沪科版九年级上册数学期中复习培优试卷（含解析）

沪科版九年级上册数学期中复习培优试卷
一、选择题。（每小题只有一个正确答案）
1．下列函数属于二次函数的是（　 　）
A．y=2x﹣1 B．y= C．y=x2+2x﹣3 D．y=
2．抛物线y=（x﹣1）2+2的顶点坐标是（　　）
A．（1，2） B．（1，﹣2） C．（﹣1，2） D．（﹣1，﹣2）
3．设A（﹣2，y1），B（1，y2），C（2，y3）是抛物线y=﹣（x+1）2+3上的三点，则y1，y2，y3的大小关系为（　　）
A．y1＞y2＞y3 B．y1＞y3＞y2 C．y3＞y2＞y1 D．y3＞y1＞y2
4． 将抛物线y=x2-2x+1向下平移2个单位，再向左平移1个单位，所得抛物线的解析式是
A．y=x2-2x-1 B．y=x2+2x-1 C．y=x2-2 D．y=x2+2
5．已知抛物线y=x2﹣x﹣1，与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2016的值为（　　）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2010
6．函数y=ax﹣a与y=（a≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
7．下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则S△BDE与S△CDE的比是（　　）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：25
9．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（　　）
A． B． C． D．12
10．如图是抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象，其顶点坐标为（1，n），且与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间．则下列结论：①a﹣b+c＞0；②3a+b=0；③b2=4a（c﹣n）；④一元二次方程ax2+bx+c=n﹣1有两个不相等的实数根．其中正确结论是（　　）
A．①②③ B．①③④ C．③④⑤ D．②③⑤
二、填空题
11．若线段MN的长为1，P是MN的黄金分割点，则MP的长为__．
12．若4a﹣3b=0，则=__．
13．如果两个相似三角形周长的比是2：3，那么它们的相似比是__．
14．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2 m时，水面宽度为4 m；那么当水位下降1m后，水面的宽度为_________m.
15．若抛物线y＝x2－kx＋k－1的顶点在轴上，则k＝_______．
16．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①； ②点F是GE的中点； ③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是__________．
三、解答题
17．已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A（0，﹣3）、B（3，﹣2）、C（2，﹣4），正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度．
（1）画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
（2）以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标．
18．已知二次函数y=﹣x2+2x+3
(1）在如图所示的坐标系中，画出该函数的图象
（2）根据图象回答，x取何值时，y＞0？
（3）根据图象回答，x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
19．如图所示，一次函数y1=kx+b的图象与反比例函数y2=的图象交于A（﹣2，n），B（1，﹣3）两点．
（1）试确定上述一次函数和反比例函数的表达式；
（2）求△AOB的面积；
20．为了落实国务院的指示精神，地方政府出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农产品，已知这种产品的成本价为每千克20元，市场调查发现，该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)有如下关系：. 设这种产品每天的销售利润为w元.
（1）求w与x之间的函数关系式；
（2）该产品销售价定为每千克多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
21．在等腰△ABC中，AB=AC=10，BC=12，D为底边BC的中点，以D为顶点的角∠PDQ=∠B．
（1）如图1，若射线DQ经过点A，DP交AC边于点E，直接写出与△CDE相似的三角形；
（2）如图2，若射线DQ交AB于点F，DP交AC边于点E，设AF=x，AE为y，试写出y与x的函数关系式；（不要求写出自变量的取值范围）
（3）在（2）的条件下，连接EF，则△DEF与△CDE相似吗？试说明理由．
22．如图，在中，E是DC上一点，连接AE、F为AE上一点，且.
求证：.
