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北师大版八年级数学上册
单元复习
第一章 勾股定理
教材分析
在前面学生已经掌握了三角形的基本性质，研究了三角形的边满足相等的条件下等腰、等边三角形的相关知识，还研究了当三角形一个角是90°时，即直角三角形相关性质。对于直角三角形三边之间的性质将在本章研究。本章主要内容是勾股定理及勾股定理逆定理，勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系，是直角三角形非常重要的性质，它可以用来解决许多直角三角形的计算问题，是解直角三角形重要工具之一，勾股定理搭建了代数与几何的重要桥梁。同时对于本章渗透数学文化有着横好的载体，相关素材对于培养学生的民族自豪感，开展学科德育教育有积极的意义和作用。
教学目标
1．对直角三角形的特殊性质全面进行总结。
2．让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。
教学fagxniuweqiiiang 目标
2002年世界数学家大会在我国北京召开，右图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家华罗庚曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.
导入新课
活动一：梳理知识
新课讲授
新知导入
活动二 验证勾股定理
∴
新课讲授
∴
新课讲授
∴
新课讲授
活动三：学以致用
题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。
1、已知：一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm,第三边长的平方为 。
2、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm, 第三边长的平方为 。
25
7或25
1、下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( )
A．1.5，2，3 B. 8，15，17 C．6，8，10 D. 3，4，5
2、如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．
题型二 勾股定理的逆应用
A
证明：
∴AD⊥BD.
学以致用
题型三 最短路线问题
如图，有一个长方体的长、宽、高分别是6、4、4，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是
.
学以致用
题型四 主要数学思想-------方程思想
如图，已知长方形ABC中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
解：由折叠可知AD=AF=10cm 在Rt△ABF中∴BF=6,FC=4
设CE为Xcm，DE=EF=8-x
在Rt△EFC 中 求出X=3
答：CE长3cm.
题型五 勾股定理与面积
直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为
解：由于△ABC ≌△CDF(利用一线三直角学生自己证明为何全等）
∴AB=CD
b =CF =CD +DF =5+11=16
∴b的面积是16.
活动四：综合运用
1.如图所示，在△ABC中，已知AB=AC,D是AC
上的一点，CD=9,BC=15,BD=12。
（1）求证△BDC是直角三角形。
（2）求△ABC的面积
证明：CD=9,BD=12,BC=15
所以△BDC是直角三角形。且∠BDC是直角。
解：设AD=x,则AC=x+9,∵AB=AC,∴AB=x+9,
∵∠BDC=90°,∴∠ADB=90°,
求出X=3.5
△ABC的面积=(3.5+9)×12÷2=75
2.如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.
解:连接AD,如图(2)所示.∵∠BAC=90°,AB=AC,
又∵AD为ΔABC的中线,
∴AD=DC=DB,AD⊥BC,且∠BAD=∠C=45°.
∵∠EDA+∠ADF=90°,又∵∠CDF+∠ADF=90°,
∴∠EDA=∠CDF.所以ΔAED≌ΔCFD(ASA).
∴AE=FC=5,
同理AF=BE=12,
在RtΔAEF中,根据勾股定理得:
EF2=AE2+AF2=52+122=132， ∴EF=13.
课堂练习
1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A.8,15,17 B.4,5,6 C.5,8,7 D.8,39,40
A
2、如图，一场暴雨过后，垂直于地
面的一棵树在距地面3 m处折断，树
尖B恰好碰到地面，经测量AB=4 m，
这棵大树在折断前的高度为（ ）
A.7 m B.10 m C.8 m D.12 m
C
【知识技能类作业】
必做题：
课堂练习
3、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识（1）求△ABC的面积.（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由。
解：（1）△ABC的面积=8×4- （2×3+1×8+6×4） =32-19=13
（2）是直角三角形。理由如下
AB =2 +3 =13 ； BC =6 +4 =52
AC =1 +8 =65.
AB +BC =AC ∴△ABC是直角三角形
课堂练习
1、课本第18页第9题
解：9、（1）如图所示，利用“补”法”
正方形面积=81-7×4=53。
（2）面积是5、10、13个单位的正方形如图。
【知识技能类作业】
选做题
课堂练习
2、课本第18页第10题
解：（1）二次操作后如图所示，
（2）所有正方形的面积之和为4.
