沪科版九年级上册数学期中复习培优试卷附答案（含解析）

沪科版九年级上册数学期中复习培优试卷
一、选择题。（每小题只有一个正确答案）
1．下列函数中是二次函数的是　　
A． B． C． D．
2．已知2x＝3y，则下列比例式成立的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=30m，EC =15m，CD =30m，则河的宽度AB长为（　 　）
A．90m B．60m C．45m D．30m
4．若将抛物线y=5x2先向右平移2个单位，再向上平移1个单位，得到的新抛物线的表达式为（　　）
A．y=5（x﹣2）2+1 B．y=5（x+2）2+1 C．y=5（x﹣2）2﹣1 D．y=5（x+2）2﹣1
5．根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是
x 3.23 3.24 3.25 3.26
ax2+bx+c ﹣0.06 ﹣0.02 0.03 0.09
A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24 C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.26
6．若点在反比例函数的图象上，则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0．8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1．2m，又测得地面的影长为2．6m，请你帮她算一下，树高是（ ）
A．3．25m B．4．25m C．4．45m D．4．75m
9．如图，△ABC的三个顶点分别为A(1，2)、B(4，2)、C(4，4)．若反比例函数y＝在第一象限内的图象与△ABC有交点，则k的取值范围是(　　)
A．1≤k≤4 B．2≤k≤8 C．2≤k≤16 D．8≤k≤16
10．定义：若点P（a，b）在函数y =的图象上，将以a为二次项系数，b为一次项系数构造的二次函数y = ax2+bx称为函数y =的一个“派生函数”．例如：点（2，）在函数y =的图象上，则函数y =称为函数y =的一个“派生函数”．现给出以下两个命题：
（1）存在函数y =的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧
（2）函数y =的所有“派生函数”的图象都经过同一点，下列判断正确的是（　　）
A．命题（1）与命题（2）都是真命题
B．命题（1）与命题（2）都是假命题
C．命题（1）是真命题，命题（2）是假命题
D．命题（1）是假命题，命题（2）是真命题
二、填空题
11．若，，则 = __________．
12．如图，直线y=－2x+2与x轴、y轴分别相交于A、B两点，四边形ABCD是正方形，曲线在第一象限经过点D，则k=_______．
13．如图是二次函数 y=ax +bx+c 图像的一部分，图像过点A(－3，0)，对称轴为直线 x=－1，给出以下五个结论:
①abc<0;　②b -4ac>0;　③4b+c<0;
④若B(，y1)，C(y2)，y1，y2为函数图像上的两点， 则y1>y2;
⑤当-3≤x≤1时，y≥0;
其中正确的结论是(填写代表正确结论的序号)_____
14．如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4,∠OCD=90°，∠AOB=60°，若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是______．
15．如图，在△ABC中，M、N分别是AB、AC上的点，MN∥BC，若S△MBC：S△CMN＝3：1，则S△AMN：S△ABC＝_____．
三、解答题
16．已知抛物线的顶点坐标是（3，-1），与y轴的交点是（0，-4），求这个二次函数的解析式．
17．已知：如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于D，过B作BE∥CD交AC的延长线于点E．
(1)求证：BC = CE；
(2)求证：
18．如图，点C、D在线段AB上，△PCD是等边三角形，若∠APB=120°，求证：△ACP∽△PDB．
19．已知一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝－的图象交于A，B两点，且点A的横坐标和点B的纵坐标都是－2，求：
（1）一次函数的解析式；
（2）△AOB的面积；
（3）直接写出一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围．
20．某花圃销售一批名贵花卉，平均每天可售出20盆，每盆盈利40元，为了增加盈利并减少库存，花圃决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每盆花卉每降1元，花圃平均每天可多售出2盆．每盆花卉降低多少元时，花圃平均每天盈利最多，是多少？
21．已知：如图，二次函数y=x2+（2k﹣1）x+k+1的图象与x轴相交于O、A两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在这条抛物线的对称轴右边的图象上有一点B，使锐角△AOB的面积等于3．求点B的坐标．
22．如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(4，6)．双曲线y＝ (x>0)的图象经过BC的中点D，且与AB交于点E，连接DE.
