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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 北师大版 册、章 上册第一章
课标要求 经历探究勾股定理的过程，进一步发展学生的推理意识和主动探究的学习习惯，体会数学与现实生活的联系。理解直角三角形三边之间的数量关系，发展学生的说理能力和推理能力。运用勾股定理解决实际问题，并通过勾股定理实例了解勾股定理的历史和运用，体会它的文化价值。
内容分析 本章内容主要研究勾股定理及其逆定理，包括发现、证明、运用三个环节，首先让学生观察发现两直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理。然后运用勾股定理解决问题，在此基础上引入勾股定理的逆定理。在勾股定理和逆定理的探索过程中，要引导学生善于观察、归纳和总结，并将结论运用到问题解决中，注意体会数型结合、转化等数学思想。 本章节勾股定理的背景资料非常丰富，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣。通过介绍我国在勾股定理研究方面取得的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感。
学情分析 学生已经学过三角形、等腰三角形、全等三角形及简单的多边形对学习勾股定理有很大的帮助，但本章内容思维量大，对思维的严谨、归纳推理能力要求较高，学生学起来有一点的难度。
单元目标 （一）教学目标1、知道勾股定理法人由来，说出勾股定理的内容，并能进行简单的运用。2、经历观察、探索、猜想、归纳、验证的过程，培养学生的推理能力。3、通过对勾股定理的理解，培养学生的爱国热情。（二）教学重点、难点勾股定理的探索；利用勾股定理解决问题；利用数型结合的思想验证勾股定理。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1探索勾股定理21.2一定是直角三角形吗11.3勾股定理的运用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务探索勾股定理1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。4.让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情。1.通过以直角三角形的三边为边长向外作正方形，探究三个正方形的面积关系。从而总结出直角三角形三边之间的关系---勾股定理。2.利用勾股定理解决简单的实际问题。活动一；观察地砖示意图初步发现直角三角形三边之间的关系。活动二：观察、思考、计算方格纸上三个正方形的面积。活动三；利用活动二结果，通过讨论、发现三角形三边之间的关系-勾股定理。活动四真是的运用一定是直角三角形吗掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。3.理解勾股数。4.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。5.通过自主学习、合作探究，学会直角三角形的判定方法，体验生活中的数学的应用价值；在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习自信心。1.通过给定的数据画符合条件的三角形，再度量三个角，发现有一个是直角，并发现三边之间的关系。得出符合两条较短边的平方和等于较长边的平方这一条件的三角形是直角三角形。2.对直角三角形的三条边的讨论、比较得出勾股数。3.利用课本例题解答让学生发现勾股定理的逆定理也是正确的。1、活动一；从三角形的三条边的长度关系来判断是否直角三角形。2.活动二；探究勾股数的特点。3.活动三；探究勾股定理的逆定理。勾股定理的运用1.体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。2.会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.4.培养学生解决实际问题的能力、空间想象能力，提高学生审题能力，养成良好的数学思维习惯。1.通过问题情境导入蚂蚁爬行的几种线路，接着计算爬行路程各是多少，从而确定最短距离。2.小组讨论、分析总结蚂蚁爬行最短路径的理论根据。3.设计巩固练习遵循由易到难逐步提升的原则，使学生感受成功的快乐。活动一，探究蚂蚁爬行的线路。活动二，探究在这几种线路中蚂蚁爬行的最短路线活动三，归纳总结蚂蚁爬行最短距离这类问题的解题关键。
《勾股定理》单元教学设计
任务一：掌握勾股定理的定义及内容
任务二：探究并掌握勾股定理的表达式
探索勾股定理
任务三：了解勾股定理的验证方法
任务一：掌握直角三角形的判断方法
勾股定理
一定是直角三角形吗
任务二：掌握勾股数的概念及内容
任务一：知道直角三角形任意两边求第三边
任务二：解决生活中的实际问题
勾股定理的应用
任务三：最短路程问题及折叠图形中的面积问题
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1.2一定是直角三角形吗
北师大版八年级数学上册
教材分析
本节课是学习勾股定理后继续学习如何判断一个三角形是直角三角形，是进一步理解直角三角形的需要。通过勾股定理及其逆定理的学习，加深学生对性质与判断之间的辩证统一之间的关系，是对所学知识的继续和深化，也是为后续学习奠定基础，在以后的问题解决中运用非常广泛。同时渗透利用代数计算解决几何证明问题的思想，这是初中几何学习的重要内容之一。
教学目标
1．掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。理解勾股数。
2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。
3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。
新知导入
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a2+b2=c2
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方
1、温故知新
2、合作交流
求以线段a,b为直角边的直角三角形的斜边c的长:
(1)a=3, b=4;
(2) a=8, b=6;
(3)a=5, b=12.
a
b
c
新知讲解
探究一：从边上判定一个三角形是直角三角形的条件
1、画一画：画一个三角形,使其三边长分别为: a，b，c.
