(共25张PPT)
勾股定理的应用
北师大版八年级数学上册
教材分析
本节课是运用勾股定理解决简单的立体图形上的最短距离问题，进一步发展应用意识。既是七年级图形的展开与折叠知识的延续，需要把立体图形展开成平面图形后，利用两点之间线段最短在平面上找到最短距离，并运用勾股定理求出最短距离；又是从立体图形侧面中来又回到立体图形中去，也为九年级要学习的视图与投影埋下伏笔。
教学目标
学习目标
1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念。
2.探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。
3.利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。
回顾思考
1. ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则 ABC的为 .三角形
直角
2.如何判断一个三角形为直角三角形的方法
是： .
较短的两边平方和等于最长边的平方
3.两点之间 最短.直线外一点到这条直线可以画 条线段，其中 最短。
线段
垂直线
无数条
新知导入
在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
B
A
新知讲解
蚂蚁A→B的路线
新知讲解
（１）中A→B的路线长为：AA’+d>AB
（２）中A→B的路线长为：AA’+A’B>AB;
（３）中A→B的路线长为：AO+OB>AB;
（４）中A→B的路线长为：AB.
根据两点之间线段最短可判断（４）最短
新知讲解
怎样计算最短线路AB？
B
A
A’
O
侧面展开图
A
B
A’
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
想：要求AB,必须知道什么条件
新知讲解
变式练习
（1） 如果AB同侧，
求最短距离。
AB的距离=圆柱的高
新知讲解
新知讲解
新知讲解
（2）A点上移或B点下移。求最短距离
新知讲解
（3）B点沿上边缘移动，
怎样求最短距离。
新知讲解
例1、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
A
C
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC = 24 /2= 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
课堂作业
【知识技能类作业】
必做题：
1、李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，
B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？
解：在AD和AB边分别任取一点E、F。测量AE、AF、EF,使AE、AF、EF均小于20cm,然后仿照（2）进行检验是否垂直。
∴AD⊥AB
能
课堂练习
解：甲向正东走了12千米，乙向正北走了5千米，这时甲乙相距
2、课本14页随堂练习。
课堂练习
1.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离
AB=25
解：
【知识技能类作业】
选做题：
课堂练习
2.如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿（CD），早晨测得它的影长为4米（AD），中午测得它的影长为1米（BD），则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
解：三角形ABC是直角三角形，理由；
∵AD⊥CD,∴
∵BD⊥CD,∴
∵
∴ 三角形ABC是直角三角形
课堂练习
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
解：设水池深度为x尺，芦苇长（x+1） 依题意得：
解得X=12 12+1=13
答：水池深度 12尺，芦苇长13尺。
【综合实践类作业】
课堂总结
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。
2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。
课外练习
【知识技能类作业】
必做题：
课本14页第1、2、3题
答案或解答提示：
1.60；
2.第（2）个图形正确，可以用勾股定理验证。
3.∵ 米，12米>11.7米，∴云梯能够达到城墙的顶端，
课外练习
【知识技能类作业】
选做题：
1、课本第15页6题
解答：如图,测量绳长AC及BC的距离，根据勾股定理计算出旗杆AB的距离。
课堂练习
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，
则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度 CE=3m,
CD=1m,试求滑道AC的长.
自学课本13页例题
解：设直角三角形斜边AC=Xm , 依题意得：
解得x=5
答：滑道AC长5m.
