1.3空间向量及其运算的的坐标表示 自学案（含答案）

1.3空间向量及其运算的坐标表示自学案
学习目标
在平面直角坐标系的基础上，了解空间直角坐标系，感受建立空间直角坐标系的必要性，会用空间直角坐标系刻画点的位置，探索并得出空间两点间的距离公式。
找我空间向量的坐标表示
掌握空间向量的线性运算和数量积运算的坐标表示
体会几何直观与代数运算之间的融合，通过数与形的结合，感悟数学知识之间的关联，加强对数学整体性的理解。
体会类比、数形结合等数学思想方法，发展数学思维，培育科学精神，落实数学运算核心素养。
空间直角坐标系知识清单
空间直角坐标系定义
在空间选定一点O和一个单位正交基底，以点O为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条坐标轴：___________，它们都叫做________，这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz。
O叫做坐标原点，都叫做________，通过每两条坐标轴的平面叫做________，分别为______平面，______平面，______平面，它们把空间分成___个部分，如图所示。
注：（1）坐标向量满足，。
如何判断所建的空间直角坐标系是右手系？
空间直角坐标系中点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，为坐标向量，对空间任意一点A,对应一个向量，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在_____的___________________，使。
在单位正交基下与向量对应的____________，叫做点A在空间直角坐标系中的______，记作______________，其中______叫做点A的_______，______叫做点A的_______，______叫做点A的_______。
（1）空间直角坐标系中位于坐标轴，坐标平面点的坐标表示
点的位置 X轴上 Y轴上 Z轴上 Oxy平面 Oxz平面 Oyz平面
坐标形式
（2）空间直角坐标系中对称点的坐标
①点（a,b,c）关于原点O的对称点为________；
②点（a,b,c）关于x轴的对称点为________；
③点（a,b,c）关于Oyz平面的对称点为________；
口诀：关于谁对称，谁不变，其余为相反数。
常用结论
①已知A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，则线段AB中点的坐标为_____________;
②已知的三个顶点A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，C(x3,y3,z3)，则重心的坐标为_____________________.
空间向量及其运算的坐标表示
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量，作（如图所示），由空间向量基本定理，存在_____的___________________，使，_________叫做在空间直角坐标系Oxyz中的_______，记作：___________。
坐标运算：设，则
空间向量的平行、垂直、模、夹角和两点间距离的坐标表示
设则
设点，则。
特别的，空间任意一点到原点O的距离。
自我检测
（多选题）在空间直角坐标系Oxyz中，以下结论正确的是（ ）
点A(1,3,-4)关于x轴的对称点的坐标为(-1,-3,4)
点P(-1,2,3)关于Oxy平面对称的点的坐标是(-1,2,-3)
设分别是轴正方向上的单位向量，若，则
两点间的距离为3.
（多选题）已知空间中三点则（ ）
B. C. D. A,B,C三点共线
已知若OA⊥平面ABC，则
已知空间向量向量在向量上的投影向量是_____.
已知空间向量.（1）若求；（2）若求的值。
已知（1）若四边形ABCD为平行四边形，求实数的值；（2）若四边形ABCD的对角线互相垂直，求实数满足的关系式。
已知正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2,AB1⊥BC1，点O,O1分别是边AC,A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，（1）求正三棱柱的侧棱长；（2）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值。
自我检测答案
BCD; 2. AB; 3. ; 4. ;
(1)(2)；
因为，所以存在实数k，使得，又，所以解得则
因为，且，所以，解得，所以，故
(1)
因为，且，所以不共线，由四边形ABCD为平行四边形，知，所以，所以
由题意得,因为四边形ABCD的对角线互相垂直，所以，即，故
(1)(2)
设正三棱柱的侧棱长为h，由题意得A(0,-1,0),B(),C(0,1,0),B1(),C1(0,1,h)，则，因为AB1⊥BC1，所以，所以h=（负值舍去），故正三棱柱的侧棱长为
（2）由（1）可知，，所以，，所以，所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为