(共26张PPT)
探索勾股定理
（第1课时）
北师大版八年级上册
教材分析
勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理 的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
教学目标
1、了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。
2、经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。
3、掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。
新知导入
一、情境引入
2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.
新知讲解
二、探索发现勾股定理
探究活动一：
观察下面地板砖示意图：
观察这三个正方形
你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？
新知讲解
换个角度来看呢？
你发现了什么？
结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
新知讲解
探究活动二：
观察右边两幅图：
填表（每个小正方形的面积为单位1）：
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4 9
右图 16 9
怎样计算正方形C的面积呢？
新知讲解
以左图为例求三角形C的面积
新知讲解
新知讲解
新知讲解
求右图三角形C的面积
新知讲解
分析表中数据，你发现了什么？
A的面积 B的面积 C的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
新知讲解
小组讨论：
（1）能用直角三角形的两
直角边的长a，b和斜边长c
来表示图中正方形的面积吗？
（2）发现直角三角形三边长
度之间存在什么关系吗？
新知讲解
小试牛刀
分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度. 利用结论2 验证。
新知讲解
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a，b和c分别表示三角形的两直角边和斜边，那么a2 +b2 =c2
成果展示
公式变形
在直角三角形中，已知两边长度即可求第三边长度。
新知讲解
数学资料
我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. （在西方称为毕达哥拉斯定理）
课堂作业
P
625
400
B
A
C
1、如图
P的面积= AB=
BC= AC=
【知识技能类作业】
必做题：
2.完成课本第3页随堂练习
225
25
20
15
答案：第1题A=625;B=144,第2题
第2题,电视的多少英寸是指对角线的长度，由于屏幕遮盖原因可能存在误差。
课堂作业
求下列直角三角形未知的直角边
解：1、 x=15
2、 x=12
3、 x=13
【知识技能类作业】
选做题：
课堂作业
【综合实践类作业】
如图，所有的四边形都是正方形，
所有的三角形都是直角三角形，其中
最大的正方形的边长是a，则图中所
有正方形的面积之和是 。
3a
课堂总结
这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？
知识：勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么 .
方法： 1. 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用。
2. “割、补、拼、接”法.
思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想。
课外作业
课本习题1.1第1、2、4题
【知识技能类作业】
必做题：
答案：第1题 , x=10;y=12
第2题，另一条直角边是8，面积是60.
第4题，作底边上的高，根据勾股定理求出高是4cm，面积12平方厘米。
课外作业
2、如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为 米。
3、小华和小红都从O同一点出发，小华向北走了9米到点A，小红向东走了12米到了点B，则AB 米
【知识技能类作业】
选做题：
8
15
课外作业
【综合实践类作业】
课本习题1.1第3题
答案;
①=③+④
①=⑦+⑧+⑨+⑩
①=③+⑧+⑩
①=④+⑦+⑨
板书设计
探索勾股定理
在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。
用字母表示：a +b =c
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《 勾股定理 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 勾股定理是数学中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系。它在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的应用。学生通过对勾股定理 的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
学习者分析 学生对几何图形的观察，几何图形的分析能力已初步形成。部分学生解题思维能力比较高，能够正确归纳所学知识，通过学习小组讨论交流，能够形成解决问题的思路。现在的学生已经厌倦教师单独的说教方式，希望教师设计便于他们进行观察的几何环境，给他们自己探索、发表自己见解和展示自己才华的机会；更希望教师满足他们的创造愿望。
