(共30张PPT)
排列与排列数（2）
高二年级 数学
【复习回顾】
1.排列
一般地，从 个不同对象中，任取 （ ）个
对象，按照一定顺序排成一列，称为从 个不同对象中
取出 个对象的一个排列.
特别地，当 时的排列，称为全排列.
特征：①取出的对象互不相同；（互异性）
②取出的对象要按一定的顺序排列.（有序性）
2.排列数
从 个不同对象中，任取 （ ）个对象的
所有排列的个数，称为从 个不同对象中取出 个对
象的排列数.用符号 表示.
【复习回顾】
连乘形式： ；
阶乘形式： .
其中 .
例1.（1）用0,1,2，…，9这十个数字，可以排成多少个
无重复数字的四位数？
由分步乘法计数原理，四位数有： 个.
非0：
法1. 从特殊位置(首位)入手：
需注意排数时,首位不能为0---限制条件
从特殊元素0入手
法2. 从特殊元素0入手
注意,这里“可选的数字”要多于“位数”，
因此可按这4个数字中是否含0，分类研究：
从1至9中取4个数字排列，排列数为 .
第一类，这4个数字中不含0：
第二类，这4个数字中包含0：（0不能在首位，应先排0）
第一步，先确定0的位置，排列数为 ；
0
第二步，确定其余3个数位数字，排列数为 .
由分步乘法计数原理可得:含数字0的四位数有 个.
综上，根据分类加法计数原理，共有：
个.
按限制要求,对符合条件的情况直接分类计数
在解决含限制条件的问题时，我们也可以从反面思考，先忽略题目中限制要求，计算出不含限制要求的所有方法数，再从中减去不符合要求的方法数即可.
先忽略“首位非0”的要求：“任取4个数字做排列”
其中，“0在首位的排列”都不能对应一个四位数，
需将其去掉，剩下的就是“首位不为0的四位数”.
法3.
先“任取4个数做排列”：排列数为 .
其中“首位为0的排列”：排列数为 .
将这两种情况的方法数相减，即可得： 个.
这种方法通常称为“排除法”，也叫“间接法”.
从“无限制”中去掉“不符要求”，剩下为“含限制”
按题目限制要求对符合条件的情况直接分类计数：“直接法”.
在解决含有限制条件的具体问题时，通常我们会有“正面分析”和“反面探究” 两种研究途径，这时就需要看：
是符合限制条件的情况好算，还是不符合条件的情况好算.当不符合条件的情况分类更少，或计算更简便时，应优先选用排除法，即“正难则反”.
（2）用0,1,2，…，9这十个数字，可以排成多少个没有重
复数字的四位偶数？
限制条件：①首位不能为0，首位为1至9九个数字之一；
②偶数，末位为0,2,4,6,8五个数字之一.
注意到：对末位的要求更特殊，应优先处理.
末位是否为0，对首位的排法有影响，
可按末位是否为0，分类讨论.
法1：从特殊位置入手
第一类，末位为0： 排列数为 .
第二类方法数有： 个.
综上，由分类加法计数原理，四位偶数共有：
个.
第二类，末位为2,4,6,8之一：
法2：从特殊元素入手（可以按含0和不含0分为两类）:
情况一，0在末位， 排列数为 ；
情况二，0不在末位：
含0的情况共有： 种方法.
确定剩余2个数位，有 种；
第一类，含0. 注意：0是否在末位影响首位的排法
第二类，4个数字中不含0，此时限制条件只剩末位为偶数.
优化解题
第一步，确定末位；
第二步，确定其余3个数位.
第二类共有： 种方法.
综上，共有 个.
法3：排除法:
“四位偶数”：从“任意四位数”中，去掉“四位奇数”
四位奇数共有： 个.
四位偶数共有： 个.
“四位奇数”，末位的要求更特殊，优先讨论末位：
解决含有限制条件的问题时，通常有3种方法：
1.特殊位置；
2.特殊元素；
3.排除法（正难则反）.
根据具体问题要求，选择恰当的方法，即优化解题.
例2.若六位同学A、B、C、D、E、F在学校门口站成一排合影留念.
（1）若要求A与B相邻，有多少种不同的站法？
第一步，确定A、B的位置
A
B
A
B
A
B
A
B
A
B
第二步，考虑A、B之间的内部顺序，排列数为 .
A
B
A
B
第三步，再将剩余4人排列到剩下4个位置中，排列数为 .
根据分步乘法计数原理，共有 种方法.