（3）如果一直画下去，形状像一颗大树
（4）如果最初的三角形是等腰直角三角形，那么“毕达哥拉斯树”是一个轴对称图形。
课堂练习
【综合实践类作业】
课本第19页第13题
解答提示：底面对角线的平方等于4.5，轿厢对角线的平方=9.34，估算（或计算器计算）木条的最大长度是3.06米
课堂总结
1、勾股定理及勾股定理的逆定理。
2、勾股定理的运用。
课外作业
课本第16-17页第1-8题
答案：
1、根据勾股定理AB=5,BC=13,CD=10,∴AC=28。
2、（1）能;(2）不能；（3）不能；（4）能。
3、200； 4、169； 5、200；
6、两直角边的半圆面积之和等于斜边的半圆面积。
【知识技能类作业】
必做题：
课外作业
7、提示：图1利用中间空白正方形的面+4个三角形面积=大正方形的面积，根据和平方公式验证勾股定理。根据图2验证和平方公式。
8、如图所示即可解释清楚
课外作业
【知识技能类作业】
选做题
课本第18页第11题
答案：云梯的顶端距地面24米，云梯顶端下滑4米，梯子底部在水平方向移动8米。
课本第19页第12题
解答提示，三种展开情况（前右、前上、上右），通过计算最短距离是25。
课外作业
课本第19页14题
答；1、观点正确，理由如下：
设a、b、c是一组勾股数，奇偶性有4种情况，分别是三个奇数、三个偶数，一个奇数2个偶数，二个奇数1个偶数。由于奇数的平方+奇数的平方=偶数的平方，偶数平方+偶数平方=偶数的平方，奇数的平方+偶数的平方=奇数的平方，所以勾股数中至少有一个是偶数
2、勾股数同时扩大相同的倍数结果还是勾股数。
【综合拓展类作业】
板书设计
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 北师大版 册、章 上册第一章
课标要求 经历探究勾股定理的过程，进一步发展学生的推理意识和主动探究的学习习惯，体会数学与现实生活的联系。理解直角三角形三边之间的数量关系，发展学生的说理能力和推理能力。运用勾股定理解决实际问题，并通过勾股定理实例了解勾股定理的历史和运用，体会它的文化价值。
内容分析 本章内容主要研究勾股定理及其逆定理，包括发现、证明、运用三个环节，首先让学生观察发现两直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理。然后运用勾股定理解决问题，在此基础上引入勾股定理的逆定理。在勾股定理和逆定理的探索过程中，要引导学生善于观察、归纳和总结，并将结论运用到问题解决中，注意体会数型结合、转化等数学思想。 本章节勾股定理的背景资料非常丰富，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣。通过介绍我国在勾股定理研究方面取得的成就，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感。
学情分析 学生已经学过三角形、等腰三角形、全等三角形及简单的多边形对学习勾股定理有很大的帮助，但本章内容思维量大，对思维的严谨、归纳推理能力要求较高，学生学起来有一点的难度。
单元目标 （一）教学目标1、知道勾股定理法人由来，说出勾股定理的内容，并能进行简单的运用。2、经历观察、探索、猜想、归纳、验证的过程，培养学生的推理能力。3、通过对勾股定理的理解，培养学生的爱国热情。（二）教学重点、难点勾股定理的探索；利用勾股定理解决问题；利用数型结合的思想验证勾股定理。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1.1探索勾股定理21.2一定是直角三角形吗11.3勾股定理的运用1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务探索勾股定理1.了解勾股定理的文化背景，激发学生热爱祖国悠久文化的情感，激励学生奋发学习。2.经过勾股定理的探索过程，体验获得结论的快乐，锻炼克服困难的勇气，培养合作意识和探索精神。3.掌握勾股定理的内容，能利用已知两边求直角三角形另一边的长。4.让学生经历勾股定理的构建过程，培养学生的探究能力，激发学生的学习热情。1.通过以直角三角形的三边为边长向外作正方形，探究三个正方形的面积关系。从而总结出直角三角形三边之间的关系---勾股定理。2.利用勾股定理解决简单的实际问题。活动一；观察地砖示意图初步发现直角三角形三边之间的关系。活动二：观察、思考、计算方格纸上三个正方形的面积。活动三；利用活动二结果，通过讨论、发现三角形三边之间的关系-勾股定理。活动四真是的运用一定是直角三角形吗掌握直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理），并能进行简单应用。 2. 理解勾股定理和勾股定理的逆定理之间的区别。3.理解勾股数。4.经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力；经历从猜想到验证的探索过程，发展学生的数学归纳能力。5.通过自主学习、合作探究，学会直角三角形的判定方法，体验生活中的数学的应用价值；在探索过程中体验成功的喜悦，树立学习自信心。1.通过给定的数据画符合条件的三角形，再度量三个角，发现有一个是直角，并发现三边之间的关系。得出符合两条较短边的平方和等于较长边的平方这一条件的三角形是直角三角形。2.对直角三角形的三条边的讨论、比较得出勾股数。3.利用课本例题解答让学生发现勾股定理的逆定理也是正确的。1、活动一；从三角形的三条边的长度关系来判断是否直角三角形。2.活动二；探究勾股数的特点。3.活动三；探究勾股定理的逆定理。勾股定理的运用1.体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。2.会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.4.培养学生解决实际问题的能力、空间想象能力，提高学生审题能力，养成良好的数学思维习惯。1.通过问题情境导入蚂蚁爬行的几种线路，接着计算爬行路程各是多少，从而确定最短距离。2.小组讨论、分析总结蚂蚁爬行最短路径的理论根据。3.设计巩固练习遵循由易到难逐步提升的原则，使学生感受成功的快乐。活动一，探究蚂蚁爬行的线路。活动二，探究在这几种线路中蚂蚁爬行的最短路线活动三，归纳总结蚂蚁爬行最短距离这类问题的解题关键。