课外作业
【综合实践类作业】
课本第15页第4题
（1）展开正面和右面如图1
（2）想展开正面和上面如图2
（3）展开左面和上面如图3
∵464>400，所以最短距离AB=20cm。
板书设计
勾股定理的应用——最短距离问题
(1)立体图形
转化
展开
平面图形
(2)实际问题
转化
建模
数学问题
谢谢
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分课时教学设计
第一课时《 勾股定理的运用 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是运用勾股定理解决简单的立体图形上的最短距离问题，进一步发展应用意识。既是七年级图形的展开与折叠知识的延续，需要把立体图形展开成平面图形后，利用两点之间线段最短在平面上找到最短距离，并运用勾股定理求出最短距离；又是从立体图形侧面中来又回到立体图形中去，也为九年级要学习的视图与投影埋下伏笔。
学习者分析 学生已学过勾股定理及其逆定理，本节课利用所学知识解决实际问题。由于学生掌握知识比较零散，综合知识解决实际问题有点难度，数型结合思想渗透力度还不够，所以本节课教师要把培养学生的分析问题解决问题的能力放在首为，通过数型结合思想解决蚂蚁爬行路程最短的问题。
教学目标 1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。 2、会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题。 3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题
教学重点 探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用其解决生活实际问题。
教学难点 探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用其解决生活实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：导入新课教师活动1： 1,回顾思考 ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则 ABC是直角.三角形。 如何判断一个三角形为直角三角形 （两条较边短的平方和是否等于较长边的平方） 两点之间线段最短，直线外一点到这条直线可以画 无数条条线段，其中垂直线 最短。 2.问题情境导入：蚂蚁爬行的最短距离。学生活动1： 知识回顾完成1-3题。 回顾圆柱体的展开图活动意图说明： 1.帮助学生温故知新；2.通过视觉激活学生思维，生成问题。环节二：问题情境教师活动2： 1、在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？ 2、小组合作蚂蚁爬行的最短线路 （１）中A→B的路线长为：AA’+d>AB （２）中A→B的路线长为：AA’+A’B>AB; （３）中A→B的路线长为：AO+OB>AB; （４）中A→B的路线长为：AB. 根据两点之间线段最短可判断（第4条）最短学生活动2： 1、学生审题，小组合作蚂蚁爬行的最线路有几种。 活动意图说明： 由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣。由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣； 启发学生把立体图形展开成平面图形，使学生体会数学上的转化思想。环节三：分析解决问题情境，寻找并计算最短距离。教师活动3： 圆柱体测面展开是长方形，长方形的长=（ 底面周长），宽=（圆柱体的高）。利用勾股定理求AB的长度。 如果告诉底面半径，AB=(兀r ) 如果告诉底面直径，AB=( 兀d ) 变式练习（1）如果A和B同侧，AB= 如果A点上移， AB= 如果B点沿上边缘移动，AB= 例1、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？ 解：AC = 6 – 1 = 5 BC = 24 × = 12， 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169, ∴AB=13(m) .学生活动3： 在计算最短距离时，一名学生分析思路，指明圆柱体上的数量和展开图上的数量之间一一对应关系，以及如何利用勾股定理进行计算活动意图说明： 教师黑板画图，为学生在黑板上板书变式训练一做准备；2.通过先寻找“关键点”，再找到“最短距离”，最终在直角三角形内利用勾股计算最短距离这一过程，使学生再次领悟任何一个几何图形都是由基本元素“点”，“线”，“面”构成，回归几何的本质。
板书设计 勾股定理的应用——最短距离问题 立体图形 平面图形 实际问题 数学问题
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 课本第13页做一做。 解答提示：（1）能够办到。（2）∵ ∴AD⊥AB （3）在AD和AB边分别任取一点E、F。测量AE、AF、EF,使AE、AF、EF均小于20cm,然后仿照（2）进行检验是否垂直。 2.课本14页随堂练习。 解：甲向正东走了12千米，乙向正北走了5千米，这时甲乙相距 选做题： 3.如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿（CD），早晨测得它的影长为4米（AD），中午测得它的影长为1米（BD），则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？ 解：解：三角形ABC是直角三角形，理由； ∵AD⊥CD,∴ ∵BD⊥CD,∴ ∵ ∵ ∴ 三角形ABC是直角三角形 4.如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离（单位cm） 解：最短线路AB AB=25cm 答：最近距离25cm 【综合拓展类作业】 5.课本第15页第5题 解：设水池深度为x尺，芦苇长（x+1） 依题意得： 解得X=12 12+1=13 答：水池深度 12尺。芦苇长13尺。
