5.4.3 正切函数的性质与图象 课件（共43张PPT）

(共43张PPT)
5.4.3　正切函数的性质与图象
第五章　三角函数
1.了解正切函数的画法，理解并掌握正切函数的性质.
2.能够利用正切函数的图象与性质解决相关问题.
【学习目标】
1
自主探究
（1）根据研究正弦函数、余弦函数的经验，应如何研究正切函数？
有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象.
（2）你能用不同的方法研究正切函数吗？
思考：
回顾:
设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相较于点P(x,y).
把点P的纵坐标y与横坐标x的比值叫做α的正切函数，
记作tan α ，即
一、周期性
由诱导公式
可知，正切函数是周期函数，周期是π.
tan(x+π)=tanx,x∈R，且x≠+kπ，k∈Z
二、奇偶性
由诱导公式
可知，正切函数是奇函数.
tan(-x)=-tanx,x∈R，且x≠+kπ，k∈Z
可以先考察函数 的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展.
利用三角函数线得到 的图象：
利用三角函数线得到正切函数的动态图象：
根据正切函数是奇函数，只要画 的图象关于原点的对称图形，就可得到 的图象；根据正切函数的周期性，只要把函数 的图象向左、右平移，每次平移π个单位，就可得到正切函数的图象，我们把它叫做正切曲线.
三、单调性
观察正切曲线可知，正切函数在区间 上
单调递增.由正切函数的周期性可得，
正切函数在每一个区间 上都单调递增.
四、值域
当 时，tan x在(-∞,+∞)内可取到任意实数值，但没有最大值、最小值，因此，正切函数的值域是实数集R.
解析式 y＝tan x
图象
定义域
值域 R
正切函数的图象与性质
最小正周期 ___
奇偶性 奇函数
单调性 在每一个区间_________________________上都单调递增
对称性 对称中心______________
π
答案　没有.正切曲线是由被互相平行的直线x＝kπ＋ (k∈Z)隔开的无穷多支曲线组成的.
1.正切函数的定义域和值域都是R.(　　)
2.正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心.(　　)
3.正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是x＝kπ± ，k∈Z.(　　)
4.正切函数是增函数.(　　)
×
√
×
×
【小试牛刀】
2
经典例题
题型一 正切函数的奇偶性与周期性
√
(2)函数f(x)＝sin x＋tan x的奇偶性为
A.奇函数 B.偶函数
C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
√
关于原点对称，又f(－x)＝sin(－x)＋tan(－x)＝－sin x－tan x＝－f(x)，
∴f(x)为奇函数.
总结：与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略
(1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝ ，常常利用此公式来求周期.
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系.
A.是奇函数
B.是偶函数
C.既是奇函数又是偶函数
D.既不是奇函数也不是偶函数
√
∴函数f(x)的定义域关于原点对称.
±2
∴|ω|＝2，∴ω＝±2.
题型二 正切函数的单调性及其应用
<
<
(1)运用正切函数单调性比较大小的方法
①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内.
②运用单调性比较大小关系.
(2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法
y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－ ＋kπ<ωx＋φ< ＋kπ，k∈Z即可.当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间.
解：
自变量x的取值应满足
所以，函数的定义域是
例3. （1）求函数 的定义域、周期及单调区间.
即
≠k
≠2k
题型三 正切函数图象与性质的综合应用
解：
设 ，又tan(z+π)=tan z，
=tan
=tan
例3. （1）求函数 的定义域、周期及单调区间.
因为
所以，函数的周期为2.
都有

解：
由 解得
因此，函数在区间 上单调递增.
例3.（1） 求函数 的定义域、周期及单调区间.
解答正切函数图象与性质问题的注意点
跟踪训练3. 求函数 的定义域、周期及单调区间.
函数的定义域是
周期为
单调递增区间为
3
当堂达标
√
√
√
>
1.(1)正切函数图象的画法.
(2)正切函数的性质.
2.方法归纳：整体代换、换元法.
【课堂小结】
【课后作业】
对应课后练习