、N均异于点O,求面积的最大值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数的最小值为m,的最小值为n．实数a,b,c满足,,,．
(1)求m和n；
(2)证明：2024届新高三开学摸底考试卷（全国通用）
文科数学·答案及评分标准
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
C B D D A B B C B A D C
13． 14．1
15． 16．1
17．【解析】（1）因为底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O
所以O为AC中点,
点E是棱PA的中点,F是棱PB的中点,
所以OE为三角形的中位线,OF为三角形的中位线,
所以,,（3分）
平面,平面,平面,
平面,平面,平面,
而,平面,平面,
平面平面PCD. （6分）
（2）因为底面ABCD是边长为2的菱形,,
所以为等边三角形,
所以,
因为底面ABCD,
底面ABCD,底面ABCD,
所以,,（8分）
所以和均为直角三角形,
所以,,
所以,
所以,
所以,（10分）
设点到平面的距离为,
根据体积相等法可知,
所以,
所以.
,
故三棱锥的体积为.（12分）
18．【解析】（1）由题图可知,,
解得,（2分）
质量指标的平均值．（4分）
（2）依题意,质量指标值在的有4件,记为1、2、3、4,质量指标值在的有3件,记为,（5分）
则随机抽取2件,所有的情况为,,共21件,
其中满足条件的为,,共15件,
故所求概率．（8分）
（3）完善表格如下：
A机器生产 B机器生产 总计
优质品 200 80 280
合格品 120 80 200
总计 320 160 480
（10分）
在本次试验中,的观测值,
故没有99.9%的把握认为机器类型与生产的产品质量具有相关性．（12分）
19.【解析】（1） 由题意知,. （2分）
设,所以.
在中,,
所以,从而.（5分）
（2）设,
在中,,
在中,,
所以.（8分）
在中,由,得,
所以,（10分）
从而的面积为.（12分）
20．【解析】（1）由题可得,故可得,（2分）
则,（3分）
故的标准方程为.（4分）
（2）由（1）中所求可得点A,的坐标分别为,
又双曲线渐近线为,显然直线的斜率不为零,
故设其方程为,,（5分）
联立双曲线方程可得：,
设点的坐标分别为,
则,
,
；（6分）
又直线方程为：,令,则,
故点的坐标为；
直线方程为：,令,则,
故点的坐标为；（7分）
则
故为定值.（8分）
（3）当直线斜率不存在时,
对曲线,令,解得,
故点的坐标为,此时,
在三角形中,,故可得,
则存在常数,使得成立；（9分）
当直线斜率存在时,
不妨设点的坐标为,,直线的倾斜角为,直线的倾斜角为,
则,,
假设存在常数,使得成立,即,
则一定有,也即；
又；；
又点的坐标满足,则,
故
；（11分）
故假设成立,存在实数常数,使得成立；
综上所述,存在常数,使得恒成立. （12分）
21.【解析】（1）令,则,所以,则,
令,则,（2分）
选①：当时,因为时,,所以在上单调递增,
又,所以当时,,说明在上单调递增,
所以,符合题意；（4分）
当时,,当时,,所以在上单调递减,
又,所以当时,,说明在上单调递减,
所以当时,,此时不符合题意；
综上,实数的取值范围.（6分）
选②：在上单调递增,所以在上恒成立
当时,,所以在上递增,
又,所以当时,,所以在上单调递减,不符合题意；（4分）
当时,当时,,所以在上单调递减,
当时,,所以在上单调递增,
从而,由在上恒成立,得,
令,说明在单调递增,在单调递减,
所以,当且仅当时取得等号,故.
综上,实数的取值范围.（6分）
（2）当时,当时,在上单调递减,又,
当时,,说明在上单调递增,
当时,,说明在上单调递减,
所以为极大值点. （8分）
由（1）有,则,
所以当时,有,
所以当时,,
所以使得.
当时,,当时,,
所以为极小值点,
综上,函数有两个极值点；（10分）
其中满足,所以,
设,则,
由（1）知,所以单调递增,
所以随着的增大而增大,又,
所以,故随着的增大而增大. （12分）
22. 【解析】（1）把,代入,
得曲线的极坐标方程为,即．（2分）
将中的参数消去,得曲线的普通方程为,
把,代入,得曲线的极坐标方程为,即．（5分）
（2）由题得,,,
,（7分）
因为,所以
,
其中,,
当,即时,的面积取得最大值．（10分）
23.【解析】（1）函数的最小值为,此时,（1分）
当时,,
当时,,
当时,,
函数,（3分）
函数在上单调递减,在上单调递增,
当时,,
所以函数的最小值为,
故.（5分）
（2）由（1）知,,
因为,,
所以,,,,,（7分）
又因为,
所以,又,
所以,所以．所以．（10分）
