中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 上册、第二章
课标要求 了解平方根的含义，会用根号表示算术平方根，并了解算术平方根的双重非负性。会用“夹逼法”求一个算术平方根的近似数。正确理解平方根的性质。了解立方根的含义，会用根号表示一个数的立方根。明确平方根和立方根之间的区别和联系。渗透特殊---一般--特殊的数学思想。理解有理数和实数的概念，并能够对实数进行分类。能够进行实数范围内简单的混合运算。通过解决生活中的实际问题体会数学与现实生活的紧密联系，在学习过程中体验学习的乐趣。8培养学生的探究能力和归纳问题的能力，发展学生素养。
内容分析 1.教材整体编排思路：无理数的引入---无理数的表示--实数及相关概念，实数运用贯穿整章始终。2.本章学习内容：认识无理数、平方根、立方根、估算、用计算器计算、实数、二次根式。3.学习方法--通过拼图引入无理数，通过具体问题的解决说明如何表示无理数，进而建立实数的概念和实数的简单混合运算。
学情分析 八年级学生已经积累了一定的数学活动经验，也经历一些数的扩展。但无理数不像有理数直观易懂，总有一种虚幻的感觉。学起来比较困难。所以，在教学中尽量利用具体情境，通过操作、猜想、抽象、验证、类比、推理等学习方法促进学生对本章知识的理解和掌握。
单元目标 教学目标1.认识无理数、平方根、立方根、估算、用计算器计算、实数、二次根式概念。会求一个数的算术平方根、平方根、立方根。2.掌握实数的简单混合运算，让学生体会类比的思想。3.通过本章学习提高学生归纳推理能力，教学重点、难点1.无理数、算术平方根、平方根、立方根、实数、二次根式概念。2..算术平方根的双重非负性。3.实数的混合运算。4.数型结合解决与勾股定理综合运用的能力培养
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识无理数22平方根23立方根14估算15用计算器开方16实数17二次根式38回顾与反思1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识无理数1.探索无理数的定义，比较无理数与有理数的区别，并能辨别出一个数是无理数还是有理数，训练学生的思维判断能力。2．能够准确地将目前所学习的数按不同角度进行分类，并说明理由，进一步体会分类思想，培养学生解决问题的能力1.小组共同合作，动手操作，通过剪、拼的过程，共同合作寻找更多拼法。尝试找更多的拼法。2.学生总结、相互补充，学会进行概括总结。一、新课引入。二、探索无理数。三、数的分类、四、课堂练方根1.掌握平方根的概念，2能用符号正确地表示一个数的平方根，理解开方运算和乘方运算的互逆关系。3.了解平方根和算术平方根的区别和联系。1.学生自己独立完成求平方根。2.观察、思考、概括、总结、练习巩固.3.通过感受平方与开平方的互逆过程，自己得出平方根的概念一、预习二、初步探究算术平方根。三、继续探究平方根四、探究平方与开方的互逆关系。五、课堂练习立方根1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根；会用立方运算求一个数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算，能用立方运算求某些数的立方根．2.学生通过对实际问题的解决，体会数学的实用价值．1.学生练习；思考怎样求立方体的棱长。2.自主学习和小组讨论得出立方根的性质。3.利用类比的方法小组讨论得出平方根和立方根的相同点和不同点一、知识回顾。情境导入。三、探究立方根的意义四、探究立方根的性质五、讨论立方根与平方根的相同点与不同点。六、巩固练习。估算1、会估算一个无理数的大致范围，比较两个无理数的大小，会利用估算解决一些简单的实际问题。2、经历实际问题的解决过程和平方根、立方根的估算过程，发展估算意识和数感。3、体会数学知识的实用价值，激发学生的学习热情。1.给出这个问题情境，先让学生凭感觉说出公园的长和宽分别是多少。2.思考；半径怎样表示？3.同学交流完成例题1。4.学习“夹逼法”估算一个无理数的大致范围。5.学生总结夹逼法的方法。6.完成例题1及问题导学的正确估算。7.思考例题2的解题思路。8.学生独立思考、小组合作完成例题情境引入。二、活动探究三、深入探究比较无理数的大小。四、巩固练习。用计算器开方1、会用计算器求平方根和立方根。2、鼓励学生自己探索计算器的用法，经历运用计算器探求数学规律的活动，发展学生的探究能力和合情推理的能力。3、在用计算器探索有关规律的过程中，体验数学的规律性，体验数学活动的创造性和趣味性，激发学习兴趣。1.学生回答（1、（2）问题，有问题（3）导入新课。2、利用计算器开方环节，学生在小组内自我纠错,自我更正,教师需要在教室里巡视关注学生学习活动的开展情况,提供相应的帮助。