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专题11.2 与三角形有关的角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是的外角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得，∠ADE，∠DEC是△BDE的外角．
故选C．
2．下列图形中，可以求出α度数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A、另一锐角的度数不知道，不能求得α度数的度数，故A不符合题意；
B、已知三角形的两个内角的度数，可求得α度数的度数，故B符合题意；
C、与α不相邻的内角只知道一个的度数，不能求得α度数的度数，故C不符合题意；
D、顶角的度数不知道，无法求得α度数的度数，故D不符合题意；
故选B．
3．一个三角形两个内角的度数分别为50°和20°，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】C
【解析】解：第三个角：180°﹣50°﹣20°＝110°；
这个三角形中，有一个角为钝角，则这个三角形为钝角三角形．
故选C．
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，则∠B＝（ ）
A．48° B．58° C．62° D．68°
【答案】A
【解析】∵∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵∠A=42°，
∴∠B=48°，
故选A．
5．若一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【解析】∵三角形三个内角度数的比为1：3：4，
∴三个内角分别是
∴该三角形是直角三角形．
故选:B．
6．如图，在中，D为线段延长线上一点，，，则的度数为（ ）
A．85° B．45° C．25° D．125°
【答案】C
【解析】∵∠DAC=∠B+∠C，
∴∠C=∠DAC ∠B=60° 35°=25°，
故选C．
7．已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
【答案】D
【解析】，
，
在中，，
，
在中，，
，
故选D．
8．如图，把一副三角板叠放在一起．则∠1的大小为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．125°
【答案】A
【解析】如图
∵图中是一副直角三角板，
∴∠A＝45°，∠E＝30°，
∵
∴
∴
∵
∴．
故选A．
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
【答案】C
【解析】∵AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAE＝30°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝30°﹣20°＝10°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADE＝90°，
∴∠AED＝90°﹣∠EAD＝80°，
∵∠AED＝∠B+∠BAE，
∴∠B＝80°﹣30°＝50°，
故选C．
10．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．140°
【答案】C
【解析】连接AA′．
∵∠B＝60°，∠C＝80°，
∴∠A＝40°
∵∠1＝∠EA′A+∠EAA′，∠2＝∠DA′A+∠DAA′，∠BCA＝∠EA′D，
∴∠1+∠2＝∠EA′A+∠EAA′+∠DA′A+∠DAA′＝∠EAD+∠EA′D＝2∠EAD＝80°，
故选C．
二、填空题
11．如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是 ．
【答案】80°
【解析】∵∠B＝40°，DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B＝40°，
∵∠A＝60°，
∴∠AED＝180°﹣∠A﹣∠ADE＝180﹣60°﹣40°＝80°，
故答案为：80°．
12．△ABC的内角关系如图所示，则∠1＝ ．
【答案】150°
【解析】由题意得：3x+2x+x＝180°，
解得：x＝30°，
∴∠1＝180°﹣∠ACB＝150°．
故答案为：150°．
13．已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝________．
【答案】48°
【解析】∵∠A= 108°，∠B= 2∠C，
∴108°十2∠C +∠C= 180°，
∴∠C=24°，
∴∠B=2∠C=2×24°=48°，
故答案为：48°
14．在△ABC中，∠A=40°，∠B=20°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为________．
【答案】70°或30°
【解析】当∠ADC=90°时，如图所示：
∠BCD=90°-∠B=90°-30°=60°；
当∠ACD=90°时，如图所示：
∵∠ACB=180°-∠A-∠B=100°，
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-90°=10°．
故答案为：60°或10°．
15．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则__________．
【答案】
【解析】∵BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，
∴∠ABP=∠CBP=20°，∠ACP=∠MCP=50°，
∵∠PCM是△BCP的外角，
∴∠P=∠PCM-∠CBP=50°-20°=30°，
故答案为：．
16．如图，△ABC中，∠A＝50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 260° ．
【答案】260°
【解析】∵∠A+∠1+∠2＝∠A+∠3+∠4＝180°，∠A＝50°，
∴∠1+∠2＝∠3+∠4＝130°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4＝260°，
故答案为：260°．
17．钝角三角形的一个锐角α是另一个锐角β的4倍，则β的取值范围是 ．
【答案】0＜β＜18°
【解析】由题意得：α＝4β，
∵此三角形是钝角三角形，
∴0＜β+4β＜90°，解得0＜β＜18°．
故答案为：0＜β＜18°．
18．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ．
【答案】130°
【解析】∵∠ACQ是△ABC的外角，且∠ACQ＝100°，
∴∠BAC+∠ABC＝100°，
∵AD平分∠BAC，BD平分∠ABC，
∴∠1＝∠BAC，∠3＝∠ABC，
∴∠1+∠3＝（∠BAC+∠ABC）＝50°，
∴∠D＝180°﹣（∠1+∠3）＝130°．
故答案为：130°．
19．当三角形中一个内角是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为15°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为____．
【答案】135°
【解析】∵α=15°，
∴β=2α=30°，
∴最大内角的度数=180°-30°-15°=135°．
故答案为：135°．
20．如图，将一张三角形纸片ABC的一角(∠A)折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点的位置，且点与点C在直线AB的异侧，折痕为DE．已知，，若的一边与BC平行，且，则m=______．
【答案】45或30
【解析】分类讨论，①如图，当时，
∵，
∴．
∴由翻折可知，
∴m=45；
②如图，当时，
∵，
∴．
∵，
∴由折叠可知，
∴，
∴，
