2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）
文科数学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷
一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．
C．（2，3] D．[-2，3）
2．复数,则的虚部为
A． B．i C．-1 D．1
3．是空气质量的一个重要指标，我国标准采用世卫组织设定的最宽限值，即日均值在以下空气质量为一级，在之间空气质量为二级，在以上空气质量为超标.如图是某地11月1日到10日日均值（单位：）的统计数据，则下列叙述不正确的是（ ）
A．这天中有天空气质量为一级 B．这天中日均值最高的是11月5日
C．从日到日，日均值逐渐降低 D．这天的日均值的中位数是
4．若，则（ ）
A． B． C． D．
5．“ChatGPT”以其极高的智能化引起世界关注.深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的.在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度.已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为，衰减速度为，且当训练迭代轮数为时，学习率为，则学习率衰减到以下（不含）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：）（ ）
A．75 B．74 C．73 D．72
6．等差数列中，已知且公差，则其前项的和取得最小值时的值为
A．7 B．8 C．9 D．10
7．已知函数的部分图象如下所示，则可能为（ ）
A． B．
C． D．
8．设命题 在上单调递增，命题，则是成立的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
9．已知定义域为的奇函数满足，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
10．曲线上的点到直线的最短距离是（ ）
A． B． C．1 D．2
11．已知抛物线的焦点为，准线为，点是抛物线上一点，于.若，则抛物线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
12．已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且
，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分
13．已知，若，则______ .
14．圆心在直线上，且与直线相切于点的圆的标准方程为________．
15．阿基米德（公元前287年—公元前212年），伟大的古希腊哲学家、数学家和物理学家，他死后的墓碑上刻着一个“圆柱容球”的立体几何图形，为纪念他发现“圆柱内切球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的”这一完美的结论.已知某圆柱的轴截面为正方形，其表面积为，则该圆柱的内切球体积为________.
16．已知函数，若函数恰有三个零点，则实数的取值范围是______．
三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）
（一）必考题：共60分
17．第十三届全国人大第二次会议于2019年3月5日在北京开幕．为广泛了解民意，某人大代表利用网站进行民意调查．数据调查显示，民生问题是百姓最为关心的热点，参与调查者中关注此问题的约占．现从参与调查者中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
(1)求；
(2)现在要从年龄较小的第1组和第2组中用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人接受现场访谈，求这两人恰好属于不同组别的概率；
(3)把年龄在第1，2，3组的居民称为青少年组，年龄在第4，5组的居民称为中老年组，若选出的200人中不关注民生问题的中老年人有10人，问是否有的把握认为是否关注民生与年龄有关？
附：
0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001
2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
，．
18．在①；②；③，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并对其进行求解．
在中，内角的对边分别为．已知________．
（1）求角的大小；
（2）若，求边上高的最大值．
19．如图，在几何体中，四边形是菱形，，平面平面，.
（1）求证：；
（2）若，，求三棱锥和三棱锥的体积.
20．已知椭圆C：的离心率为，过椭圆右焦点F的直线l与椭圆交于A，B两点，当直线l与x轴垂直时，．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)当直线l的斜率为k时，在x轴上是否存在一点P（异于点F），使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等？若存在，求P点坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数，其中为自然对数的底数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)若函数有两个零点，证明：.
（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[坐标系与参数方程]在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
(1)求曲线的极坐标方程；
(2)若直线与曲线交于两点，求．
23．[不等式选讲]已知．
(1)若，求的取值范围；
(2)若不等式的解集为，求实数的取值范围．2024届新高三开学摸底考试卷（课标全国专用）
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1．C 2．D 3．D 4．B 5．C 6．A 7．D 8．B 9．B 10．B 11．A 12．C
13．
14．
15．
16．
17．【详解】(1)因为（列式正确1分）
解得（2分）
(2)由题意可知从第1组选取的人数为人，设为，，
从第2组选取的人数为人，设为，，．
从这5人中随机抽取2人的所有情况有：
，，，，，
，，，，，共10种（4分）
这两人恰好属于不同组别有，，，，，，共6种．
所以所求的概率为．（5分）
(3)选出的200人中，各组的人数分别为：
第1组：人，
第2组：人，
第3组：人，
第4组：人，
第5组：人，
所以青少年组有人，中老年组有人，
因为参与调查者中关注此问题的约占，即有人不关心民生问题，
所以选出的200人中不关注民生问题的青少年有30人．
于是得列联表（列联表正确，7分，不完全正确扣1分）
关注民生问题 不关注民生问题 合计
青少年 90 30 120
中老年 70 10 80
合计 160 40 200
所以（9分）
所以没有的把握认为是否关注民生与年龄有关（10分）
【详解】（1）选①：由正弦定理得：
整理得：（2分）
（3分）
又（4分）
（5分）
选②：由正弦定理得：，（1分）
即，（2分）
，，
（3分）
又（4分）
（5分）
选③：（1分）
，
（3分）
又，（4分）
，解得：（5分）
（2）设边上的高为，
由余弦定理得：（7分）
（当且仅当时取等号），（9分）
面积的最大值为（10分）
又，，即边上的高的最大值为（12分）
19．【详解】（1）证明:如图，连接，与交于点，则为的中点，连接，
由四边形是菱形可得（1分）
因为，所以（2分）
因为，所以平面（3分）
因为平面，
所以（4分）
（2）因为平面平面，平面平面，且，
所以平面（6分）
即 为三棱锥的高.
由，四边形是菱形，且，
可得与都是边长为2的等边三角形，所以（7分）
因为的面积（8分）
故（9分）
因为， 平面， 平面，所以平面，（10分）
故点到平面的距离也为（11分）
由四边形是菱形得
因此（12分）
20．【详解】（1）设椭圆C的半焦距为，
由题意可得，解得，（3分）
所以椭圆C的标准方程为（4分）
（2）由（1）可得：，
根据题意可设直线，
联立方程，消去y得（5分）
则，
可得，①（6分）
由题意可知x轴为直线PA与直线PB的对称轴，则，
可得（8分）
因为，可得，
整理得，②（10分）
将①代入②得：，解得，（11分）
所以存在点P，使x轴上任意一点到直线PA与到直线PB的距离相等，此时.（12分）
21．【详解】（1）当时，的定义域为，
则（1分，求导正确给1分）
因为，则，所以（2分）
当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为.（4分）
（2）若函数有两个零点，则，
即，
两式相减，可得，（5分）
两式相加得，（6分）
要证，只要证，即证，即证，（7分）
只须证，即证，即证，（9分）
令，则由得，故须证，（10分）
令，则，
当时，，所以在上单调递增，（11分）
所以当时，，即成立，
故原不等式成立.（12分）
22．【详解】（1）由可得，（1分）
将代入可得，，（3分）
整理可得（4分）
（2）和联立可得，（6分）
设对应得极径分别为，根据韦达定理，（8分）
于是（10分）
23．【详解】（1）由可得，（1分）
当时，原不等式可化为，解得；（2分）
当时，原不等式可化为，显然不成立；（3分）
当时，原不等式可化为，解得；（4分）
所以的取值范围为或；（5分）
（2）因为，当且仅当时等号成立，（7分）
所以由不等式的解集为，可得，（8分）
.解得．（9分）
故实数的取值范围是．（10分）