《勾股定理》单元教学设计
任务一：掌握勾股定理的定义及内容
任务二：探究并掌握勾股定理的表达式
探索勾股定理
任务三：了解勾股定理的验证方法
任务一：掌握直角三角形的判断方法
勾股定理
一定是直角三角形吗
任务二：掌握勾股数的概念及内容
任务一：知道直角三角形任意两边求第三边
任务二：解决生活中的实际问题
勾股定理的应用
任务三：最短路程问题及折叠图形中的面积问题
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分课时教学设计
第一课时《勾股定理复习课 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 在前面学生已经掌握了三角形的基本性质，研究了三角形的边满足相等的条件下等腰、等边三角形的相关知识，还研究了当三角形一个角是90°时，即直角三角形相关性质。对于直角三角形三边之间的性质将在本章研究。本章主要内容是勾股定理及勾股定理逆定理，勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系，是直角三角形非常重要的性质，它可以用来解决许多直角三角形的计算问题，是解直角三角形重要工具之一，勾股定理搭建了代数与几何的重要桥梁。同时对于本章渗透数学文化有着横好的载体，相关素材对于培养学生的民族自豪感，开展学科德育教育有积极的意义和作用。
学习者分析 七年级学生已经具备一定的观察、归纳、猜想和推理的能力。他们在小学已学习了一些几何图形的面积计算方法（包括割补、拼接）,但运用面积法和割补思想来解决问题的意识和能力还不够。另外，学生普遍学习积极性较高，课堂活动参与较主动，但合作交流的能力还有待加强
教学目标 1．对直角三角形的特殊性质全面进行总结。 2．让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。
教学重点 利用勾股定理及逆定理，进行计算和解决实际问题.
教学难点 利用建模思想构建直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：创设情境，导入新课教师活动1： 展示两幅图片，第一幅图片为2002年在我国北京召开的第24届国际数学家大会的场景，值得一提的是这次大会的会徽，为著名的赵爽弦图。 第二幅图片为我国著名数学家华罗庚教授提议的向宇宙发射的勾股定理的图形，用来与外星人联系。我国著名数学家华罗庚曾经说过：“把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流”。学生活动1： 学生观看图片，民族自豪感油然而生.活动意图说明： 这样的导入富有科学特色和浓郁的数学气息，激起学生强烈的兴趣和求知欲。环节二：梳理知识教师活动2： 学生活动2： 小组内展示自己总结的知识框图。相互交流完善知识框图. 活动意图说明： 利用思维导图，构建知识网状结构图环节三：验证勾股定理教师活动3： 1、利用图1验证 2、利用图2验证 3、利用图3验证 学生活动3： 学生用求面积的方法验证勾股定理 活动意图说明： 设计三个图形利用求面积的方法验证勾股定理，加深学生对勾股定理的理解和掌握。也达到数形的完美结合。环节四：学以致用教师活动4： 题型一 ；直角三角形中已知两边，求第三边。 1、已知：一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm,第三边长的平方为 25 。 2、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm, 第三边长的平方为 7或25 。 题型二 勾股定理的逆应用 1、下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( A ) A．1.5，2，3 B. 8，15，17 C．6，8，10 D. 3，4，5 2、如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD． 证明： ∴∴AD⊥BD. 题型三 最短路线问题 如图，有一个长方体的长、宽、高分别是6、4、4，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是. 题型四 主要数学思想-------方程思想 如图，已知长方形ABC中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长. 解：由折叠可知AD=AF=10cm 在Rt△ABF中 ,∴BF=6,FC=4 设CE为Xcm，DE=EF=8-x 在Rt△EFC中 求出X=3 答CE长3cm. 题型五 勾股定理与面积 直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为 . 