∴，
∴m=30；
③当时，点与点C在直线AB的同侧，不符合题意．
综上可知m的值为45或30．
故答案为：45或30．
三、解答题
21．求图中x的值．
【解析】45°+x°+(x-7)°=180°
2x°+38°=180°
2x°=142°
x=71．
22．如图，，与交于点O，，，求的度数．
【解析】∵，，
∴，
∵，
∴．
23．如图，中，、是角平分线，它们相交于点O，是高，，求及的度数．
【解析】∵AD 是高，∠C=50°
∴∠ADC= 90°，
∴∠DAC= 90°-50°=40°，
∵∠C= 50°，
∴∠CAB+∠ABC = 130°，
∵AF、BE是角平分线，
∴∠BAO+∠ABO= (∠CAB +∠ABC)= ×（180°-50°）=×130°=65°，
∴∠BOA= 180°- 65° = 115°．
24．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，点D在边BC上，点E在CB的延长线上，连接AD、AE，求证：
（1）；
（2）．
【解析】证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，
∴∠ABC=45°，
（1）∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∴，即．
（2）∵∠ABC是△ABE的一个外角，
∴，即．
25．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝40°，∠C＝70°，
（1）求∠BAD的度数．
（2）过点A作BC边上的高AE，垂足为E，求∠EAD的度数．
【解析】（1）∵∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∵AD是角平分线，
∴∠BAD，
（2）∵∠B＝40°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝180°﹣40°﹣70°＝70°，
∵AE是高，
∴∠BAE＝90°﹣40°＝50°，
∴∠EAD＝∠BAE﹣∠BAD＝50°﹣35°＝15°．
26．如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．
（1）若∠ABC﹣∠A＝20°，∠ACD＝140°，求∠A的度数；
（2）若∠ACD的角平分线与∠ABC的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．求证：∠MCP＝90°﹣∠A．
【解析】（1）∵∠ABC+∠A＝∠ACD＝140°，
又∵∠ABC﹣∠A＝20°，
∴∠A＝60°；
（2）∵∠MCD是△MBC的外角，
∴∠M＝∠MCD﹣∠MBC，
同理可证：∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵MC、MB分别平分∠ACD、∠ABC，
∴，
∴，
又∵CP⊥BM，
∴．
27．如图，将一副三角尺如此放置，，，，点D在边上，不动，将绕点D转动，使线段与相交，线段与相交．
（1）当时，如图1．求的度数；
（2）当与不平行时，如图2，的度数会不会变化？请说明由理．
【解析】（1）∵，
∴，，
∴
（2）绕点D转动过程中，的度数不会变化．理由如下：
∵，，
∴
∴
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专题11.2 与三角形有关的角
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．如图，在中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是的外角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列图形中，可以求出α度数的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一个三角形两个内角的度数分别为50°和20°，则这个三角形一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝42°，则∠B＝（ ）
A．48° B．58° C．62° D．68°
5．若一个三角形的三个内角度数之比为，则这个三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．如图，在中，D为线段延长线上一点，，，则的度数为（ ）
A．85° B．45° C．25° D．125°
7．已知，在中，，点在线段的延长线上，过点作，垂足为，若，则的度数为（ ）
A．76° B．65° C．56° D．54°
8．如图，把一副三角板叠放在一起．则∠1的大小为（ ）
A．105° B．115° C．120° D．125°
9．如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE平分∠BAC，若∠BAE＝30°，∠CAD＝20°，则∠B＝（ ）
A．45° B．60° C．50° D．55°
10．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A’，若∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于（ ）
A．40° B．60° C．80° D．140°
二、填空题
11．如图所示，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°，DE∥BC，则∠AED的度数是 ．
12．△ABC的内角关系如图所示，则∠1＝ ．
13．已知在△ABC中，∠A＝108°，∠B＝2∠C，则∠B＝________．
14．在△ABC中，∠A=40°，∠B=20°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为________．
15．如图，是中的平分线，是的外角的平分线，如果，，则__________．
16．如图，△ABC中，∠A＝50°，点D、E分别在AB、AC上，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 260° ．
17．钝角三角形的一个锐角α是另一个锐角β的4倍，则β的取值范围是 ．
18．三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是 ．
19．当三角形中一个内角是另一个内角的一半时，我们称此三角形为“半角三角形”，其中称为“半角”．如果一个“半角三角形”的“半角”为15°，那么这个“半角三角形”的最大内角的度数为____．
20．如图，将一张三角形纸片ABC的一角(∠A)折叠，使得点A落在四边形BCDE的外部点的位置，且点与点C在直线AB的异侧，折痕为DE．已知，，若的一边与BC平行，且，则m=______．
三、解答题
21．求图中x的值．
22．如图，，与交于点O，，，求的度数．
23．如图，中，、是角平分线，它们相交于点O，是高，，求及的度数．
24．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠C=90°，点D在边BC上，点E在CB的延长线上，连接AD、AE，求证：
（1）；
（2）．
25．如图，在△ABC中，AD是角平分线，∠B＝40°，∠C＝70°，
（1）求∠BAD的度数．
（2）过点A作BC边上的高AE，垂足为E，求∠EAD的度数．
26．如图，点D为△ABC边BC的延长线上一点．
（1）若∠ABC﹣∠A＝20°，∠ACD＝140°，求∠A的度数；
（2）若∠ACD的角平分线与∠ABC的角平分线交于点M，过点C作CP⊥BM于点P．求证：∠MCP＝90°﹣∠A．
27．如图，将一副三角尺如此放置，，，，点D在边上，不动，将绕点D转动，使线段与相交，线段与相交．
（1）当时，如图1．求的度数；
（2）当与不平行时，如图2，的度数会不会变化？请说明由理．
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