(1)求k的值及点E的坐标；
(2)若点F是OC边上一点，且△FBC∽△DEB，求直线FB的表达式．
23．定义：底与腰的比是的等腰三角形叫做黄金等腰三角形．
如图，已知△ABC中，AB=BC，∠C=36°，BA1平分∠ABC交AC于A1．
（1）=AA1 A C；
（2）探究：△ABC是否为黄金等腰三角形？请说明理由；（提示：此处不妨设AC=1）
（3）应用：已知AC=a，作A1B1∥AB交BC于B1，B1A2平分∠A1B1C交AC于A2，作A2B2∥AB交B2，B2A3平分∠A2B2C交AC于A3，作A3B3∥AB交BC于B3，…，依此规律操作下去，用含a，n的代数式表示An﹣1An．（n为大于1的整数，直接回答，不必说明理由）
24．如图甲，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“三垂图”．
（1）证明：ABCD=PBPD．
（2）如图乙，也是一个“三垂图”，上述结论成立吗？请说明理由．
（3）用以上方法解决下列问题：已知抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），顶点为P，如图丙所示，若Q是抛物线上异于A、B、P的点，使得∠QAP=90°，求Q点坐标．
参考答案
1．D
【分析】
根据二次函数的定义逐个分析即可.
【详解】
A. 是一次函数；
B. ，是三次函数；
C. =2x+1，是一次函数；
D. ，是二次函数.
故选D
【点睛】
本题考核知识点：二次函数. 解题关键点：理解二次函数的定义.
2．C
【分析】
把各个选项依据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，已知的比例式可以转化为等积式2x=3y，即可判断
【详解】
解：A、变成等积式是：xy＝6，故错误；
B、变成等积式是：3x＝2y，故错误；
C、变成等积式是：2x＝3y，故正确；
D、变成等积式是：3x＝2y，故错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了判断两个比例式是否能够互化的方法，即转化为等积式，判断是否相同即可．
3．B
【详解】
∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE=∠DCE=90°，
又∵∠AEB=∠DEC（对顶角相等），
∴△ABE∽△DCE，
∴,
又∵BE=30m，EC =15m，CD =30m，
∴，
∴AB＝60(m).
故答案是B.
4．A
【详解】
试题解析：将抛物线向右平移2个单位，再向上平移1个单位,
得到的抛物线的解析式是
故选A.
点睛：二次函数图像的平移规律：左加右减，上加下减.
5．C
【详解】
试题分析：观察表格可知ax2+bx+c的值与0比较接近的是-0.02和0.03，相对应的x的值分别为3.24秘3.25，因此方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常数）一个解的范围是3.24＜x＜3.25；
故选C.
考点：一元二次方程的解
6．C
【分析】
，随值的增大而增大，在第二象限，，在第四象限，即可解题.
【详解】
∵，
∴在每个象限内，随值的增大而增大，
∴当时，，
∵，
∴
故选C．
【点睛】
本题考查反比例函数及性质，熟练掌握反比例函数的图象及与值之间的关系是解题的关键.
7．C
【详解】
试题解析：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
故选C．
点睛：相似三角形的判定：两组角对应相等，两个三角形相似.
两组边对应成比例及其夹角相等，两个三角形相似.
三组边对应成比例，两个三角形相似.