教学目标 1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。 2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。 3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。
教学重点 探索和证明勾股定理
教学难点 用拼图方法证明勾股定理
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：导入新课教师活动1： 2002年世界数学家大会在我国北京召开，下图是本届数学家大会的会标：出示课件（赵爽弦图），观察它们的联系，提出问题，数学家大会为什么用它做会徽呢？它有什么特殊的含义吗？ 毕达哥拉斯是古希腊著名的数学家。相传在2500年以前，他在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面反映了直角三角形的三边的某种数量关系。（出示课件）学生活动1： 1.学生思考并回答问题。 2.观察课件中三个彩色正方形 活动意图说明： 这样的引入可唤起学生的好奇心和求知欲，激发学生对勾股定理的兴趣，从而自然的引入新课。 环节二：初步探索发现勾股定理教师活动2： 活动一：1、观察下面地板砖示意图： 2、换个角度来看呢？ 结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.学生活动2： 学生思考讨论。等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积. 活动意图说明： 通过故事来进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态。 “问题是思维的起点”，通过层层设问，引导学生发现新知。 渗透从特殊到一般的数学思想.为学生提供参与数学活动的时间和空间，发挥学生的主体作用；培养学生的类比迁移能力及探索问题的能力，使学生在相互欣赏、争辩、互助中得到提高。环节三：探索直角三角形（非等腰）三边关系教师活动3： 1观察下图并填表 A的面积B的面积C的面积49169
2、填表（每个小正方形的面积为单位1） 3、怎样求C的面积： （1）、割---分割为四个直角三角形和一个小正方形。 （2）、补---补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积。 （3）、拼----将几个小块拼成一个正方形，如图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形 结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.学生活动3： 1.学生思考并回答 2.学生小组合作进行拼割图形，求出图形C的面积。 活动意图说明： 通过这些实际操作，学生进行一步加深对数形结合的理解，拼图也会产生感性认识，也为论证勾股定理做好准备。环节四：进一步探究勾股定理并运用教师活动4： 活动三，小组讨论 （1）能用直角三角形的两直角边的长a，b和斜边长c来表示图中正方形的面积吗？ （2）发现直角三角形三边长度之间存在什 么关系吗？ 揭示勾股定理 1、小试牛刀： 分别以3厘米、4厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度. 利用结论2 验证。 2、成果展示 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 如果用a，b和c分别表示三角形的两直角边和斜边，那么 公式变形 在直角三角形中，已知两边长度即可求第三边长度。 3、我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名. （在西方称为毕达哥拉斯定理）学生活动4： 1.学生观看课件。 2.学生独立完成并展示。 活动意图说明： 1.利用分组讨论，加强合作意识。 2.经历所拼图形与多媒体展示图形的联系与区别。 3.加强数学严谨性教育。从而更好地理解代数与图形相结合环节五：课堂小结教师活动五 这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 1、知识：勾股定理 如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么 2、 方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用。 （2）“割、补、拼、接”法. 3、思想：（1） 特殊—一般—特殊；（2）. 数形结合思想.学生活动五 学生在教师的引导下进行可行总结活动意图说明： 提取课堂精华，从而达到课堂教学的目的。
板书设计 探索勾股定理 在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 用字母表示：a +b =c
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.填空 P的面积=225 AB=25 BC=20 AC=15 2.完成课本第3页随堂练习 答案：第1题A=625;B=144; 第2题,电视的多少英寸是指对角线的长度，由于屏幕遮盖原因可能存在误差。 选做题： 3.求下列直角三角形未知的直角边 解：1、 x=15 2、 x=12 3、 x=13 【综合拓展类作业】 4.如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长是，则图中所有正方形的面积之和是 3a 。