23．已知：如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上的一个动点（不与B，C重合），∠ADE＝45°．求证：△ABD∽△DCE．
24．2016年里约奥运会，中国女排的姑娘们在郎平教练指导下，通过刻苦训练，取得了世界冠军，为国争光，如图，已知排球场的长度OD为18米，位于球场中线处球网的高度AB为2.43米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方1.8米的C点向正前方飞出，当排球运行至离点O的水平距离OE为7米时，到达最高点G建立如图所示的平面直角坐标系．
（1）当球上升的最大高度为3.2米时，求排球飞行的高度y（单位：米）与水平距离x（单位：米）的函数关系式．（不要求写自变量x的取值范围）．
（2）在（1）的条件下，对方距球网0.5米的点F处有一队员，他起跳后的最大高度为3.1米，问这次她是否可以拦网成功？请通过计算说明．
（3）若队员发球既要过球网，又不出边界，问排球飞行的最大高度h的取值范围是多少？（排球压线属于没出界）
参考答案
1．C
【解析】
试题解析：A、y=2x-1是一次函数，故A错误；
B、y=+3自变量的次数是-2，故B错误；
C、y=x2+2x-3是二次函数，故C正确；
D、y=是反比例函数，故D错误．
故选C．
2．A
【解析】试题分析：根据抛物线的顶点式解析式写出顶点坐标即可．
解：y=（x﹣1）2+2的顶点坐标为（1，2）．
故选A．
考点：二次函数的性质．
3．A
【解析】试题解析：∵函数的解析式是y=-（x+1）2+3，
∴对称轴是x=-1，
∴点A关于对称轴的点A′是（0，y1），
那么点A′、B、C都在对称轴的右边，而对称轴右边y随x的增大而减小，
于是y1＞y2＞y3．
故选A．
4．C
【分析】
抛物线y=x2-2x+1化为顶点坐标式再按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可．
【详解】
解：根据题意y=x2-2x+1=（x-1）2向下平移2个单位，再向左平移1个单位，得y=（x-1+1）2-2，y=x2-2．
故选：C．
【点睛】
此题不仅考查了对平移的理解，同时考查了学生将一般式转化顶点式的能力．
5．C
【解析】
试题解析：∵抛物线y=x2-x-1与x轴的一个交点为（m，0），
∴m2-m-1=0，
∴m2-m+2016=m2-m-1+2017=2017．
故选C．
6．D
【解析】试题解析：A、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y=ax-a图象经过第一、三、四象限，所以A选项错误；
B、从反比例函数图象得a＞0，则对应的一次函数y=ax-a图象经过第一、三、四象限，所以B选项错误；
C、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y=ax-a图象经过第一、二、四象限，所以C选项错误；
D、从反比例函数图象得a＜0，则对应的一次函数y=ax-a图象经过第一、二、四象限，所以D选项正确．
故选D．
7．B
【详解】
根据勾股定理，AB==2，
BC==，
AC==，
所以△ABC的三边之比为：2：=1：2：，
A、三角形的三边分别为2，=，=3，三边之比为2：：3=：：3，故本选项错误；
B、三角形的三边分别为2，4，=2，三边之比为2：4：2=1：2：，故本选项正确；
C、三角形的三边分别为2，3，=，三边之比为2：3：，故本选项错误；
D、三角形的三边分别为=，=，4，三边之比为：：4，故本选项错误．
故选B．
8．B
【详解】
∵DE∥AC，
∴△DOE∽△COA，又S△DOE：S△COA=1：25，
∴，
∵DE∥AC，
∴，
∴，
∴S△BDE与S△CDE的比是1：4，
故选B．
9．C
【解析】
试题分析：所给的三角形面积等于长方形面积减去三个直角三角形的面积，然后即可求出B的横纵坐标的积即是反比例函数的比例系数．
解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD=3AD，
∴D（，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴=k，∴E（a，），
∵S△ODE=S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE=ab﹣﹣﹣ （b﹣）=9，
∴k=，
故选C．
考点：反比例函数系数k的几何意义．
10．B
【解析】试题解析：∵抛物线与x轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间．
∴当x=-1时，y＞0，
即a-b+c＞0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1，即b=-2a，
∴3a+b=3a-2a=a，所以②错误；
∵抛物线的顶点坐标为（1，n），
∴=n，
∴b2=4ac-4an=4a（c-n），所以③正确；
∵抛物线与直线y=n有一个公共点，
∴抛物线与直线y=n-1有2个公共点，
∴一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．
故选B．
11．或．
【解析】
试题解析：当MP＞NP时，MP=，
当MP＜NP时，MP=1-=．
考点：黄金分割．
12．
【解析】
试题解析：∵4a-3b=0，
∴4a=3b，
∴.