8．C
【解析】
试题分析：此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影长的比值是相同的．所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值是相同的，利用这个结论可以求出树高．
试题解析：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，
根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得：
而：CB=1．2
∴BD=0．96
∴树在地面的实际影长为：0．96+2．6=3．56．
再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，得：
∴x=4．45
∴树高是4．45m．
故选C．
考点：相似三角形的应用．
9．C
【详解】
试题解析：由于△ABC是直角三角形，所以当反比例函数经过点A时k最小，进过点C时k最大，据此可得出结论．
∵△ABC是直角三角形，∴当反比例函数经过点A时k最小，经过点C时k最大，
∴k最小=1×2=2，k最大=4×4=16，∴2≤k≤16．故选C．
10．D
【解析】
（1）∵P（a，b）在y=上，
∴a和b同号，所以对称轴在y轴左侧，
∴存在函数y=的一个“派生函数”，其图象的对称轴在y轴的右侧是假命题．
（2）∵函数y=的所有“派生函数”为y=ax2+bx，
∴x=0时，y=0，
∴所有“派生函数”为y=ax2+bx经过原点，
∴函数y=的所有“派生函数”，的图象都经过同一点，是真命题．
故选D．
【点睛】本题考查命题与定理、二次函数的性质，理解题意是解题的关键，记住二次函数y=ax2+bx的性质a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧．
11．
【解析】
因为，，
所以得a=0.5b，c=0.5d，e=0.5f，
所以＝＝.
故答案是：.
12．3.
【解析】
试题分析：作DE⊥x轴，垂足为E，连OD．可以证出△BOA≌△AED，得到AE=BO，AO=DE，所以S△DOE= OE DE=×3×1=，∴k=×2=3．
故答案为3．
考点：反比例函数综合题．
13．②③⑤.
【解析】
由图象可知，a＜0，b＜0，c＞0，
∴abc＞0，故①错误．
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2-4ac＞0，故②正确．
∵抛物线对称轴为x=-1，与x轴交于A（-3，0），
∴抛物线与x轴的另一个交点为（1，0），
∴a+b+c=0，-=-1，
∴b=2a，c=-3a，
∴4b+c=8a-3a=5a＜0，故③正确．
∵B（- ，y1）、C（- ，y2）为函数图象上的两点，
又点C离对称轴近，
∴y1，＜y2，故④错误，
由图象可知，-3≤x≤1时，y≥0，故⑤正确．
∴②③⑤正确，
故答案是：②③⑤．
【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题的关键是灵活应用图中信息解决问题．
14．（2，2）
【分析】
根据题意得出D点坐标，再解直角三角形进而得出答案．
【详解】
分别过A、C作AE⊥OB，CF⊥OB，
∵∠OCD＝90°，∠AOB＝60°，
∴∠ABO＝∠CDO＝30°，∠OCF＝30°，
∵△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3：4，点B的坐标是（6，0），
∴D（8，0），则DO＝8，
故OC＝4，
则FO＝2，CF＝CO cos30°＝4×＝2，
故点C的坐标是：（2，2）．
故答案为：（2，2）．
【点睛】
此题主要考查了位似变换，运用位似图形的性质正确解直角三角形是解题关键．
15．1:9
【分析】
根据三角形相似的相关知识即可解答.
【详解】
解：∵MN∥BC，且S△MBC：S△CMN＝3：1
可得MN：BC=1：3
所以S△AMN：S△ABC= MN2：BC2=1:9.
即答案为1:9.
【点睛】
本题考查了三角形相似时，面积比=边长比的平方，熟悉掌握是解题关键.