3、利用计算器比较数的大小环节，学生操作后，在小组内讨论形成结果，再进行全班交流。新课导入。二、利用计算器开方三、利用计算器比较数的大小四、课堂练习。实数1. 了解实数的意义，能对实数按要求进行分类；2. 了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样；3．明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。1.学生分组合作，并引导学生如何分类；2.学生小组合作交流，并分小组回答问题，最后总结。3.教师先引导学生复习以前所学有理数相关知识点,后引出有关实数的相关问题。4.教师提出问题并引导学生如何解决本题的思路.学生小组合作交流，并回答问题，老师适当的引导并最后总结.5.学生在数轴上画-所表示的点。6.学生类比有理数中相关运算，体会到了实数范围内的运算及运算律。有理数分类。二、实数的倒数、相反数、绝对值三、实数运算。二次根式1.认识二次根式和最简二次根式的概念.2.探索二次根式的性质． 3.利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式．1.理解二次根式的意义；判断那些是二次根式；理解二次根式的被开方数为非负数及分数中分母不能为零。2、学生根据二次根式的性质进行化简，然后得出什么是二次根式。3、根据二次根式具备的三个条件作出判断那些是二次根式。（重点指导分母有理化的方法）一、导入新课二、二次根式的概念三、二次根式的性质四、最简二次根式五、课堂练习回顾与反思1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念。2.熟练掌握无理数的概念，会对一个无理数进行估算。3.掌握实数的定义，能熟练地进行实数的化简和计算。1.通过学生畅所欲言，对本章知识进行归纳，从而体会类比思想，和学会互相交流。2、进一步理解平方根、算术平方根、立方根的概念和性质。为后续练习做好铺垫。3、进一步理解有理数、无理数的概念，并正确作出判断。4、进一步理解和掌握无理数的估算和有理数的大小比较。5、进一步理解二次根式、二次最简根式及根式的性质。6、掌握二次根式的运算，特别是分母有理化。 7、理解和掌握无理数在数轴上怎样表示。知识再现。知识点1： 算术平方根、平方根和立方根。知识点2 实数的概念、分类及性质。知识点3 无理数的估算及实数的大小比较。知识点4 二次根式的相关概念及性质。知识点5 二次根式的运算。知识点6 用数轴上的点表示无理数。二、随堂练习。
《实数》单元教学设计
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
第二章 实数
回顾与反思
北师大版八年级数学上册
教材分析
本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法。
教学目标
1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念。
2.熟练掌握无理数的概念，会对一个无理数进行估算。
3.掌握实数的定义，能熟练地进行实数的化简和计算。
4.学生体会类比的思想，提高学生归纳整理的能力，让学生学会倾听学会交流。
知识再现
1、无理数的定义：
无限不循环小数叫做无理数。
2、有理数的定义：
有限和无限循环小数叫做有理数。
或整数与分数统称为有理数。
知识再现
3、实数的定义：
有理数和无理数统称为实数。
即：实数
有理数
无理数
或：实数
正实数
负实数
零
知识再现
4、实数的分类。
实数
数
数
整数
分数
正整数
负整数
负分数
正分数
正无理数
负无理数
有限小数或循环小数
无限不循环小数
有理
无理
知识再现
5、用计算器计算、估算。
6、二次根式 最简二次根式
根式的性质
知识点1： 算术平方根、平方根和立方根。
1. 的平方根是____，算术平方根是____，立方根是____.
3. 求满足下列各式的未知数x
(1)x2-49=0； (2)3(x＋1)2－108＝0； (3)(x＋1)3=27.
±2
2
2.π的整数部分为3，则它的小数部分是
π-3
x=±7
x=5、-7
x=2
真题再现
4、（3.14-π）2 的算术平方根是 。
5.下列说法正确的是（ ）
A.任意数的算术平方根都是非负数；
B.0.01是0.1的算术平方根；
C.如果 =4，则x=4；
D.式子 无论x取任何数都有意义；
6.若一个数的平方根分别是2m－4和3m－1，
则m的值为______，这个数是_______。
D
1
4
π-3.14
真题再现
真题再现
知识点2 实数的概念、分类及性质。
1. 的相反数是_____，绝对值是_____，倒数是_____.