13．2：3
【详解】
试题解析：∵两个相似三角形周长的比是2：3，
∴两个相似三角形相似比是2：3
14．2
【详解】
试题解析：如图，建立平面直角坐标系，
设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a=﹣0.5，所以抛物线解析式为，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：
当y=﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出：，解得：x=，所以水面宽度增加到米，故答案为米．
15．k=2
【解析】
试题分析：顶点在x轴上，则说明图象与x轴只有一个交点，即－4(k－1)=0，解得：k=2.
考点：二次函数的顶点.
16．①③
【分析】
先证明△AFG∽△CFB，再根据相似三角形的性质进行判断．
【详解】
∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴，
∵BA=BC，
∴，故①正确；
∵∠ABC=90°，BG⊥CD
∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，
∴∠DBE=∠BCD，
∵AB=CB，点D是AB的中点，
∴BD=AB=CB，
∵tan∠BCD==，
∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，
∵，
∴FG=FB，故②错误；
∵△AFG∽△CFB，
∴AF：CF=AG：BC=1：2，
∴AF=AC，
∵AC=AB，
∴AF=AB，故③正确；
∵BD=AB，AF=AC，
∴S△ABC=6S△BDF，故④错误．
故答案为①③．
考点：1.相似三角形的判定与性质；2. 勾股定理；3. 等腰直角三角形.
17．（1）作图见解析；（2）作图见解析；A2坐标（﹣2，﹣2）．
【解析】
试题分析(1)直接利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案;
(2)利用位似图形的性质得出对应点的位置进而得出.
试题解析:⑴如图所示: △A1B1C1,即为所求；⑵如图所示△A2B2C2，即为所求；A2坐标(－2，－2)
18．（1）图象见解析；（2）-1＜x＜3；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．当x＞1时，y随x的增大而减小．
【解析】
试题分析：（1）列表，描点，连线，画出抛物线；
（2）（3）根据图象回答问题即可．
试题解析：（1）列表：
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
描点、连线可得如图所示抛物线．
（2）当-1＜x＜3时，y＞0；
（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．当x＞1时，y随x的增大而减小．
19．（1）反比例函数的表达式为．一次函数的表达式为y=﹣x﹣1．（2）．
【解析】
试题分析：（1）首先把A的坐标代入反比例函数关系式中可以求出m，再把B（1，n）代入反比例函数关系式中可以求出n的值，然后利用待定系数法就可以求出一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积不能直接求出，要求出一次函数与x轴的交点坐标，然后利用面积的割补法球它的面积．S△AOB=S△AOC+S△BOC．
解：（1）∵点A（﹣2，1）在反比例函数的图象上，
∴m=（﹣2）×1=﹣2．
∴反比例函数的表达式为．
∵点B（1，n）也在反比例函数的图象上，
∴n=﹣2，即B（1，﹣2）．
把点A（﹣2，1），点B（1，﹣2）代入一次函数y=kx+b中，
得解得．
∴一次函数的表达式为y=﹣x﹣1．
（2）∵在y=﹣x﹣1中，当y=0时，得x=﹣1．
∴直线y=﹣x﹣1与x轴的交点为C（﹣1，0）．
∵线段OC将△AOB分成△AOC和△BOC，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=×1×1+×1×2=+1=．
考点：一次函数综合题；反比例函数综合题．
20．（1）；（2）该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
【解析】
试题分析：（1）根据销售额=销售量×销售价单x，列出函数关系式；（2）用配方法将（2）的函数关系式变形，利用二次函数的性质求最大值.
试题解析：（1）由题意得：，
∴w与x的函数关系式为：.
