【暑假复习】北师大版五年级数学下册第二单元长方体（一）综合练习（含答案）

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【暑假复习】北师大版五年级数学下册第二单元长方体（一）
一、选择题
1．把下面各种形状的硬纸板通过折叠，能围成一个正方体的是（ ）。
A． B． C． D．
2．如图是一个正方体的展开图，它的六个面上分别写有“构建和谐社会”六个字，将其围成正方体后，与“构”字相对面上的字是（ ）。
A．建 B．谐 C．社 D．会
3．把一个棱长为5cm的正方体锯成两个小长方体，表面积比原来增加了（ ）cm2。
A．50 B．25 C．20 D．10
4．两个棱长5cm的正方体拼成一个长方体，表面积是（ ）cm2。
A．25 B．150 C．250 D．300
5．将一个长是6厘米的长方体与一个正方体拼接在一起构成一个大的长方体，大长方体比原长方体表面积增加36平方厘米，原来长方体的表面积是（ ）平方厘米。
A．216 B．90 C．54 D．72
6．2022年2月4日晚，举世瞩目的北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行。龙龙买了一个本届冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩具，准备寄给好友岗岗，需要用到一个长30厘米、宽20厘米、高15厘米的长方体木框架进行打包，龙龙至少要准备（ ）分米长的木条。
A．13 B．26 C．135 D．260
二、填空题
7．两块完全一样的长方体，长6dm、宽5dm、高4dm，把它们拼成一个大长方体后，大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和最多减少( )，最少减少( )。
8．用包装纸将2个相同的长方体纸盒包装起来（如图），至少需要( )平方厘米的包装纸。
9．4个棱长为50cm的正方体纸箱放在墙角处，如图。有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？
分析与解答：4个棱长为50cm的正方体纸箱放在墙角处，有( )个面露在外面，求的就是( )个面的面积。计算正方体露在外面的面积时，可以先算出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数。列式计算为( )。
10．
如图，做一个这样的包装盒至少要用多少纸板？
分析与解答：长方体纸盒是由纸板折叠而成的，计算纸板的面积就是把这个纸盒展开，计算展开后的6个长方形的面积和。
图中A、C是长方体的上、下面，图中E、F是长方体的左、右面，图中B、D是长方体的前、后面。
方法一：先求出六个面的面积后再相加。列式计算为( )。
方法二：先求出A、B、E的面积和，再乘2。列式计算为( )。
11．一个长方体，长8厘米、宽6厘米、高5厘米，切掉一个最大的正方体（如图），表面积( )（填“增加”或“减少”）了( )平方厘米。
12．手工课上。淘气在一块长方体（高1cm）橡皮上挖出一个棱长1cm的正方体（如图），表面积( )（填“增加”或“减少”）了( )cm2。
三、判断题
13．下图是正方体的一种展开图。( )
14．一个长6分米，宽4分米的长方体，如果高增加1分米，它的表面积就增加10平方分米。( )
15．棱长2cm的正方体的表面积和棱长总和一样大。( )
16．长方体相邻的三条棱的长度之和是14厘米，这个长方体的棱长总和是42厘米。( )
四、计算题
17．下图的纸板可以折成一个长方体纸盒（单位：厘米），这个长方体纸盒的表面积是多少平方厘米？
18． 5个棱长5分米的正方体摆放在墙角（如下图），求露在外面的面积。
五、作图题
19．在下图的正方体展开图中分别填上1、2、3、4、5、6，使把它折成一个正方体时，1的对面是2，3的对面是4，5的对面是6。
六、解答题
20．有一间长方体仓库长10米、宽5米、高3米。除去门窗面积12平方米，现在要给这个仓库的墙壁和屋顶粉刷涂料。
（1）需要粉刷涂料部分的面积是多少平方米？
（2）如果每平方米需要0.5千克的涂料，那么至少需要购买多少千克涂料？
21．一个长方体形玻璃鱼缸，长50厘米、宽30厘米、高20厘米。制作4个这样的鱼缸至少需要多少平方分米玻璃？（鱼缸的上面没有玻璃）
22．做一对无盖的长方体铁盒子，底面是边长为3分米，高是15厘米。制作这样一对铁盒至少需要多少平方分米铁皮？