A
B
AB
BA
第一步，将A和B“捆绑”，视作
一个对象，排列数为 .
第二步，“松绑”，排列数为 .
共 种方法.
解决“相邻”问题的其他方法
解决“相邻”问题的方法，称为捆绑法：
首先，将需要相邻的对象“捆绑”在一起，视
为“一个对象”.再将“所有”对象全排列.注
意最后还要“松绑”，不要忽略被捆绑的对象
之间的内部排列，即“先捆后松”.
A
B
AB
A
B
捆
松
（2）A、B两人不能相邻，有多少种不同的站法？
出现类似“不”的否定词语---反面思考：排除法
从“六人任意排列”的情况中去掉“A与B相邻”的情况：
种.
空位
空位
空位
空位
空位
第一步，将除A,B外的剩余4个对象全排列，共有 种排法；（5个空位）
空位
A
B
空位
空位
第二步，从5个空位中任取2个空位分别排列A,B这2个对象，共有 种排法；
根据分步乘法计数原理，共有 种排法.
解决“不相邻”问题的其他方法
解决“不相邻”问题的方法，称为插空法：
这种方法通常用于解决：“m个对象”彼此不相邻的计数问题，可以分两步完成：
第一步，先将没有限制要求的剩余n个对象排列好；
第二步，排好的n个对象形成n+1个空位，再将要求彼此
不相邻的m个对象，分别排到这n+1个空位中，
注意 ，每个空位最多插入1个对象.
（3）A、B、C三人两两不能相邻，有多少种不同的站法？
第一步，除A,B,C外的剩余3个对象全排列，共有 种排法；
空位
空位
空位
空位
第二步，从4个空位中任取3个排列A,B,C，共有 种排法.
根据分步乘法计数原理，共有 种排法.
空位
A
B
C
可能会出现的方法：
（3）A、B、C三人两两不能相邻，有多少种不同的站法？
排除法
“六个人任意排列”-“A、B、C三人相邻”：
种.
两种方法的结论不一致，是什么原因造成的？
“三人两两不相邻”的反面≠“三人连在一起”
可能的情况还有：
A与B相邻，但都不与C相邻；
A与C相邻，但都不与B相邻；
B与C相邻，但都不与A相邻.若用排除法，还需将这3种情况去掉.
从反面研究，由于分类情况较多，并不能达到简化问题的效果，
不如直接正面计算（插空法的优势）.
【课堂小结】
今天我们学习了几种排列问题的解决方法：
（1）含限制条件的问题：特殊位置、特殊元素、排除法.
在解决含有限制条件的计数问题时，经常通过分解问题，采用“先分类，再分步”的方法. 如果限制条件中包含特殊位置或者特殊元素时，应优先处理特殊要求. 具体的解题策略一般有两个途径，一个是“直接法”，另一个是 “排除法”.如果正面研究情况比较复杂时，我们可以尝试“排除法”，即“正难则反”.
【课堂小结】
（2）两个典型的计数模型：
相邻问题：捆绑法；
不相邻问题：插空法.
希望同学们随着解题经验的增加，能根据问题的具体要求，学会将问题等价转化，以及优化解题.
【作业】B版教材 第15页B组：3，4.
B组 3.用0,1,2,3,4,5可组成多少个：
（1）没有重复数字的四位数？
（2）没有重复数字且被5整除的四位数
（3）比2000大且没有重复数字的自然数？
B组 4.四对夫妇坐成一排照相：
（1）每对夫妇都不能隔开的排法有多少种？
（2）每对夫妇都不能隔开，且同性别的人不能相邻的
排法有多少种？
谢谢(共37张PPT)
排列与排列数（1）
高二年级 数学
【复习回顾】
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
联系 都是解决计数问题的方法. 区别1 完成一件事有n类办法,各类办法相互独立. 分类→计数→相加 完成一件事共分n个步骤.
分步→计数→相乘
区别2 任何一类办法中的 任何一种方法都可 以单独完成这件事. 只有各个步骤都完成才能完成这件事.
问题（2）从甲地到乙地,可以乘坐火车,也可以乘汽车,还可以乘轮船,假定火车每日1班,汽车每日3班,轮船每日2班,那么一天中从甲地到乙地有多少种不同的走法呢
（1）用1,2,3,4可以排成多少个数字不重复的两位数？
【尝试与发现】
解：分别指定两位数的各个数位上的数字，分两步完成：
第一步：确定十位上的数字，共4种方法；
第二步：确定个位上的数字，共3种方法.
根据分步乘法计数原理，两位数的排法共有 种.