课堂总结 应用勾股定理解决实际问题的一般思路 1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。 2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1课本14页第1、2、3题 答案或解答提示：1.60；2.第（2）个图形正确，可以用勾股定理验证。 3.∵米，12米>11.7米，∴云梯能够达到城墙的顶端， 选做题： 2.课本第15页6题 解答：如图,测量绳长AC及BC的距离，根据勾股定理计算出旗杆AB的距离。 3.自学课本第13页例题，注意解题规范书写。 【综合拓展类作业】 4.课本第15页第4题 （1）展开正面和右面如图1 。 展开正面和上面如图2 。 展开左面和上面如图3 ∵464>400，所以最短距离AB=20cm
教学反思
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 北师大版 册、章 上册第一章
课标要求 经历探究勾股定理的过程，进一步发展学生的推理意识和主动探究的学习习惯，体会数学与现实生活的联系。理解直角三角形三边之间的数量关系，发展学生的说理能力和推理能力。运用勾股定理解决实际问题，并通过勾股定理实例了解勾股定理的历史和运用，体会它的文化价值。
内容分析 本章内容主要研究勾股定理及其逆定理，包括发现、证明、运用三个环节，首先让学生观察发现两直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理。然后运用勾股定理解决问题，在此基础上引入勾股定理的逆定理。在勾股定理和逆定理的探索过程中，要引导学生善于观察、归纳和总结，并将结论运用到问题解决中，注意体会数型结合、转化等数学思想。 本章节勾股定理的背景资料非常丰富，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣。通过介绍我国在勾股定理研究方面取得的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感。
学情分析 学生已经学过三角形、等腰三角形、全等三角形及简单的多边形对学习勾股定理有很大的帮助，但本章内容思维量大，对思维的严谨、归纳推理能力要求较高，学生学起来有一点的难度。
单元目标 （一）教学目标1、知道勾股定理法人由来，说出勾股定理的内容，并能进行简单的运用。2、经历观察、探索、猜想、归纳、验证的过程，培养学生的推理能力。3、通过对勾股定理的理解，培养学生的爱国热情。（二）教学重点、难点勾股定理的探索；利用勾股定理解决问题；利用数型结合的思想验证勾股定理。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1探索勾股定理21.2一定是直角三角形吗11.3勾股定理的运用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务探索勾股定理1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。4.让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情。1.通过以直角三角形的三边为边长向外作正方形，探究三个正方形的面积关系。从而总结出直角三角形三边之间的关系---勾股定理。2.利用勾股定理解决简单的实际问题。活动一；观察地砖示意图初步发现直角三角形三边之间的关系。活动二：观察、思考、计算方格纸上三个正方形的面积。活动三；利用活动二结果，通过讨论、发现三角形三边之间的关系-勾股定理。活动四真是的运用一定是直角三角形吗掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。3.理解勾股数。4.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。5.通过自主学习、合作探究，学会直角三角形的判定方法，体验生活中的数学的应用价值；在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习自信心。1.通过给定的数据画符合条件的三角形，再度量三个角，发现有一个是直角，并发现三边之间的关系。得出符合两条较短边的平方和等于较长边的平方这一条件的三角形是直角三角形。2.对直角三角形的三条边的讨论、比较得出勾股数。3.利用课本例题解答让学生发现勾股定理的逆定理也是正确的。1、活动一；从三角形的三条边的长度关系来判断是否直角三角形。2.活动二；探究勾股数的特点。3.活动三；探究勾股定理的逆定理。勾股定理的运用1.体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。2.会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.4.培养学生解决实际问题的能力、空间想象能力，提高学生审题能力，养成良好的数学思维习惯。1.通过问题情境导入蚂蚁爬行的几种线路，接着计算爬行路程各是多少，从而确定最短距离。2.小组讨论、分析总结蚂蚁爬行最短路径的理论根据。3.设计巩固练习遵循由易到难逐步提升的原则，使学生感受成功的快乐。活动一，探究蚂蚁爬行的线路。活动二，探究在这几种线路中蚂蚁爬行的最短路线活动三，归纳总结蚂蚁爬行最短距离这类问题的解题关键。
《勾股定理》单元教学设计
任务一：掌握勾股定理的定义及内容
任务二：探究并掌握勾股定理的表达式
探索勾股定理
任务三：了解勾股定理的验证方法
任务一：掌握直角三角形的判断方法
勾股定理
一定是直角三角形吗
任务二：掌握勾股数的概念及内容
任务一：知道直角三角形任意两边求第三边
任务二：解决生活中的实际问题
勾股定理的应用
任务三：最短路程问题及折叠图形中的面积问题
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