16．
【解析】
试题分析：根据顶点坐标设解析式，把点（0，-4）代入即可求出a，即可求出答案．
试题解析：
设抛物线解析式为y=a（x-3）2-1，
把（0，-4）代入得：-4=9a-1，
解得a=- ，
则抛物线解析式为．
17．见解析
【解析】
试题分析：（1）根据CD平分∠ACB，可知∠ACD=∠BCD；由BE∥CD，可求出△BCE是等腰三角形，故BC=CE；
（2）根据平行线的性质，及BC=CE可得出结论．
试题解析：
证明：(1)∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD．
又∵BE∥CD，
∴∠CBE=∠BCD，∠CEB=∠ACD．
∵∠ACD=∠BCD，
∴∠CBE=∠CEB．
故△BCE是等腰三角形，BC=CE．
(2)∵BE∥CD，根据平行线分线段成比例定理可得=，
又∵BC=CE，
∴=．
18．见解析
【解析】
试题分析：先证明∠ACP=∠PDB=120°，然后由∠A+∠B=60°，∠DPB+∠B=60°可证明∠A=∠DPB，从而可证明△ACP∽△PDB．
试题解析：
证明：∵△PCD为等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=60°．
∴∠ACP=∠PDB=120°．
∵∠APB=120°，
∴∠A+∠B=60°．
∵∠PDB=120°，
∴∠DPB+∠B=60°．
∴∠A=∠DPB．
∴△ACP∽△PDB．
19．（1）一次函数的解析式为y=﹣x+2；（2）S△AOB=6；（3）由图象可知：一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围是x＜﹣2或0＜x＜4．
【解析】
试题分析：（1）由点A、B的横纵坐标结合反比例函数解析式即可得出点A、B的坐标，再由点A、B的坐标利用待定系数法即可得出直线AB的解析式；
（2）设直线AB与y轴交于C，找出点C的坐标，利用三角形的面积公式结合A、B点的横坐标即可得出结论；
（3）观察函数图象，根据图象的上下关系即可找出不等式的解集．
试题解析：（1）令反比例函数y=-中x=-2，则y=4，
∴点A的坐标为（-2，4）；
反比例函数y=-中y=-2，则-2=-，解得：x=4，
∴点B的坐标为（4，-2）．
∵一次函数过A、B两点，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为y=-x+2．
（2）设直线AB与y轴交于C，
令为y=-x+2中x=0，则y=2，
∴点C的坐标为（0，2），
∴S△AOB=OC （xB-xA）=×2×[4-（-2）]=6．
（3）观察函数图象发现：
当x＜-2或0＜x＜4时，一次函数图象在反比例函数图象上方，
∴一次函数的函数值大于反比例函数的函数值时x的取值范围为x＜-2或0＜x＜4．
考点：反比例函数与一次函数的交点问题．
20．每盆花卉降低15元时，花圃每天盈利最多为1250元．
【解析】
试题分析：利用每盆花卉每天售出的盆数×每盆的盈利=每天销售这种花卉的利润y，列出函数关系式解答即可．
试题解析：
解：设每盆花卉降低x元，花圃每天盈利y元，则
y=（40-x）（20+2x）=-2x2+60x+800 =-2（x-15）2+1250，
由， 解得：0≤x＜40，
故当x=15时，y最大=1250，
答：每盆花卉降低15元时，花圃每天盈利最多为1250元．
21．（1）y=x2-3x，（2）（4，4）.
【解析】
试题分析：（1）将原点坐标代入抛物线中即可求出k的值，也就得出了抛物线的解析式．
（2）根据（1）得出的抛物线的解析式可得出A点的坐标，也就求出了OA的长，根据△OAB的面积可求出B点纵坐标的绝对值，然后将符合题意的B点纵坐标代入抛物线的解析式中即可求出B点的坐标，然后根据B点在抛物线对称轴的右边来判断得出的B点是否符合要求即可．
试题解析：①∵函数的图象与x轴相交于O，
∴0=k+1，
∴k=-1，
∴y=x2-3x，
②假设存在点B，过点B做BD⊥x轴于点D，
∵△AOB的面积等于6，
∴AO BD=6，
当0=x2-3x，
x（x-3）=0，
解得：x=0或3，
∴AO=3，
∴BD=4
即4=x2-3x，
解得：x=4或x=-1（舍去）．
又∵顶点坐标为：（1.5，-2.25）．
∵2.25＜4，
∴x轴下方不存在B点，
∴点B的坐标为：（4，4）.
考点：二次函数综合题．
22．（1）k＝12，E (4,3)；（2）y＝x＋.