解：（1)原式=
（2）原式=
真题再现
真题再现
真题再现
知识点3 无理数的估算及实数的大小比较。
1.若规定误差小于1, 那么 的估算值为( )
A. 3 B. 7
C. 8 D. 7或8
D
2.满足 的整数是（
-1、0、1）
真题再现
3.比较大小： 与
解：∵(-2+ )-(-2+ )=-2+ +2- = - ＞0
∴-2+ ＞-2+
另解：直接由正负决定-2+ ＞-2+
真题再现
知识点4 二次根式的相关概念及性质。
1.填一填
真题再现
3.已知a、b满足 ，
求 的值。
解：
又
真题再现
知识点5 二次根式的运算。
1、计算：
（1） （2）
解：（1）原式 （2） 原式
真题再现
2.实数 a ，b 在数轴上的位置如图所示，化简： 。
真题再现
知识点6 用数轴上的点表示无理数。
1.在数轴上作出 的对应点。
0
1
2
3
-1
1
2
真题再现
2、在数轴上作出表示下列各数的点： 、
如图OB=2，AB=1，OA=
如图 OB=-
课堂练习
算术平方根 平方根 立方根
表示方法
的取值
性
质
≥
开
方
≥
正数
0
负数
正数（一个）
0
没有
互为相反数（两个）
0
没有
正数（一个）
0
负数（一个）
求一个数的平方根
的运算叫开平方
求一个数的立方根
的运算叫开立方
是本身
0,1
0
0,1,-1
【知识技能类作业】必做题
课堂练习
4.在△ABC中，a,b,c是它的三边，则化简：
2
=2c-2b-2a
课堂练习
5.当 时，求代数式
的值。
6．若 有意义，求 的取值范围。
解析： 16-16x+4x =(4-2x) ; 4-2x<0, 2x-6<0
∴原式=2x-4+6-2x=2
答案：X>2
【知识技能类作业】选做题
课堂练习
7.已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为多少？
分析：（1）当△ABC为锐角三角形时，易求BD=15，DC=6，从而求得BC=15+6=21。
（2）当△ABC为钝角三角形时，易求BD=15，DC=6，从而求得BC=15－6=9。
【综合拓展类作业】
课堂小结
大家谈谈今天的收获，还有什么疑问？
课外作业
【知识技能类作业】必做题
1.课本复习题（7、8）
答案：7（<； <； >）
8（1；5；1；16 ；-55 ； ）
2填空：（1）一个数的平方等于它本身，这个数是（0或1 ）。
（2）平方根等于它本身的数是（0）。
（3）算术平方根等于它本身的数是（0或1）。
（4）立方根等于它本身的数是（0,1或-1）。
（5）大于π的整数有（1,2,3）。
（6）满足-2课外作业
【知识技能类作业】选做题
3.课本第50页第11题
解析：如图，过E作EF⊥AB交AB于F,
∵∠DAE=∠CBE=45°∴三角形ADE、CBE为等腰直角三角形，∴AD=DE=EC=BC=EF=1
AE=BE= ∴△ABE的周长=2+2 ，面积=1.
课外作业
4.课本第51页第17题
解析：由于小正方形的面积为1,5个小正方形拼成大正方形，大正方形面积是5，边长是 ，剪拼如图
课外作业
【综合拓展类作业】
5.在数轴上表示 的点。
如图所示A点为所求
6.课本第52页第26题
解析：横截面构成一个等腰三角形，底边长2.5m,腰2.5m.底边上的高= =2.5 =
板书设计
知识点1： 算术平方根、平方根和立方根。
知识点2 ： 实数的概念、分类及性质。
知识点3 ：无理数的估算及实数的大小比较。
知识点4 ：二次根式的相关概念及性质。
知识点5 ：二次根式的运算。
知识点6 ：用数轴上的点表示无理数。
第二章 实数复习
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第一课时《实数复习》教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
内容分析 本章是在学习了勾股定理及有理数等知识的基础上，进行的数系第二次扩张，使学生对数的认识进一步深入．本课是对整章内容的复习与归纳，作为复习归纳课，学生虽对相关知识基本掌握，但是知识间的联系还不够清楚，对于一些综合性较强的题在方法上还有所欠缺，因此本节的教学中应将整章知识点进行梳理整合，并以典型题作为载体让学生从题中悟知识点，从题中悟数学思想与方法。
学习者分析 从知识储备来看，学生已经平方根、立方根、二次根式的运算，数的认识扩充到无理数。并且会用数轴上的点表示一个无理数。 从能力看，八年级学生的思维从具体的形象思维到逻辑思维的转折，教材内容呈现具体性和形象性，同时具备了适当的概括要求，适应了这一时期的发展要求，又促进了他们的思维向高一级发展。 在学习态度上，由于学生的种种原因，忽视了自身的内在思维能力的成长，独立思考、自主探究、合作交流这一数学学习的基本过程还没有形成常态。
教学目标 1.熟练掌握算术平方根,平方根,立方根的相关概念。 2.熟练掌握无理数的概念，会对一个无理数进行估算。 3.掌握实数的定义，能熟练地进行实数的化简和计算。 4.学生体会类比的思想，提高学生归纳整理的能力，让学生学会倾听学会交流。
教学重点 知识的整理和归纳。