（2）班里要在甲、乙、丙、丁4名学生中选出2名，分别在某
话剧表演中扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择
方法？
解：选择角色的方法可以分为两步完成.
第一步：确定角色A的扮演者，共4种方法；
第二步：确定角色B的扮演者，共有3种方法.
根据分步乘法计数原理，不同选择方法共有 种.
【尝试与发现】
【尝试与发现】
（3）小张要在4所大学中选择2所，分别作为自己的第一志
愿和第二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
解：分别指定每个志愿的选择，分两步完成.
第一步：确定第一志愿，共4种选法；
第二步：确定第二志愿，共有3种选法.
根据分步乘法计数原理，不同选择方法共有 种.
【抽象概括，形成概念】
（1）用1,2,3,4可以排成多少个数字不重复的两位数？
（2）在甲、乙、丙、丁4名学生中选出2名，分别在某话剧表演中
扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择方法？
（3）小张要在4所大学中选择2所，分别作为自己的第一志愿和第
二志愿，小张共有多少种不同的选择方式？
思考：这个现象是偶然还是必然？
我们能否从中提炼数学本质？
【抽象概括，形成概念】
问题1 问题2 问题3
对象 4个数字 4名同学 4所大学
位置 2个数位 2个角色 2个志愿
本质 研究从4个不同对象中选出2个，并按先后顺序排列，有多少种不同排法？(一般化) 【抽象概括，形成概念】
1.排列
一般地，从 个不同对象中，任取 （ ）个
对象，按照一定顺序排成一列，称为从 个不同对象中
取出 个对象的一个排列.
注意：一个排列就是完成这件事的一种方法，不同的排
列就是完成这件事的不同方法.
特别地，当 时的排列 （即取出所有对象的排列）称为全排列.
【抽象概括，形成概念】
排列定义中的2个特征：
①取出的对象互不相同；
②取出的对象要按一定的顺序排列.
问题（2）.在甲、乙、丙、丁4名学生中选出2名，分别在某话剧表演中扮演A和B两个角色，共有多少种不同的选择方法？
（甲、乙）
角色A由甲扮演
角色B由乙扮演
（甲、乙）是一个排列
.
（乙、甲）
角色A由乙扮演
角色B由甲扮演
.
不同
排列
可列举出问题（2）的所有排列：
（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），
（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），
（丙，甲），（丙，乙），（丙，丁），
（丁，甲），（丁，乙），（丁，丙）. 共12种.
联想到点的坐标？
如：（1,2）和（2,1）
相同排列，需同时满足：
①组成排列的对象是相同的；
②排列中对象的顺序也是相同的.
2.排列数
从 个不同对象中，任取 （ ）个对象的
所有排列的个数，称为从 个不同对象中取出 个对
象的排列数.用符号 表示.
：表示从n个不同对象中取出1个的方法数，则 .
：表示从n个不同对象中取出2个并按先后顺序排列的方法数.
我们可以分两步完成：
第一步，先选一个排在第一个位置 ，有n种选法；
第二步，再从剩下的对象中选一个排在第二个位置，
有n-1种选法.
因此共有 种选法，即 .
用类似的方法可知：
,
,
……
一般地，我们有
m个数
第m个因数
排列数公式：
特征：（1） 是从n开始依次递减连续m个正整数的积；
（2）其中 ， ；
（3）排列数符号 既是一个结果，又表示一种运算.
例1.判断下列问题是否为排列问题，如果是，请计算出结果.
（1）集合 共有多少个不同的子集？
（2）由4个数字组成的手机密码锁，如果忘记了密码，最多
要试多少次才能打开密码锁？
（3）有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要站在
正中间，则有多少种不同的方法？
（4）某地区足球比赛共有12个队参加，每队都要与其他各
队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛？
（1）集合 共有多少个不同的子集？
解：集合 的子集是从a,b,c中任取0到3个元素构成的.
由于取出的对象的个数不确定，不是“排列”问题.
（2）由4个数字组成的手机密码锁，如果忘记了密码，最多
要试多少次才能打开密码锁？
解：手机密码是由可重复的4个数字构成，与排列要求取出
的对象互不相同矛盾，所以也不是“排列”问题.
（3）有4位同学和1位老师站成一排照相，如果老师要
站在正中间，则有多少种不同的方法？
老师
解：由于老师的位置已经确定，只需再排4位同学的位置，
问题等价于“从4个对象中取出4个按照一定顺序排成
一列”，是“排列”问题，而且是“全排列”.