【详解】
（1）在矩形OABC中，
∵B（4，6），∴BC边中点D的坐标为（2，6），
∵又曲线y=的图象经过点（2，6），∴k=12，∵E点在AB上，∴E点的横坐标为4，
∵y=经过点E，∴E点纵坐标为3，∴E点坐标为（4，3）；
（2）由（1）得，BD=2，BE=3，BC=4，
∵△FBC∽△DEB，∴，即，
∴CF=，∴OF=，即点F的坐标为（0，），
设直线FB的解析式为y=kx+b，而直线FB经过B（4，6），F（0，），
∴，解得，
∴直线BF的解析式为y=x+．
23．（1）证明见试题解析；（2）△ABC是黄金等腰三角形；（3）．
【详解】
试题分析：（1）由角平分线的性质和相似三角形的判定与性质，得到△ABC∽△AA1B，从而有，求出即可；
（2）设AC=1，则AB2=1﹣AB，求出AB的值，进而得出=，即可得出结论；
（3）利用（2）中所求进而得出AA1，A1A2的长，进而得出其长度变化规律求出即可．
试题解析：（1）∵AC=BC，∠C=36°，∴∠A=∠ABC=72°，∵BA1平分∠ABC，∴∠ABA1=∠ABC=36°，∴∠C=∠ABA1，又∵∠A=∠A，∴△ABC∽△AA1B，∴，即=AA1 A C；
（2）△ABC是黄金等腰三角形，理由：
由（1）知，=AA1 A C，设AC=1，∴=AA1，又由（1）可得：AB=A1B，∵∠A1BC=∠C=36°，∴A1B=A1C，∴AB=A1C，∴AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=1﹣AB，∴=1﹣AB，设AB=x，即，∴，解得：，（不合题意舍去），∴AB=，又∵AC=1，∴=，∴△ABC是黄金等腰三角形；
（3）由（2）得；当AC=a，则AA1=AC﹣A1C=AC﹣AB=a﹣AB==，
同理可得：A1A2=A1C﹣A1B1=AC﹣AA1﹣A1B1
===；
故An﹣1An=．
考点：1．相似形综合题；2．新定义；3．探究型；4．综合题；5．压轴题；6．规律型．
24．（1）（2）见解析；（3）（，）．
【详解】
试题分析：（1）根据同角的余角相等求出∠A=∠CPD，然后求出△ABP和△PCD相似，再根据相似三角形对应边成比例列式整理即可得证；
（2）与（1）的证明思路相同；
（3）利用待定系数法求出二次函数解析式，根据抛物线解析式求出点P的坐标，再过点P作PC⊥x轴于C，设AQ与y轴相交于D，然后求出PC、AC的长，再根据（2）的结论求出OD的长，从而得到点D的坐标，利用待定系数法求出直线AD的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点Q的坐标．
试题解析：
（1）证明：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴AB CD=PB PD；
（2）AB CD=PB PD仍然成立．
理由如下：∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠B=∠CDP=90°，
∴∠A+∠APB=90°，
∵AP⊥PC，
∴∠APB+∠CPD=90°，
∴∠A=∠CPD，
∴△ABP∽△PCD，
∴，
∴AB CD=PB PD；
（3）设抛物线解析式为（a≠0），
∵抛物线与x轴交于点A（-1，0），B（3，0），与y轴交于点（0，-3），
∴， 把（0，-3）带入
得 y=x2-2x-3，
∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴顶点P的坐标为（1，-4），
过点P作PC⊥x轴于C，过点Q向x轴作垂线，垂足为E.
设QE=m，由第(2)题结论得AE=2m，则Q点坐标为（2m -1，m）带入y=x2-2x-3，
解得m=或m=0（舍去），把y=带入y=x2-2x-3，解得x=或x=（舍去）
∴点Q的坐标为（，）
【点睛】本题是二次函数综合题型，主要考查了相似三角形的判定与性质，待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，联立两函数解析式求交点坐标，综合题，但难度不大，根据同角的余角相等求出两个角相等得到两三角形相似是解题的关键．
(
2
)
(
1
)