23．海湾小学的会议室长15米、宽8米、高3米，工人叔叔要粉刷这间会议室的四个墙壁和屋顶，门窗的面积是30平方米。要粉刷的面积是多少平方米？
24．一种长方体铁皮通风管高80厘米，底面是一个边长为25厘米的正方形。做10节这样的通风管至少需要铁皮多少平方米？
25．健身中心准备新建一个游泳池，该游泳池长是50米，宽是25米，深是2.5米。计划要在游泳池的四周和底面贴瓷砖，这个游泳池贴瓷砖的面积是多少平方米？
26．如图，在这个长方体中截下一个最大的正方体后，发现剩下图形的表面积比原长方体的表面积减少了，减少了多少平方厘米？先在图中画出示意图，再计算。
27．某种品牌的牙膏盒长和宽都是5厘米，高为20厘米。淘气在计算这个牙膏盒的表面积时列式为：“”。
（1）这个列式正确吗？在括号里写“正确”或“错误”。（ ）
（2）“”在计算哪些面的面积？在下面的展开图上涂一涂。
28．学校运动会的领奖台除了底面不涂漆外，其他各面都涂漆，需要涂漆的面积是多少平方厘米？（单位：cm）
参考答案
1．B
【分析】根据正方体展开图的11种特征，选项A、选项C、选项D不属于正方体展开图，不能折成正方体；选项B属于正方体展开图的“1-3-2”型，能折成正方体。
【详解】根据正方体展开图的特征：
A．不属于正方体展开图，原题不符合题意；
B．属于正方体展开图的“1-3-2”型，能折成正方体；
C．不属于正方体展开图，原题不符合题意；
D．不属于正方体展开图，原题不符合题意；
故答案为：B
【点睛】正方体展开图有11种特征，分四种类型，即：第一种：“1-4-1”结构，即第一行放1个，第二行放4个，第三行放1个；第二种：“2-2-2”结构，即每一行放2个正方形，此种结构只有一种展开图；第三种：“3-3”结构，即每一行放3个正方形，只有一种展开图；第四种：“1-3-2”结构，即第一行放1个正方形，第二行放3个正方形，第三行放2个正方形。
2．D
【分析】根据正方体展开图的11种特征，此图属于正方体展开图的“1－3－2”型，折成正方体后，“构”与“会”相对，“建”与“谐”相对，“和”与“社”相对。
【详解】如图：
是一个正方体的展开图，它的六个面上分别写有“构建和谐社会”六个字，将其围成正方体后，与“构”字相对面上的字是“会”。
故答案为：D
【点睛】正方体展开图分四种类型，11种情况，每种情况折成正方体后哪些面相对是有规律的，可自己动手操作一下并记住规律，能快速解答此类题。
3．A
【分析】根据题意可知：把1个棱长5厘米的正方体木块截成两个完全一样的长方体，表面积增加了两个截面的面积，根据正方形的面积公式：s＝a2，把数据代入公式解答。
【详解】5×5×2
＝25×2
＝50（cm2）
表面积增加了50 cm2。
故答案为：A
【点睛】此题主要考查正方形面积公式的灵活运用，关键是明确：把1个棱长5厘米的正方体木块截成两个完全一样的长方体，表面积增加了两个截面的面积。
4．C
【分析】两个正方体拼成一个长方体后，表面积比原来是减少了两个正方体的面的面积，由此即可解答。
【详解】5×5×（6×2－2）
＝25×10
＝250（cm2）
这个长方体的表面积是250cm2。
故答案为：C
【点睛】抓住两个正方体拼组长方体的方法，得出表面积是减少了2个正方体的面的面积。
5．B
【分析】这个大长方体与正方体拼接的底面是正方形，表面积比原来的长方体增加了4个面的面积，所以一个正方形的面积是（36÷4）平方厘米，即可求出正方体的边长为3厘米，根据长方体表面积公式：S＝（a×b＋a×h＋b×h）×2，即可解答。
【详解】36÷4＝9（平方厘米）
正方形面积为9平方厘米，边长为3厘米；
原来长方体的表面积＝侧面积＋两个底面面积：
6×3×4＋9×2
＝18×4＋18
＝72＋18
＝90（平方厘米）
原来长方体的表面积是90平方厘米。
故答案为：B
【点睛】本题主要考查了长方体的表面积公式，要灵活运用。
6．B
【分析】求龙龙至少要准备的木条的长度，就是求这个长方体木架的棱长总和，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。
【详解】（30＋20＋15）×4
＝（50＋15）×4
＝65×4
＝260（厘米）
260厘米＝26分米
2022年2月4日晚，举世瞩目的北京第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在国家体育场隆重举行。龙龙买了一个本届冬奥会吉祥物“冰墩墩”玩具，准备寄给好友岗岗，需要用到一个长30厘米、宽20厘米、高15厘米的长方体木框架进行打包，龙龙至少要准备26分米长的木条。