3cm, 4cm, 5cm； 5cm, 12cm, 13cm；
7cm, 24cm, 25cm； 8cm, 15cm, 17cm.
2、量一量：用量角器量每个三角形中最大的角， 判断它们是否是直角三角形？
3、算一算：这三组数都满足 a2+b2=c2 吗？
课堂小结
归纳总结：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是 直角 三角形。
例题讲解
1、讲授课本第9页例题
一个零件的行踪如图1-9所示，按规定这个零件∠A,∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件的尺寸如图1-10所示，这个零件是否符合要求？
解：在△ABC中，
所以△ABC是直角三角形。∠A是直角
在△DBC中，
所以△DBC是直角三角形。∠DBC是直角。
因此该零件符合要求。
新知讲解
探究二：勾股数有哪些特点？
1、学生自学课本第10页第3题。
2、归纳小结：
如果a,b,c 为一组勾股数，则an,bn,cn 也是一组勾股数，其中n为自然数
练一练
下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c。
①5,12,13；②7,24,25；③8,15,17；④3,4,5
⑤6,8，10；⑥10,24,26；⑦0.8,1.5，1.7；
⑧1.5,2,2.5；⑨12，18,22.⑩
3n,4n,5n(n为正整数)
（1）哪组边能组成直角三角形？
（2）勾股数有哪些？
（3）你从这些直角三角形中能发现什么？
（除(9)、(10)外。其他全部可以组成直角三角形）
(能组成直角三角形的三边均为正整数）
(两条较短边的平方和等于长边的平方）
新知讲解
探究三：勾股定理逆定理：
已知：如图在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且a2+b2=c2.
求证：∠C=90°
证明：作△A1B1C1，使∠A1C1B1=90°，A1C1=b，B1C1=a
则有 A1B12=a2+b2
∵ a2+b2=c2
∴ A1B1=c，
在△ABC和△A1B1C1中
AB=A1B1
BC= B1C1
AC= A1C1
∴ △ABC ≌ △A1B1C1（sss)
∴∠C=∠C1=90°
勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a2 +b2=c2
勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c，满足a2 +b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。
互 逆
课堂小结：
知识运用
变式练习：四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠B=90°， 求这个四边形的面积？
解：AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理）
DC2+AC2=169 DA2=169
∴∠ ACD=90°（勾股定理逆定理）
四边形的面积=AB×BC/2+AC×DC/2=36.
课堂练习
1.如果线段a, b, c能组成直角三角形, 则它们的比可能是 ( )
3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.
B
将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是 ( )
是直角三角形; B. 可能是锐角三角形;
C. 可能是钝角三角形; D. 不可能是直角三角形
A
必做题：
【知识技能类作业】
课堂练习
三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是: （ ）
A. 直角三角形; B. 是锐角三角形;
C. 是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形
A
已知 ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为_______三角形, ______是最大角.
直角
∠ A
5.以 ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是______三角形.
直角
课堂练习
1.三角形三边分别是a，b，c满足等式(a+b)2-c2=2ab，则此三角形是 ( )
A、直角三角形 B、是锐角三角形
C、是钝角三角形 D、是等腰直角三角形
A
【知识技能类作业】
选做题：
课堂练习
2.中考联接：若a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足(a－5)2＋(b－12)2＋|c－13|＝0.
