(共22张PPT)
第二章 实数
2.1 认识无理数（1）
北师大版八年级数学上册
教材分析
认识无理数是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节。本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数。本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数。
教学目标
1、探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。
2．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力。
新知导入
1、有理数的分类
圆周率 ，0.020020002， ，中的a， 中的b是不是整数？是不是分数？
2、有理数不够用了
｛
正整数
0
负整数
｛
正分数
负分数
新知讲解
把两个边长为1的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
活动与探究(一）
新知讲解
方法展示
问题思考：大正方形的面积是2，那么边长是多少？
是整数吗？是分数吗？
结论：存在既不是整数，也不是分数的数！
｛
新知讲解
活动与探究(二）
在右图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少
(2)设该正方形的边长为b,那么b应满足什么条件呢
(3)b是整数吗？b是分数吗？
活动探究（三）有理数的小数表示
新知讲解
活动探究（三）
有理数的小数表示
1、利用计算器活动一和活动二正方形的边长
a= 1．41421356… b= 2.236067…
2、有理数的概念：我们把无限不循环小数叫做无理数。如1．41421356… ，2.236067…。
特别强调圆周率 =3.14159265…也是一个无限不循环小数，所以 是无理数。
新知讲解
数的分类
问： 1、整数的分类。
2、分数的分类。
3、分数化小数结果可能出现的情况。
特别强调：任何一个有理数都可以化成分数 形式（q ≠0， p，q 为整数且互质），而无理数则不能。
课堂练习
1、在0.351， ， ， 3．14159， 6，
-5．2323332…， ，1234567891011…（由相继
的正整数组成）。
有理数集合 无理数集合
0.351， ，
3．14159， 6，
-5．2323332…，
，1234567891011…
【知识技能类作业】
必做题：
课堂练习
2、判断下列说法是否正确。
（1）有限小数是有理数； （ ）
（2）无限小数都是无理数； （ ）
（3）无理数都是无限小数； （ ）
（4）有理数是有限小数。 （ ）
对
对
错
错
课堂练习
3、在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段。
有理数：AB,EF。
无理数：CD,GH,MN。
【知识技能类作业】
选做题：
课堂练习
4、在下面在正方形网格中画出四个三角形
（1）三边长都是有理数 ； （2）只有两边长是有理数；（3）只有一边长是有理数； （4）三边长都不是有理数。
思维提升
下图是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！
想：因为大正方形的面积是5，以直角三角形两直角边分别是1和2的斜边画正方形，这时正方形的面积为5，所以连接AB、BC画出正方形的邻边.。延长FD到E,使FD=DE, .再连接AE和CE即可。
【综合实践类作业】
课堂总结
本节课你有哪些收获？
1．无理数的定义。
2．如何判断一个数是无理数还是有理数的？
3．请把已学过的数分类。
课外作业
【知识技能类作业】
必做题：
1. 课本第21页随堂练习
答案，根据勾股定理计算可知h不是整数，也不是分数。
2.课本第22页习题2.1第1题
答案：如图，a和b是有理数，c和d是无理数。
3自学课本第23页例题1，完成第24页随堂练习。
课外作业
【知识技能类作业】
选做题：
4.课本第25页习题2.2第1、2、3题
答案:1、有理数：第（1、（2）、（3）；无理数（4）。
2、（1）面积为10的正方形边长x不是有理数，理由它既不是分数、也不是整数。
（2）估计X的值（精确到0.1））在3.1与3.2之间
（3）如果精确到百分位是3.16.
3、×、√、×、×。
课外作业
【综合实践类作业】
答案；无理数的实例：
1、面积是2的正方形边长。
2、圆周率。
3、3.121231234…。
5.课本第25页第4题
板书设计
｛
｛
正整数
0
负整数
正分数
负分数
谢谢大家
谢谢
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册、第二章
课标要求 了解平方根的含义，会用根号表示算术平方根，并了解算术平方根的双重非负性。会用“夹逼法”求一个算术平方根的近似数。正确理解平方根的性质。了解立方根的含义，会用根号表示一个数的立方根。明确平方根和立方根之间的区别和联系。渗透特殊---一般--特殊的数学思想。理解有理数和实数的概念，并能够对实数进行分类。能够进行实数范围内简单的混合运算。通过解决生活中的实际问题体会数学与现实生活的紧密联系，在学习过程中体验学习的乐趣。8培养学生的探究能力和归纳问题的能力，发展学生素养。
内容分析 1.教材整体编排思路：无理数的引入---无理数的表示--实数及相关概念，实数运用贯穿整章始终。2.本章学习内容：认识无理数、平方根、立方根、估算、用计算器计算、实数、二次根式。3.学习方法--通过拼图引入无理数，通过具体问题的解决说明如何表示无理数，进而建立实数的概念和实数的简单混合运算。
学情分析 八年级学生已经积累了一定的数学活动经验，也经历一些数的扩展。但无理数不像有理数直观易懂，总有一种虚幻的感觉。学起来比较困难。所以，在教学中尽量利用具体情境，通过操作、猜想、抽象、验证、类比、推理等学习方法促进学生对本章知识的理解和掌握。