故答案为：B
【点睛】熟练掌握长方体棱长总和公式的应用，注意单位名数的换算。
7． 60 40
【分析】此题考查的是立体图形的拆拼，解答此题的关键是，将两个长方体最大的两个面重叠在起，才能保证拼成的新长方体的表面积最小，将两个长方体最小的两个面重叠在一起，才能保证拼成的新长方体的表面积最大。
1、此题考查的是立体图形的拆拼，关键是分析哪两个面拼接表面积最大；
2、两个长方体拼成一个大长方体，要使表面积减少的最多，则可以把最大面6×5面相粘合，据此减少了两个6×5的面的面积；
3、反之，把最小面5×4面相粘合，表面积减少的最少，据此即可解答。
【详解】6×5×2
＝30×2
＝60（dm2）
5×4×2
＝20×2
＝40（dm2）
大长方体的表面积比原来两个长方体的表面积之和最多减少60，最少减少40。
【点睛】本题解题关键是理解要使拼成的大长方体表面积减少最多，必须使原来两个长方体的最大面重合，反之减少最少即最小面重合，也就是两个长方体上下面重合的道理。
8．592
【分析】由题意可知：将长方体底面拼接在一起所得到的长方体的表面积最小，此时这个长方体的长是12厘米，宽是8厘米，高是5＋5＝10厘米；将数据代入长方体表面积公式计算即可解题。
【详解】5＋5＝10（厘米）
（12×8＋12×10＋8×10）×2
＝（96＋120＋80）×2
＝296×2
＝592（平方厘米）
至少需要592平方厘米。
【点睛】本题主要考查立体图形的拼接及长方体的表面积公式。
9． 9 9 50×50×9＝22500（cm2）
【分析】先数出一共有几个面露在外面，再将一个面的面积乘露在外面的面的总个数，求出露在外面的面的面积和。据此解题。
【详解】4个棱长为50cm的正方体纸箱放在墙角处，有9个面露在外面，求的就是9个面的面积。计算正方体露在外面的面积时，可以先算出一个面的面积，再乘露在外面的面的个数。列式计算为50×50×9＝22500（cm2）。
【点睛】本题考查了露在外面的面，解题关键是数清一共有几个面露在外面，数时要注意规律，避免多数或少数。
10． 7×5＋3×5＋7×3＋7×5＋3×5＋7×3＝142（cm2） （7×5＋3×5＋7×3）×2＝142（cm2）
【分析】长方体表面积＝长×宽×2＋长×高×2＋宽×高×2＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此列式求解。
【详解】（7×5＋3×5＋7×3）×2
＝（35＋15＋21）×2
＝71×2
＝142（cm2）
方法一：先求出六个面的面积后再相加。列式计算为7×5＋3×5＋7×3＋7×5＋3×5＋7×3＝142（cm2）。
方法二：先求出A、B、E的面积和，再乘2。列式计算为（7×5＋3×5＋7×3）×2＝142（cm2）。
【点睛】本题考查了长方体的表面积，掌握表面积公式是解题的关键。
11． 减少 50
【分析】从图形可以看出，切掉的正方体的棱长相当于长方体的高，表面积减少了4个边长为5厘米的正方形，以及增加了2个边长为5厘米的正方形，也就是总共减少了2个边长为5厘米的正方形，根据正方形的面积公式求解即可。
【详解】5×5×2＝50（平方厘米）
表面积减少了50平方厘米。
【点睛】本题主要考查了立体图形的切割，注意表面积减少了哪些面。
12． 增加 2
【分析】在大长方体的一个面的中间挖去一个棱长1cm的小正方体，长方体上下两个面比原来减少2个小正方形的面积，同时内部也增加了4个小正方形的面积，所以表面积比原来大2个小正方形面的面积。
【详解】手工课上。淘气在一块长方体（高1cm）橡皮上挖出一个棱长1cm的正方体，表面积增加了：1×1×2＝2（cm2）。
【点睛】解答此题的关键是明确切割后的图形表面积增加了或减少了哪几个面。
13．×
【分析】根据正方体展开图的特征，“1－4－1”型，“2－3－1”型，“2－2－2”型，“3－3”型，据此判断解答即可。
【详解】，不符合正方体展开图的特征，不是正方体展开图。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】熟练掌握正方体展开图的特征是解答本题的关键。
14．×
【分析】由题意可知：当高增加1分米后，增加的面积其实只有4个面，即前、后、左、右面，即表面积增加了2（a＋b）×1平方分米，据此解答即可。
【详解】长方体的长为6分米，宽为4分米。
2（a＋b）×1
＝2×（6＋4）×1
＝2×（6＋4）×1
＝2×10×1
＝20×1
＝20（平方分米）