(1)、求a，b，c的值；
(2)、△ABC是直角三角形吗？请说明理由
a=5 b=12 c=13
课堂练习
1.如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？（随堂练习第2题）
【综合实践类作业】
有4个直角三角形，
∠A,∠D,∠C均为直角,∴△ABE,△BCF,△DFE,是直角三角形。又因为
所以△BEF也是直角三角形，故又4个直角三角形。
课堂练习
变式.如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F为CD的四等分点，判断BE和EF的位置关系，并说明理由
课堂总结
谈谈这节课的收获：（从以下三个方面谈）
1、怎样判断一个三角形是直角三角形。
2、理解勾股数。
3、勾股定理的逆定理。
课外作业
【知识技能类作业】
必做题：
1. 课本第10页随堂练习第1题
解答提示：1.第（1）、（4）可以，利用根据勾股定理，学生自己完成。
2. 课本第10页习题1.3第1、2题
接待提示：1.41；2.是直角三角形，可以把式子通过变形成勾股定理模式。
课外作业
选做题：
【知识技能类作业】
课本第10页第3、4题
解答提示：
3（1）是；（2）补全表格数据（略），勾股数同时扩大相同的倍数，还是勾股数，根据等式性质2.
4.图形4、5是直角三角形，其他不是，理由理由格点分别算出三角形三边的长度，再用勾股定理验证。
课外作业
【综合实践类作业】
课本第11页第5、6题
解答提示：
5.可以利用勾股数来达到目的。
6.通过计算发现两较小数的平方和等于较大数的平方。
板书设计
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《 一定是直角三角形吗 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是学习勾股定理后继续学习如何判断一个三角形是直角三角形，是进一步理解直角三角形的需要。通过勾股定理及其逆定理的学习，加深学生对性质与判断之间的辩证统一之间的关系，是对所学知识的继续和深化，也是为后续学习奠定基础，在以后的问题解决中运用非常广泛。同时渗透利用代数计算解决几何证明问题的思想，这是初中几何学习的重要内容之一。
学习者分析 学生已经学习了勾股定理，并在以前学习的内容中已经积累了逆向思维的经验，本节课从勾股定理出发逆向思考获得勾股定理的逆定理，学生应该具备了这样的研究意识，但在具体研究过程中可能用到反证思想，对现阶段的学生来说可能有一定的困难，所以在教学活动中教师应注意适时的引导。
教学目标 掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。理解勾股数。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。 3.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。
教学重点 探索并掌握直角三角形的判定条件。
教学难点 运用直角三角形的判定条件解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：导入新课教师活动1： 温故知新---复述勾股定理。 合作交流 求以线段a,b为直角边的直角三角形的斜边c的长: （1）a=3,b=4; （2）a=8,b=6 （3 a=5,b=12.学生活动1： 1、学生独立完成 2、同桌交流答案。活动意图说明： 复习旧知，为后续学习奠定基础。环节二：从边上判定一个三角形是直角三角形的条件教师活动2： 1、画一画：画一个三角形,使其三边长分别为: a，b，c. 3cm, 4cm, 5cm； 5cm, 12cm, 13cm； 7cm, 24cm, 25cm； 8cm, 15cm, 17cm. 2、量一量：用量角器量每个三角形中最大的角， 判断它们是否是直角三角形？ 3、算一算：这三组数都满足 a2+b2=c2 吗？ 归纳总结：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是 直角 三角形。 讲授课本第9页例题 一个零件的行踪如图1-9所示，按规定这个零件∠A,∠DBC都应为直角，工人师傅量得这个零件的尺寸如图1-10所示，这个零件是否符合要求？ 解：在△ABC中，,所以△ABC是直角三角形。∠A是直角 在△DBC中，,所以△DBC是直角三角形。∠DBC是直角。 因此该零件符合要求。学生活动2： 1.学生通过画、量、算活动，总结三角形的三边符合a2+b2=c2，这样的三角形是直角三角形。 2.自学课本例题。活动意图说明： 通过学生参与探究全程，掌握从三边的长短来判断是否直角三角形，并运用知识解决实际问题。环节三：勾股数有哪些特点？教师活动3： 学生自学课本第10页第3题。 归纳小结：如果a,b,c 为一组勾股数，则na,nb,nc 也是一组勾股数，其中n为自然数 下面有三组数分别是一个三角形的三边长a,b,c。 ①5,12,13； ②7,24,25； ③8,15,17； ④3,4,5 ⑤6,8，10； ⑥10,24,26； ⑦0.8,1.5，1.7； ⑧1.5,2,2.5；⑨12，18,22.⑩ 3，4，5 3n,4n,5n(n为正整数) 哪组边能组成直角三角形？ （除9、10外。其他全部可以组成直角三角形） 勾股数有哪些？ （能组成直角三角形的三边均为正整数） 你从这些直角三角形中能发现什么？学生活动3： 通过计算知道勾股数的特点， 活动意图说明： 利用数型结合掌握勾股数在几何中的作用。