单元目标 教学目标1.认识无理数、平方根、立方根、估算、用计算器计算、实数、二次根式概念。会求一个数的算术平方根、平方根、立方根。2.掌握实数的简单混合运算，让学生体会类比的思想。3.通过本章学习提高学生归纳推理能力，教学重点、难点1.无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式概念。2..算术平方根的双重非负性。3.实数的混合运算。4.数型结合解决与勾股定理综合运用的能力培养
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识无理数22平方根23立方根14估算15用计算器开方16实数17二次根式38回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识无理数1.探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。2．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力1.小组共同合作，动手操作，通过剪、拼的过程，共同合作寻找更多拼法。尝试找更多的拼法。2.学生总结、相互补充，学会进行概括总结。一、新课引入。二、探索无理数。三、数的分类、四、课堂练方根1.掌握平方根的概念，2能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系。3.了解平方根和算术平方根的区别和联系。1.学生自己独立完成求平方根。2.观察、思考、概括、总结、练习巩固.3.通过感受平方与开平方的互逆过程，自己得出平方根的概念一、预习二、初步探究算术平方根。三、继续探究平方根四、探究平方与开方的互逆关系。五、课堂练习立方根1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求某些数的立方根．2.学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值．1.学生练习；思考怎样求立方体的棱长。2.自主学习和小组讨论得出立方根的性质。3.利用类比的方法小组讨论得出平方根和立方根的相同点和不同点一、知识回顾。情境导入。三、探究立方根的意义四、探究立方根的性质五、讨论立方根与平方根的相同点与不同点。六、巩固练习。估算1、会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题。2、经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感。3、体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情。1.给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少。2.思考；半径怎样表示？3.同学交流完成例题1。4.学习“夹逼法”估算一个无理数的大致范围。5.学生总结夹逼法的方法。6.完成例题1及问题导学的正确估算。7.思考例题2的解题思路。8.学生独立思考、小组合作完成例题情境引入。二、活动探究三、深入探究比较无理数的大小。四、巩固练习。用计算器开方1、会用计算器求平方根和立方根。2、鼓励学生自己探索计算器的用法，经历运用计算器探求数学规律的活动，发展学生的探究能力和合情推理的能力。3、在用计算器探索有关规律的过程中，体验数学的规律性，体验数学活动的创造性和趣味性，激发学习兴趣。1.学生回答（1、（2）问题，有问题（3）导入新课。2、利用计算器开方环节，学生在小组内自我纠错,自我更正,教师需要在教室里巡视关注学生学习活动的开展情况,提供相应的帮助。3、利用计算器比较数的大小环节，学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流。新课导入。二、利用计算器开方三、利用计算器比较数的大小四、课堂练习。实数1. 了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；2. 了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样；3．明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。1.学生分组合作，并引导学生如何分类；2.学生小组合作交流，并分小组回答问题，最后总结。3.教师先引导学生复习以前所学有理数相关知识点,后引出有关实数的相关问题。4.教师提出问题并引导学生如何解决本题的思路.学生小组合作交流，并回答问题，老师适当的引导并最后总结.5.学生在数轴上画-所表示的点。6.学生类比有理数中相关运算，体会到了实数范围内的运算及运算律。有理数分类。二、实数的倒数、相反数、绝对值三、实数运算。二次根式1.认识二次根式和最简二次根式的概念.2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．1.理解二次根式的意义；判断那些是二次根式；理解二次根式的被开方数为非负数及分数中分母不能为零。2、学生根据二次根式的性质进行化简，然后得出什么是二次根式。3、根据二次根式具备的三个条件作出判断那些是二次根式。（重点指导分母有理化的方法）一、导入新课二、二次根式的概念三、二次根式的性质四、最简二次根式五、课堂练习回顾与反思1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念。2.熟练掌握无理数的概念，会对一个无理数进行估算。3.掌握实数的定义，能熟练地进行实数的化简和计算。1.通过学生畅所欲言，对本章知识进行归纳，从而体会类比思想，和学会互相交流。2、进一步理解平方根、算术平方根、立方根的概念和性质。为后续练习做好铺垫。3、进一步理解有理数、无理数的概念，并正确作出判断。4、进一步理解和掌握无理数的估算和有理数的大小比较。5、进一步理解二次根式、二次最简根式及根式的性质。6、掌握二次根式的运算，特别是分母有理化。 7、理解和掌握无理数在数轴上怎样表示。知识再现。知识点1： 算术平方根、平方根和立方根。知识点2 实数的概念、分类及性质。知识点3 无理数的估算及实数的大小比较。知识点4 二次根式的相关概念及性质。知识点5 二次根式的运算。知识点6 用数轴上的点表示无理数。二、随堂练习。