一个长6分米，宽4分米的长方体，如果高增加1分米，它的表面积就增加20平方分米，原题说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查长方体的表面积的计算方法，明确高增加1分米，增加的面积其实只有4个面是解决本题的关键。
15．×
【分析】物体的表面积或封闭图形的大小，叫做它们的面积；棱长总和是正方体的所有棱的长度和，据此解答。
【详解】根据分析可知，表面积和棱长总和是两个不同的概念，无法比较。
棱长2cm的正方体的表面积和棱长总和无法比较。
原题干说法错误。
故答案为：×
【点睛】理解表面积和棱长总和是两种不同的概念，明确只有同类量才能比较大小，不是同类量无法比较大小是解答题目的关键。
16．×
【分析】根据长方体的特征，长方体的12条棱中互相平行的一组4条棱的长度相等，长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；由此解答。
【详解】14×4＝56（厘米），这个长方体的棱长总和是56厘米。原题“这个长方体的棱长总和是42厘米”的说法错误。
故答案为：×
【点睛】此题主要考查长方体的特征和棱长总和的求法，牢记公式长方体的棱长总和的计算方法是解决问题的关键。
17．184平方厘米
【分析】观察长方体的展开图可知，这个长方体纸盒有6个面，长是14－2－2＝10（厘米），宽6厘米，高2厘米。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据计算。
【详解】14－2－2＝10（厘米）
（10×6＋10×2＋6×2）×2
＝（60＋20＋12）×2
＝92×2
＝184（平方厘米）
则这个长方体纸盒的表面积是184平方厘米。
18．300平方分米
【分析】从上面看有5个面露在外面，从正面看有5个面露在外面，从右面看有2个面露在外面，一共有5＋5＋2个面露在外面；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体一个面的面积，再乘露在外面的面的个数，即可解答。
【详解】5×5×（5＋5＋2）
＝25×（10＋2）
＝25×12
＝300（平方分米）
露在外面的面积是300平方分米。
19．见解析
【分析】由题可知，正方体的展开图属于“1-4-1”型，折成正方体后，根据相对面的特点，相对面之间间隔一个正方形，据此在正方体的展开图上分别标出1、2、3、4、5、6。
【详解】作图如下：
（答案不唯一）
【点睛】本题主要考查正方体展开图以及展开图相对面的特点。
20．（1）128平方米
（2）64千克
【分析】（1）求需要粉刷涂料部分的面积就是求长方体的表面积。根据题意，需要粉刷涂料部分的面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2－门窗面积，据此代入数据计算。
（2）根据乘法的意义，用每平方米需要涂料的质量乘粉刷涂料部分的面积即可解答。
【详解】（1）10×5＋（10×3＋5×3）×2－12
＝50＋45×2－12
＝50＋90－12
＝128（平方米）
答：需要粉刷涂料部分的面积是128平方米。
（2）0.5×128＝64（千克）
答：至少需要购买64千克涂料。
【点睛】本题主要考查长方体表面积的应用。根据实际情况，灵活运用长方体的表面积公式是解题的关键。
21．
188平方分米
【分析】求需要多少平方分米的玻璃，就是求这个长方体5个面的面积，缺少上面，由此根据长方体的表面积的公式求解。
【详解】[50×30＋50×20×2＋30×20×2] ×4
＝[1500＋1000×2＋600×2]×4
＝[1500＋2000＋1200]×4
＝[3500＋1200]×4
＝4700×4
＝18800（平方厘米）
18800平方厘米＝188平方分米
答：制作4个这样的鱼缸至少需要188平方分米玻璃。
【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
22．54平方分米
【分析】求制作这样一个铁盒至少需要多少平方分米的铁皮，就是求这个无盖的长方体的表面积。根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出一个铁盒需要的铁皮，再乘2，即求出制作一对需要铁皮的面积。
【详解】15厘米＝1.5分米
3×3＋（3×1.5＋3×1.5）×2
＝9＋（4.5＋4.5）×2
＝9＋9×2
＝9＋18
＝27（平方分米）
27×2＝54（平方分米）
答：制作这样一对铁盒至少需要54平方分米铁皮。