环节四：勾股定理逆定理：教师活动4： 已知：如图在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，并且a2+b2=c2. 求证：∠C=90° 证明：作△A1B1C1，使∠A1C1B1=90°，A1C1=b，B1C1=a 则有 A1B12=a2+b2 ∵ a2+b2=c2 ∴ A1B1=c， 在△ABC和△A1B1C1中 AB=A1B1 BC= B1C1 AC= A1C1 ∴ △ABC ≌ △A1B1C1（sss) ∴∠C=∠C1=90° 2.课堂小结： 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a +b=c 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a +b=c，那么这个三角形是直角三角形。 变式练习：四边形ABCD中已知AB=3，BC=4，CD=12，DA=13，且∠B=90°， 求这个四边形的面积？ 解：AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理） DC2+AC2=169 DA2=169 ∴∠ ACD=90°（勾股定理逆定理） ∴四边形的面积=AB×BC/2+AC×DC/2=36.学生活动4： 学生尝试利用三角形全等的方法证明勾股定理逆定理的正确性。 完成变式练习活动意图说明： 自主探究，小组合作探究勾股定理逆定理的正确性。 运用勾股定理及逆定理解决实际问题。环节五：课堂总结教师活动五 谈谈这节课的收获：（从以下三个方面谈） 怎样判断一个三角形是直角三角形。 勾股定理的逆定理。 理解勾股数。学生活动五 学生畅所欲言，大胆表达。活动意图说明： 学数学---说数学----用数学，加深对知识的理解和掌握。
板书设计 一定是直角三角形吗 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b,斜边为c，那么a +b=c 3、4、5； 5、12、13 6、8、10 10、24、26 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a +b=c，那么这个三角形是直角三角形。
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.如果线段a, b, c能组成直角三角形, 则它们的比可能是 （ B ）。 A3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5. 2.将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的三角形是( A ) A是直角三角形; B. 可能是锐角三角形; 可能是钝角三角形; D. 不可能是直角三角形。 3.三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式(a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是: （ A ） A. 直角三角形; B. 是锐角三角形; C. 是钝角三角形; D. 是等腰直角三角形。 4.已知 ABC中BC=41, AC=40, AB=9, 则此三角形为__直角_三角形, _∠A___是最大角。 5.以 ABC的三条边为边长向外作正方形, 依次得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形是直角三角形。 选做题： 6.三角形三边分别是a，b，c满足等式(a+b)2-c2=2ab，则此三角形是 ( A ) A、直角三角形 B、是锐角三角形 C、是钝角三角形 D、是等腰直角三角形 7.中考联接：若a，b，c是△ABC的三边长，且a，b，c满足(a－5)2＋(b－12)2＋|c－13|＝0. (1)、求a，b，c的值；(a=5,b=12 ,c=13) (2)、△ABC是直角三角形吗？请说明理由。(是直角三角形，根据勾股定理） 【综合拓展类作业】 8.（随堂练习第2题）如图，在正方形ABCD中，AB=4，AE=2，DF=1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？（5个，根据勾股定理作出判断） 9.变式.如图，在正方形ABCD中，E为AD的中点，F为CD的四等分点，判断BE和EF的位置关系，并说明理由 解：BF⊥EF，因为所以三角形△BEF是直角三角形，所以BF⊥EF。
课堂总结 谈谈这节课的收获：（从以下三个方面谈） 1、怎样判断一个三角形是直角三角形。 2、理解勾股数。 3、勾股定理的逆定理。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 课本第10页随堂练习第1题 答案：1.第（1）、（4）可以，利用根据勾股定理，学生自己完成。 课本第10页习题1.3第1、2题 答案：1.41；2.是直角三角形，可以把式子通过变形成勾股定理模式。 选做题： 3.课本第10页第3、4题 答案：3（1）是；（2）补全表格数据（略），勾股数同时扩大相同的倍数，还是勾股数，根据等式性质2. 4图形4、5是直角三角形，其他不是，理由理由格点分别算出三角形三边的长度，再用勾股定理验证。 【综合拓展类作业】 4.课本第11页第5、6题 答案：5.可以利用勾股数来达到目的。 6.通过计算发现两较小数的平方和等于较大数的平方。
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