《实数》单元教学设计
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分课时教学设计
第一课时《认识无理数 》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 认识无理数是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第二章《实数》的第一节。本节内容安排了2个课时完成，第1课时让学生感受无理数的存在，初步建立无理数的印象，结合勾股定理知识，会根据要求画线段；第2课时借助计算器感受无理数是无限不循环小数，会判断一个数是无理数。本课是第1课时，学生将在具体的实例中，通过操作、估算、分析等活动，感受无理数的客观存在性和引入的必要性，并能判断一个数是不是有理数。
学习者分析 八年级学生已经积累了一定的数学活动经验，也经历了一次数系的扩充，但无理数不像有理数那样直观易懂，总有一些虚幻的感觉，学起来比较困难，因此在教学活动中通过丰富多彩的背景资料逐步渗透加强。
教学目标 1、探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。 2．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力。
教学重点 无理数概念的建立过程；了解无理数与有理数的区别，并能正确判断。
教学难点 无理数概念的建立及估算；会判断一个数是无理数还是有理数，有理数与无理数的区别。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新课引入教师活动1： 内容：想一想： 有理数是如何分类的？ 整数（如，0，2，3，…） 有理数 分数（如，，，0.5，… ） 2． 除上面的数以外，我们还学习过哪些不同的数？ 如圆周率，0.020020002…上节课又了解到一些数，如，中的a，b不是整数，能不能转化成分数呢？那么它们究竟是什么数呢？本节课我们就来揭示它们的真面目。学生活动1： 学生带着问题思考：如圆周率，0.02；，中的a，b到底是什么数？活动意图说明： 通过这些问题让学生发现有理数不够用了，存在既不是整数，也不是分数的数，激发学生的求知欲，去揭示它的真面目。环节二：探索无理数。教师活动2： 活动与探究(一） 请同学们四个人为一组,拿出自己准备好的两个边长为1的正方形和剪刀,认真讨论之后,动手剪一剪,拼一拼,设法得到一个大的正方形, 作品展示： 问题思考：大正方形的面积是2，那么边长是多少？ 是整数吗？是分数吗？ 得出结论：存在既不是整数，也不是分数的数！ 活动与探究(二） 在下图中,以直角三角形的斜边为边的正方形的面积是多少 (2)设该正方形的边长为b,那么b应满足什么条件呢 (3)b是整数吗？b是分数吗？ 活动探究（三）有理数的小数表示. (1)利用计算器活动一和活动二正方形的边长 a= 1．41421356… b= 2.236067… 明确无理数的概念. （2）我们把无限不循环小数叫做无理数。（如1．41421356…，2.236067…）强调圆周率=3．14159265…也是一个无限不循环小数，故是无理数）。学生活动2： 小组共同合作，动手操作，通过剪、拼的过程，共同合作寻找更多拼法。尝试找更多的拼法。 思考边长可能的取值。 活动意图说明： 1）从“数”和“形”的角度一起探究a既不是整数也不是分数，从而体会非有理数的理性存在。通过计算导出无理数的概念。---无限不循环小数。 （2）培养学生归纳概括能力。环节三：数的分类教师活动3： 1、讨论：（1）整数的分类。 （2）分数的分类。 （3）分数化小数结果可能出现的情况。 2、 任何一个有理数都可以化成分数形式（q ≠0， p，q 为整数且互质），而无理数则不能学生活动3： 学生总结、相互补充，学会进行概括总结。 参与讨论问题（1）、（2）、（3）。 活动意图说明： 把新学知识纳入已有的知识体系，进一步发展学生的思维判断能力，加强学生对分类思想的理解。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1、在0.351，，， 3．14159， 6， －5．2323332…，，1234567891011…（由相继的正整数组成）。 有理数集合 无理数集合 2、判断下列说法是否正确。 （1）有限小数是有理数； （ 对 ） （2）无限小数都是无理数； （ 错 ） （3）无理数都是无限小数； （ 对 ） （4）有理数是有限小数。 （ 错 选做题： 3.在下列正方形网格中，先找出长度为有理数的线段，再找出长度不是有理数的线段。 有理数：AB,EF 无理数：CD,GH,MN 4.在下面在正方形网格中画出四个三角形。（习题2.1第2题） （1）三边长都是有理数 （2）只有两边长是有理数 （3）只有一边长是有理数 （4）三边长都不是有理数 【综合拓展类作业】 5.下图是由五个单位正方形组成的纸片，请你把它剪成三块，然后拼成一个正方形，你会吗？试试看！ 答案
课堂小结 本节课你有哪些收获？ 1．无理数的定义。 2．如何判断一个数是无理数还是有理数的？ 3．请把已学过的数分类？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 课本第21页随堂练习 答案，根据勾股定理计算可知h不是整数，也不是分数。 2.课本第22页习题2.1第1题 答案：如图，a和b是有理数，c和d是无理数。 3自学课本第23页例题1，完成第24页随堂练习。 选做题： 4.课本第25页习题2.2第1、2、3题 答案:1、有理数：第（1、（2）、（3）；无理数（4）。 （1）面积为10的正方形边长x不是有理数，理由它既不是分数、也不是整数。 （2）估计X的值（精确到0.1））在3.1与3.2之间 （3）如果精确到百分位是3.16. 3、×、√、×、×。 【综合拓展类作业】 5.课本第25页第4题 答案：无理数的实例：1、面积是2的正方形边长。2、圆周率。3、3.121231234…。
教学反思
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