【点睛】熟练掌握长方体表面积公式是解答本题的关键，注意单位名数的换算。
23．228平方米
【分析】根据无底长方体的表面积公式：S＝ab＋2ah＋2bh，把数据代入公式求出5个面的总面积，然后减去门窗面积就是需要粉刷的面积。
【详解】15×8＋15×3×2＋8×3×2－30
＝120＋90＋48－30
＝210＋48－30
＝258－30
＝228（平方米）
答：要粉刷的面积是228平方米。
【点睛】此题主要考查长方体表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式。
24．8平方米
【分析】根据通分管的实际形状可知，通风管的表面积只是长方体的侧面积；不含底面，求10节这样的通风管的侧面积，需要先求出一节的侧面积；侧面的4个相等的长25厘米，宽是80厘米的长方形，根据长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，求出一个侧面积，再乘10，即可解答。
【详解】25×80×4×10
＝2000×4×10
＝8000×10
＝80000（平方厘米）
80000平方厘米＝8平方米
答：做10节这样的通风管的至少需要铁皮8平方米。
【点睛】解答本题的关键是明确通风管的面积就是长方体的侧面积。
25．1625平方米
【分析】由题意可知：贴瓷砖的面积等于长方体游泳池下、前、后、左、右面的面积，代入数据计算即可。
【详解】50×25＋50×2.5×2＋25×2.5×2
＝1250＋125×2＋62.5×2
＝1250＋250＋125
＝1625（平方米）
答：这个游泳池贴瓷砖的面积是1625平方米。
【点睛】本题主要考查长方体表面积公式的灵活运用。
26．图见详解；128平方厘米
【分析】长方体中，长＞宽＞高，所以剪下的最大正方体的棱长等于长方体的高，即棱长是8厘米，由于减去一个正方体，会少了4个边长是8厘米的正方形的面积，但是还会多出来2个边长是8厘米的正方形的面积，所以相当于减少了2个边长是8厘米的正方形的面积，根据正方形的面积公式：边长×边长，把数代入公式即可求解。
【详解】如图（画图位置不唯一）
（平方厘米）
答：减少了128平方厘米。
【点睛】本题主要考查立体图形的切割，同时要清楚剪下一个最大的正方体，它的棱长等于长方体中最短的一条边。
27．（1）正确；
（2）4个侧面的面积；涂色见详解
【分析】（1）根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，当长方体有两个相对的面是正方形时，其他4个面是完全相同的长方形，由此可知，淘气在计算这个牙膏盒的表面积时列式为：“5×20×4＋5×5×2”是正确的。
（2）“5×20×4”在计算牙膏盒4个侧面的面积，据此解答。
【详解】（1）淘气在计算这个牙膏盒的表面积时列式为：“5×20×4＋5×5×2”是正确的。
（2）“5×20×4”在计算牙膏盒4个侧面的面积，作图如下：
【点睛】此题考查的目的是理解掌握长方体展开图的特征及应用，长方体的表面积公式及应用，关键是熟记公式。
28．50000平方厘米
【分析】观察图形，可以把这个立体图形分割，上面可以分割成三个长方形，而且这三个长方形面积相等；长都是100厘米，宽都是50厘米；计算出面积再乘3；就是上面的面积；左右两边通过图形平移，面积也相等，长是50厘米，宽是（30＋40）厘米；计算出面积再乘2；就是左右两面的面积；前面和后面的面积相等；把前面分割成三个长方形，长都是100厘米，宽分别是30厘米，（30＋40）厘米，40厘米，计算出它们的面积，再乘2，就是前后面的面积，最后把得到的数相加，就是这个领奖台需要涂漆的面积。
【详解】上面的面积：
100×50×3
＝5000×3
＝15000（平方厘米）
左右面的面积：
50×（30＋40）×2
＝50×70×2
＝3500×2
＝7000（平方厘米）
前后面的面积：
[100×30＋100×（30＋40）＋100×40]×2
＝[3000＋100×70＋4000]×2
＝[3000＋7000＋4000]×2
＝[10000＋4000]×2
＝14000×2
＝28000（平方厘米）
15000＋7000＋28000
＝22000＋28000
＝50000（平方厘米）
答：需要涂漆的面积是50000平方厘米。
【点睛】利用立体图形的分割，以及通过平移巧算面积，以及长方形面积公式的应用，进行解答。
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