排列数为： .
（4）某地区足球比赛共有12个队参加，每队都要与其他各
队在主客场分别比赛一次，则共要进行多少场比赛？
解：每一场比赛可看成 “主场队在前、客场队在后” 的一个排列.
等价于“从12个不同对象中，任取2个按照先后顺序排成一列”
是“排列”问题.排列数为： .
研究具体计数问题时：
（1）先将具体问题转化为等价的数学模型.再辨析是否为
“排列”问题？
即判断是否具有：①互异性；②有序性.
（2）学会使用排列数，尤其在之后我们研究一些较复
杂的计数问题时，运用排列数会使列式更为简洁.
例2. 求证： .
当排列数中含有“未知量”时，
用“连乘”展开，列式比较复杂.
3.阶乘
一般地，在 中，当 时，
通常将上式的右边，从n到1连续n个正整数的乘积
简写成： (读作“n的阶乘”).
从而： .
当 时，注意到：
可将排列数用阶乘表示为： .
为了使得上式对 时也成立，我们规定 .
另外，为了方便起见，也规定 .
例2. 求证： .
排列数中含有“未知量”或需将算式“恒等变换”时，
阶乘形式：简化列式.
排列数公式：
（1）连乘形式： ；
（2）阶乘形式： .
当进行具体计算，或者 中m较小时，
使用“连乘”形式计算比较方便.
如：例1（4）： .
阶乘形式： .
排列数中含有“未知量”或需将算式“恒等变换”时，
使用“阶乘”形式，可以简化列式.
如
例2.求证： .
此外，我们还可以利用信息技术来计算排列数.
B版教材《选择性必修》第二册P14.
思考：（例2）
是否可以通过一个实际问题直观解释？
请同学们想一想，你能否举出这样的一个实例？
假设有n+1个不同对象，甲是其中一个，从这n+1个对象中取出m个排成一列，求有多少种不同的排法？
要解决这个问题，可以从两个角度来研究：
法1.从这n+1个对象中取出m个排成一列，
其排列数为 .
法2. 按照取出的对象中是否包含甲，分为两类情况：
第一类，取出的m个对象中不包括甲，共有 种排法.
第二类，取出的m个对象中包括甲，分两步完成：
第一步，先确定甲的位置，有m种方法；
第二步，再从剩下的n个对象中取出m-1个排列，共有 种方法.
由分步乘法计数原理，则有 种方法.
综上，由分类加法计数原理，共有 种方法.
所以， .
例3. 某信号并用红、黄、蓝三面旗从上到下挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以只挂1面旗，也可以挂2面旗或3面旗，旗数或顺序不相同时，表示信号不同， 则一共可表示多少种不同的信号？
注意到旗的面数不同，挂的顺序不同，则表示不同的信号，所以可以按照所挂的旗数进行分类研究.
第一类，挂1面旗，即从3个不同对象中任取1个进行排列，
此时可表示 种不同的信号；
第二类，挂2面旗，即从3个不同对象中任取2个进行排列，
此时可表示 种不同的信号；
第三类，挂3面旗，即从3个不同对象中任取3个进行排列，
此时可表示 种不同的信号.
根据分类加法计数原理，一共可表示不同的信号有：
种.
基本计数原理和
排列知识相结合,
先分类，后分步
【课堂小结】
1.在研究过程中我们体会了哪些数学思想方法？
本节课我们从具体问题中抽象出概念，从3个实例中归纳出共同点，概括出本质，得到排列的定义.并利用分步乘法计数原理推导出排列数的公式.体现了从具体到抽象的探究过程，转化与化归的思想以及类比归纳的数学方法.
.
2.排列与排列数的概念；
关注排列的特征：
（1）取出的对象互不相同，即互异性；
（2）取出的对象按照一定顺序排列 ,即有序性.
这2点是判断是否为排列问题的重要标志.
此外排列数 的引入，使得我们在面对计数问题时，不仅简化了列式也简化了我们的思维过程. 建议同学们要多尝试使用排列数，这也充分体现了数学的简洁美.
【作业】B版教材 14页A组：2，4；15页B组：2.
A组2. 计算：① ；② ；③ ；④ ；⑤ .
4. 从5种不同蔬菜品种中选出2种分别种植在不同土质的土
地上进行试验，共有多少种不同的种植方法？
B组2. ① 将2封不同的信投入4个邮箱，每个邮箱最多投1封，
共有多少种不同的投法？
② 将2封不同的信随意投入4个邮箱，共有多少种不同
投法？
谢谢