教学难点 运用知识解决实际问题。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识再现； 教师活动1： 1、无理数的定义： 2、有理数的定义； 3、实数的定义： 4、实数的分类； 5、用计算器计算、估算 6、二次根式和最简二次根式； 7、二次根式的性质。学生活动1： 学生畅所欲言， 活动意图说明： 通过学生畅所欲言，对本章知识进行归纳，从而体会类比思想，和学会互相交流。环节二：算术平方根、平方根和立方根。教师活动2： 算术平方根、平方根和立方根。 的平方根是 （±2），算术平方根是 （2)，立方根是()。 π的整数部分是3，小数部分是(π-3)。 3、求满足下列各式的未知数X x-49=0 (2)3(x+1)-108=0 (3）（x+1)=27 答案【x=±7; x=5或7； x=2】 4.（3.14-π）的算术平方根是（π-3.14）。 5.下列说法正确的是（ D ） A 任意数的算术平方根都是非负数， B 0.01是0.1的算术平方根， C 如果=4，则X=4 D 式子无论X取何值都有意义。 6.若一个实数的平方根分别是2m-4和3m-1，则m=( 1 );这个数是（4）。学生活动2： 学生练习、教师巡视，对学困生教师加以指导。活动意图说明： 进一步理解平方根、算术平方根、立方根的概念和性质。为后续练习做好铺垫。环节三： 实数的概念、分类及性质。教师活动3： -的相反数（ ），绝对值（ ），倒数（ - ）。 化简（1）， （2） 解：（1）原式= （2）原式= 下列各数中那些是有理数，那些是无理数。 ，，3.14159265，，-π，，，3.101001000…（相邻两个1之间的0的个数逐次增加） 解：有理数：3.14159265，， 无理数：，，-π，，3.101001000…（相邻两个1之间的0的个数逐次增加）学生活动3： 学生练习、教师巡视，对学困生教师加以指导。活动意图说明： 进一步理解有理数、无理数的概念，并正确作出判断。环节四：无理数的估算及实数的大小比较。教师活动4： 1.若规定误差小于1, 那么 的估算值为(D ) A. 3 B. 7 C. 8 D. 7或8 2.满足的整数是（-1，0,1）） 3.比较大小：-2+与-2+ 解：∵ -2+-（-2+）=->0 ∴-2+>-2+学生活动4： 学生练习、教师巡视，对学困生教师加以指导活动意图说明： 进一步理解和掌握无理数的估算和有理数的大小比较。环节五：二次根式的相关概念及性质。教师活动5 填一填 = （a 0, b 0） = （a 0, b 0） 若y=+,则（）。 已知a、b满足 =0，求。 解：∵ =0，≥0， ≥0 ∴=0, a=2; =0 , b=-3 =(2-3)=(-1)=-1学生活动5： 学生练习、教师巡视，对学困生教师加以指导活动意图说明： 进一步理解二次根式、二次最简根式及根式的性质。环节六：二次根式的运算。教师活动6 计算（1） （2） 解：（1）原式= （2）原式= 2.实数a、b在数轴上的位置如图所示， 化简 + 解：原式=-（a+b）+b-a=-2a学生活动6： 学生练习、教师巡视，对学困生教师加以指导活动意图说明： 掌握二次根式的运算，特别是分母有理化。环节七：用数轴上的点表示无理数。教师活动7 在数轴上作出、、-的对应点 OA=OB= OA=2 ,AB=1,OB= OA=,OB=-学生活动7： 学生练习、教师巡视，对学困生教师加以指导活动意图说明： 理解和掌握无理数在数轴上怎样表示。
板书设计 实数复习 知识点一：算术平方根、平方根、立方根 知识点二;实数的概念、分类及性质 知识点三；无理数的估算及实数的大小比较 知识点四：二次根式的概念及性质 知识点五：二次根式的运算 知识点六：用数轴的点表示无理数
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 填表 2.若x、y 都是实数，且，则xy=( 2 ). 已知a < b,化简二次根式的结果是（-a ）. 在△ABC中，a、b、c是它的三边，化简-3 解：根据三角形两边之和大于第三边，所以 原式=-（c-b-a)-3（a+b-c） =2c-2b+2a 选做题： 5.当20;x>2 ∴x>2 【综合拓展类作业】 已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，则边BC的长为多少？ 解： （1）当△ABC为锐角三角形时，易求BD=15，DC=6，从而求得BC=15+6=21。 （2）当△ABC为钝角三角形时，易求BD=15，DC=6，从而求得BC=15－6=9。
课堂小结 大家谈谈今天的收获，还有什么疑问？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.课本复习题（7、8） 答案：7（<； <； >） 8（1；5；1；16；-55；） 2填空：（1）一个数的平方等于它本身，这个数是（0或1 ）。 平方根等于它本身的数是（0）。 算术平方根等于它本身的数是（0或1）。 立方根等于它本身的数是（0,1或-1）。 大于π的整数有（1,2,3）。 满足-2教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