解：由于△ABC≌△CDF(利用一线三直角学生自己证明为何全等） ∴AB=CD b=CF=CD+DF=5+11=16∴b的面积是16.学生活动4： 学生对五种不同题型题目尝试解答。对有困难的学生教师适当点拨。 解答过程注意； 一线三直角的两个三角形全等的证明。 长方体中蚂蚁爬行的线路最短问题，需要分三种情况分别计算，然后找出最短路径。 活动意图说明： 学以致用，设计不同题型，都是围绕勾股定理展开的，在实际生活中,勾股定理有着广泛的应用.在运用的过程中,要注意是运用勾股定理还是运用勾股定理的逆定理.在解决问题的过程中,寻找和构造垂直关系就成为解题的关键所在。环节五：综合运用教师活动五 1、如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12. (1)求证ΔBCD是直角三角形; (2)求ΔABC的面积. 证明:(1)∵CD=9,BD=12,∴CD2+BD2=81+144=225.∵BC=15,∴BC2=225.∴CD2+BD2=BC2.∴ΔBCD是直角三角形,且∠BDC=90°(勾股定理的逆定理). 解:(2)设AD=x,则AC=x+9,∵AB=AC, ∴AB=x+9, ∵∠BDC=90°,∴∠ADB=90°, ∴AB2=AD2+BD2(勾股定理),即(x+9)2=x2+122, 解得x=3.5 ΔABC的面积=(3.5+9)×12÷2=75 2.如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长. 解:连接AD,如图(2)所示. ∵∠BAC=90°,AB=AC, 又∵AD为ΔABC的中线, ∴AD=DC=DB,AD⊥BC,且∠BAD=∠C=45°. ∵∠EDA+∠ADF=90°,又∵∠CDF+∠ADF=90°, ∴∠EDA=∠CDF.所以ΔAED≌ΔCFD(ASA). ∴AE=FC=5, 同理AF=BE=12, 在RtΔAEF中,根据勾股定理得: EF2=AE2+AF2=52+122=132， ∴EF=13.学生活动5 综合运用有点难度，教师给出提示学生可以小组合作完成。活动意图说明： 通过第一题解答使学生了解用勾股定理证明直角三角形。 第2题题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题,我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.
板书设计 第一章勾股定理复习 梳理知识 验证勾股定理 勾股定理的运用 四、综合运用
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( A ) A.8,15,17 B.4,5,6 C.5,8,7 D.8,39,40 2、如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=4 m，这棵大树在折断前的高度为（ C ） A.7 m B.10 m C.8 m D.12 m 3、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识 （1）求△ABC的面积.（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由. 解：（1） △ABC的面积=8×4-（2×3+1×8+6×4） =32-19=13 是直角三角形。 AB=2+3=13 BC=6+4=52 AC=1+8=65. AB+BC=AC∴△ABC是直角三角形 选做题： 4.课本第18页第9、10题 解：9、（1）如图所示，利用“补”法”正方形面积=81-7×4=53。 面积是5、10、13个单位的正方形如图。 （1）二次操作后如图所示， 所有正方形的面积之和为4. 如果一直画下去，形状像一颗大树 如果最初的三角形是等腰直角三角形，那么“毕达哥拉斯树”是一个轴对称图形。 【综合拓展类作业】 5.课本第19页第13题 解答提示：底面对角线的平方等于4.5，轿厢对角线的平方=9.34，估算（或计算器计算）木条的最大长度是3.06米
课堂小结 勾股定理及勾股定理的逆定理。 勾股定理的运用。
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.课本第16-17页第1-8题 答案： 1、根据勾股定理AB=5,BC=13,CD=10,∴AC=28。 2、（1）能;(2）不能；（3）不能；（4）能。 3、200； 4、169； 5、200； 两直角边的半圆面积之和等于斜边的半圆面积。 提示：图1利用中间空白正方形的面+4个三角形面积=大正方形的面积，根据和平方公式验证勾股定理。 根据图2验证和平方公式。 8、如图所示即可解释清楚 选做题： 2.课本第18页第11题 答案：云梯的顶端距地面24米，云梯顶端下滑4米，梯子底部在水平方向移动8米。 课本第19页第12题 解答提示，三种展开形状(前右、前上、上右），通过计算最短距离是25。 【综合拓展类作业】 3.课本第19页14题 答；1、观点正确，理由如下： 设a、b、c是一组勾股数，奇偶性有4种情况，分别是三个奇数、三个偶数，一个奇数2个偶数，二个奇数1个偶数。由于奇数的平方+奇数的平方=偶数的平方，偶数平方+偶数平方=偶数的平方，奇数的平方+偶数的平方=奇数的平方，所以勾股数中至少有一个是偶数 2、勾股数同时扩大相同的倍数结果还是勾股数。
教学反思
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