课堂小结 这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 知识：勾股定理,如果直角三角形两直角边长分别为a，b，斜边长为 c ，那么 . 方法： 1. 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用。 “割、补、拼、接”法. 思想：1. 特殊—一般—特殊； 2. 数形结合思想。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.课本习题1.1第1、2、4题 答案：第1题 , x=10;y=12 第2题，另一条直角边是8，面积是60. 第4题，作底边上的高，根据勾股定理求出高是4cm，面积12平方厘米。 选做题： 2.如图，从电线杆离地面6米处向地面拉一条长10米的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部为 8 米。 3.小华和小红都从同一点出发，小华向北走了米到点，小红向东走了米到了点，则AB 15 米 【综合拓展类作业】 4.课本习题1.1第3题 答案：①=③+④；①=⑦+⑧+⑨+⑩；①=③+⑧+⑩；①=④+⑦+⑨。
教学反思
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 北师大版 册、章 上册第一章
课标要求 经历探究勾股定理的过程，进一步发展学生的推理意识和主动探究的学习习惯，体会数学与现实生活的联系。理解直角三角形三边之间的数量关系，发展学生的说理能力和推理能力。运用勾股定理解决实际问题，并通过勾股定理实例了解勾股定理的历史和运用，体会它的文化价值。
内容分析 本章内容主要研究勾股定理及其逆定理，包括发现、证明、运用三个环节，首先让学生观察发现两直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理。然后运用勾股定理解决问题，在此基础上引入勾股定理的逆定理。在勾股定理和逆定理的探索过程中，要引导学生善于观察、归纳和总结，并将结论运用到问题解决中，注意体会数型结合、转化等数学思想。 本章节勾股定理的背景资料非常丰富，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣。通过介绍我国在勾股定理研究方面取得的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感。
学情分析 学生已经学过三角形、等腰三角形、全等三角形及简单的多边形对学习勾股定理有很大的帮助，但本章内容思维量大，对思维的严谨、归纳推理能力要求较高，学生学起来有一点的难度。
单元目标 （一）教学目标1、知道勾股定理法人由来，说出勾股定理的内容，并能进行简单的运用。2、经历观察、探索、猜想、归纳、验证的过程，培养学生的推理能力。3、通过对勾股定理的理解，培养学生的爱国热情。（二）教学重点、难点勾股定理的探索；利用勾股定理解决问题；利用数型结合的思想验证勾股定理。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1探索勾股定理21.2一定是直角三角形吗11.3勾股定理的运用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务探索勾股定理1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。4.让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情。1.通过以直角三角形的三边为边长向外作正方形，探究三个正方形的面积关系。从而总结出直角三角形三边之间的关系---勾股定理。2.利用勾股定理解决简单的实际问题。活动一；观察地砖示意图初步发现直角三角形三边之间的关系。活动二：观察、思考、计算方格纸上三个正方形的面积。活动三；利用活动二结果，通过讨论、发现三角形三边之间的关系-勾股定理。活动四真是的运用一定是直角三角形吗掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。3.理解勾股数。4.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。5.通过自主学习、合作探究，学会直角三角形的判定方法，体验生活中的数学的应用价值；在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习自信心。1.通过给定的数据画符合条件的三角形，再度量三个角，发现有一个是直角，并发现三边之间的关系。得出符合两条较短边的平方和等于较长边的平方这一条件的三角形是直角三角形。2.对直角三角形的三条边的讨论、比较得出勾股数。3.利用课本例题解答让学生发现勾股定理的逆定理也是正确的。1、活动一；从三角形的三条边的长度关系来判断是否直角三角形。2.活动二；探究勾股数的特点。3.活动三；探究勾股定理的逆定理。勾股定理的运用1.体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。2.会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.4.培养学生解决实际问题的能力、空间想象能力，提高学生审题能力，养成良好的数学思维习惯。1.通过问题情境导入蚂蚁爬行的几种线路，接着计算爬行路程各是多少，从而确定最短距离。2.小组讨论、分析总结蚂蚁爬行最短路径的理论根据。3.设计巩固练习遵循由易到难逐步提升的原则，使学生感受成功的快乐。活动一，探究蚂蚁爬行的线路。活动二，探究在这几种线路中蚂蚁爬行的最短路线活动三，归纳总结蚂蚁爬行最短距离这类问题的解题关键。
《勾股定理》单元教学设计
任务一：掌握勾股定理的定义及内容
任务二：探究并掌握勾股定理的表达式
探索勾股定理
任务三：了解勾股定理的验证方法
任务一：掌握直角三角形的判断方法
勾股定理
一定是直角三角形吗
任务二：掌握勾股数的概念及内容
任务一：知道直角三角形任意两边求第三边
任务二：解决生活中的实际问题
勾股定理的应用
任务三：最短路程问题及折叠图形中的面积问题
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