（2），
∵﹣2＜0，∴当x=30时，w有最大值．w最大值为200.
答：该产品销售价定为每千克30元时，每天销售利润最大，最大销售利润200元.
考点：1.二次函数的应用；2.由实际问题列函数关系式；3.二次函数的最值.
21．（1）（1）与△CDE相似的三角形为△ABD，△ACD，△ADE；理由见解析；（2）y=；（3）△DEF与△CDE相似．理由见解析.
【解析】
试题分析：1）由等腰三角形的性质得出∠B=∠C，∠ADB=∠ADC=90°，因此△ABD∽△ACD，证出∠PDQ=∠C，由∠DAE=∠CAD，得出△ADE∽△ACD；在证出△CDE∽△CAD，即可得出结果；
（2）证出△BDF∽△CDE，得出对应边成比例，即可得出y与x的函数关系式；
（3）由（2）可知：△BDF∽△CDE，得出证出，由∠EDF=∠C，即可得出△DEF∽△CED．
试题分析：（1）与△CDE相似的三角形为△ABD，△ACD，△ADE；理由如下：
∵AB=AC，D为底边BC的中点，
∴∠B=∠C，AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴△ABD∽△ACD，
∵∠PDQ=∠B，
∴∠PDQ=∠C，
又∵∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD；
∵∠CDE+∠PDQ=90°，
∴∠C+∠PDQ=90°，
∴∠CED=90°=∠ADC，
又∵∠C=∠C，
∴△CDE∽△CAD，
∴△△ABD∽△ACD∽△ADE∽△CDE；
（2）∵∠FDC=∠B+∠BDF，
∠FDC=∠FDE+∠EDC，
∴∠EDC=∠BDF，
∴△BDF∽△CDE，
∴，
∵D为BC的中点，
∴BD=CD=6，
∴
∴y=；
（3）△DEF与△CDE相似．理由如下：如图所示：
由（2）可知：△BDF∽△CDE，
则，
∵BD=CD，
∴，
又∵∠EDF=∠C，
∴△DEF∽△CED．
22．证明见解析.
【分析】
本题要证明，根据题目给定的条件中没有给定与边对应成比例有关的信息，只有与角有关的条件，故在方法选择上确定利用定理“两角对应相等，两三角形相似”，通过证明，即可完成．
【详解】
证明∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，，，
∴
∵，且，
∴.
∵，
∴，
∴.
【点睛】
本题考查的是相似三角形的判定，关键是根据题意利用“两角对应相等，两三角形相似”的方法来证明两三角形相似．
23．见解析
【分析】
已知等腰直角三角形的两底角相等：∠B＝∠C＝45°，所以欲证明△ABD∽△DCE，只需推知∠1＝∠3，由“两角法”证得结论．
【详解】
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠2+∠ADE+∠3＝180°，∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝180°﹣∠ADE＝135°，
∴∠1＝∠3，
∴△ABD∽△DCE．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了等腰直角三角形的判定与性质．
24．（1）(1) （2）不能拦网成功；（3）h＞
【解析】
试题分析：（1）根据题意得抛物线的顶点为（5，3），∴可以设抛物线的解析式为 ，把C（0，2）代入即可. （2）∵OD=15，∴OA=7.5, ∵对方距球网0.5米的点F，∴OF=8,把x＝8代入解析式求出y的值，和2.7比较即可. （3）根据题意可以把解析式设为y＝(x－5)2＋h，把C（0，2）代入得
a(－5)2＋h＝2，，要求过网，所以当 时， ，要求不出界，所以当时， ，解不等式即可求出h的取值范围.
试题解析：
(1)
(2) 当x＝8时，
不能拦网成功
(3) 设y＝(x－5)2＋h
将C(0，2)代入y＝(x－5)2＋h中，得
a(－5)2＋h＝2，
∴
由 解得h＞
点睛：本题的难点是第3问，要把过网并且不出界的要求转化为数学问题，本题有未知数h，过网满足当，y值大于网高，不出界的转化较难，当时，，说明球不出界.
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